Многомерная линейная регрессия

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск
Статья в настоящий момент дорабатывается.
SL 20:42, 10 января 2009 (MSK)


Многомерная линейная регрессия

Пусть имеется набор n вещественнозначных признаков f_j(x), j=1,...,n. Задача минимизации функционала качества метода наименьших квадратов

Q(\alpha, X^l) = \sum_{i=1}^l\mathbf{w}_i(f(x_i, \alpha)-y_i)^2\longrightarrow\min

существенно упрощается, если модель алгоритмов линейна по параметрам \alpha \in \mathbb{R}^n:

f(x,\alpha) = \sum_{j=1}^n\alpha_jf_j(x).

Введём матричные обозначения: матрицу информации F, целевой вектор y, вектор параметров \alpha и диагональную матрицу весов W:

F=\(f_1(x_1)\ \ \ldots\ \ f_n(x_1)<br>\ \vdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ddots\ \ \ \ \vdots<br>f_1(x_l)\ \ \ldots\ \ f_n(x_l)\)\;, \ \ \ y=\(y_1<br>\ \vdots<br>y_l\)\;, \ \ \ \alpha=\(\alpha_1<br>\ \vdots<br>\alpha_n\)\;, \ \ \ W=\(\sqrt{w_1}\ \ \ \ \ \ \ \ 0\ <br>\ \ \ \ \ \ \ddots<br>\ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \sqrt{w_l}\)\;.

В матричных обозначениях функционал среднего квадрата ощибки принимает вид

Q(\alpha)\ =\ \parallel W(F\alpha\ -\ y)\parallel^2.

Функционал с произвольными весами легко преводится к функционалу с единичными весами путём несложной предванительной обработки данных F' = WF\ ,\ y' = Wy\ :

Q(\alpha)\ =\ \parallel F'\alpha\ -\ y'\parallel^2\ =\ (F'\alpha\ -\ y')^\top(F'\alpha\ -\ y')
Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%80%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%8F»