Распределение Стьюдента

Версия от 14:21, 19 ноября 2009; Bogdan (Обсуждение | вклад)

**Распределение Стьюдента**
Плотность вероятности 325px
Функция распределения 325px
Параметры	$n > 0\!$ - число степеней свободы
Носитель	$x \in (-\infty; +\infty)\!$
Плотность вероятности	$\frac{\Gamma((n+1)/2)} {\sqrt{n\pi}\,\Gamma(n/2)\,(1+x^2/n)^{(n+1)/2}}\!$
Функция распределения	$\frac{1}{2} + \frac{x \Gamma \left( (n+1)/2 \right)}{\sqrt{\pi n}\,\Gamma (n/2)}$ $\frac{\,_2F_1 \left ( \frac{1}{2},(n+1)/2;\frac{3}{2};-\frac{x^2}{n} \right)} {\sqrt{\pi n}\,\Gamma (n/2)}$ где $\,_2F_1$ - гипергеометрическая функция
Математическое ожидание	$0$
Медиана	$0$
Мода	$0$
Дисперсия	$\frac{n}{n-2}\!$ если $n>2$
Коэффициент асимметрии	$0$ если $n>3$
Коэффициент эксцесса	$\frac{3n - 6}{n-4}\!$ где $n>4$
Информационная энтропия	$\begin{matrix} </p> <pre> \frac{n+1}{2}\left[ \psi(\frac{1+n}{2}) - \psi(\frac{n}{2}) \right] \\[0.5em] </pre> <p>+ \log{\left[\sqrt{n}B(\frac{n}{2},\frac{1}{2})\right]} \end{matrix}$ $\psi = \Gamma' / \Gamma$ , $B$ : бета-функция
Производящая функция моментов	не определена
Характеристическая функция

Распределе́ние Стью́дента в теории вероятностей — это однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Содержание

Пусть $Y_0,Y_1,\ldots, Y_n$ — независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что $Y_i \sim \mathrm{N}(0,1),\; i=1,\ldots, n$ . Тогда распределение случайной величины $t$ , где

$t = \frac{Y_0}{\sqrt{\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n Y_i^2}}$

называется распределением Стьюдента с $n$ степенями свободы. Пишут $t \sim \mathrm{t}(n)$ . Её распределение абсолютно непрерывно и имеет плотность

$f_t(y) = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{\pi n} \, \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\, \left(1+\frac{y^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}$ ,

где $\Gamma$ — гамма-функция Эйлера.

Распределение Стьюдента симметрично. В частности если $t \sim \mathrm{t}(n)$ , то

$-t \sim \mathrm{t}(n)$ .

Случайная величина $t \sim \mathrm{t}(n)$ имеет только моменты порядков $k < n$ , причём

$\mathbb{E}\left[t^k\right] = 0$ , если $k$ нечётно;

$\mathbb{E}\left[t^k\right] = \frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})\Gamma(\frac{n-k}{2})n^{k/2}}{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}$ , если $k$ чётно.

В частности,

$\mathbb{E}[t] = 0$ ,

$\mathrm{D}[t] = {n \over n - 2}$ , если $n > 2$ .

Моменты порядков $k \ge n$ не определены.

$\mathrm{t}(1) \equiv \mathrm{C}(0,1)$ .

Распределение Стьюдента сходится к стандартному нормальному при $n \to \infty$ . Пусть дана последовательность случайных величин $\{t_n\}_{n=1}^{\infty}$ , где $t_n \sim \mathrm{t}(n),\; n \in \mathbb{N}$ . Тогда

$t_n \to \mathrm{N}(0,1)$ по распределению при $n \to \infty$ .

Квадрат случайной величины, имеющей распределение Стьюдента, имеет распределение Фишера. Пусть $t \sim \mathrm{t}(n)$ . Тогда

$t^2 \sim \mathrm{F}(0,n)$ .

Распределение Стьюдента используется в статистике для точечного оценивания, построения доверительных интервалов и тестирования гипотез, касающихся неизвестного среднего статистической выборки из нормального распределения. В частности, пусть $X_1,\ldots, X_n$ независимые случайные величины, такие что $X_i \sim \mathrm{N}(\mu, \sigma^2),\; i=1,\ldots, n$ . Обозначим $\bar{X}$ выборочное среднее этой выборки, а $S^2$ её выборочную дисперсию. Тогда