Минимизация эмпирического риска

Материал из MachineLearning.

СТАТЬЯ В РАЗРАБОТКЕ: Этот материал сейчас находится в процессе активного редактирования и доработки участником Polina Khadralinova. Просьба не оценивать статью до снятия этой пометки.

Содержание

1 Введение
2 Историческая справка
3 Ожидаемый и эмпирический риск
4 Условия состоятельности и переобучение
5 Регуляризация
6 Основные типы функций потерь
- 6.1 В задачах регрессии
- 6.2 В задачах классификации
7 Методы оптимизации
8 Литература

Минимизация эмпирического риска (англ. Empirical Risk Minimization, ERM) — это фундаментальный принцип машинного обучения. Он заключается в том, что из заданного семейства моделей мы выбираем ту, которая показывает наименьшую ошибку на доступных тренировочных данных.

Поскольку мы никогда не знаем всех возможных данных в природе, мы не можем измерить «истинную» ошибку модели. Принцип ERM постулирует, что вместо недоступной истинной ошибки мы можем опираться на её практическую оценку — эмпирический риск.

Введение

Задача машинного обучения с учителем формулируется так. У нас есть множество объектов $X$ (например, фотографии) и множество допустимых ответов $Y$ (например, метки «кошка» или «собака»). Существует скрытая закономерность — идеальное правило $y^*: X \to Y$ .

Мы не знаем эту закономерность целиком. Нам доступна лишь конечная обучающая выборка $X^{\ell} = \{ (x_i, y_i) \}_{i=1}^{\ell}$ .

Наша цель — найти такой алгоритм $a: X \to Y$ из заданного семейства моделей $A = \{ a(x, w) \mid w \in W \}$ , который не просто запомнит правильные ответы для обучающей выборки, но и сможет безошибочно работать на новых данных. Ошибку модели на конкретном объекте мы измеряем с помощью функции потерь $\mathcal{L}(y, a(x))$ .

Историческая справка

Истоки принципа минимизации эмпирического риска восходят к философской концепции эмпирической индукции Фрэнсиса Бэкона (1620 г.), утверждавшего, что законы природы необходимо выводить путём обобщения фактов опыта, а не постулировать умозрительно.

В строгой математической форме этот принцип впервые был применён Карлом Фридрихом Гауссом в 1795 году при разработке метода наименьших квадратов для расчёта орбит небесных тел. Гаусс предложил искать параметры модели, минимизируя сумму квадратов отклонений предсказанных значений от наблюдаемых. Позже, в 1936 году, Рональд Фишер применил схожий принцип для задачи классификации (линейный дискриминантный анализ).

Своё современное теоретико-вероятностное обоснование принцип ERM получил в конце 1960-х — начале 1970-х годов в трудах советских математиков В. Н. Вапника и А. Я. Червоненкиса. В рамках созданной ими статистической теории обучения (теории Вапника-Червоненкиса) были строго сформулированы условия состоятельности принципа минимизации эмпирического риска и получены оценки скорости сходимости эмпирического риска к ожидаемому.

Ожидаемый и эмпирический риск

В теории машинного обучения мы считаем, что данные не появляются из ниоткуда. Существует неизвестное совместное вероятностное распределение $P(x, y)$ на пространстве $X \times Y$ . Все наши объекты и ответы генерируются независимо из этого распределения.

В идеальном мире мы хотели бы создать модель, которая ошибается как можно реже на любых возможных данных. Эта идеальная мера ошибки называется ожидаемым риском (или истинным риском). Математически это математическое ожидание функции потерь по всему распределению:

$R(a) = \mathbb{E}_{x,y \sim P} [\mathcal{L}(y, a(x))] = \int_{X \times Y} \mathcal{L}(y, a(x)) dP(x, y)$

Интуитивная аналогия: Представьте, что вы готовитесь к сложному экзамену. Ожидаемый риск — это ваша реальная оценка на самом экзамене, где вам может попасться абсолютно любой билет по предмету. Мы хотим сдать экзамен на «отлично», то есть свести ожидаемый риск $R(a)$ к минимуму.

Проблема в том, что заранее узнать все вопросы экзамена (распределение $P(x, y)$ ) невозможно. Поэтому вычислить ожидаемый риск $R(a)$ напрямую нельзя.

Но у нас есть билеты прошлых лет — наша обучающая выборка $X^{\ell}$ . Закон больших чисел говорит нам, что теоретическое математическое ожидание можно оценить на практике, просто усреднив ошибку на всех доступных данных. Так мы получаем эмпирический риск:

$Q(a, X^{\ell}) = \frac{1}{\ell} \sum_{i=1}^{\ell} \mathcal{L}(y_i, a(x_i))$

В нашей аналогии эмпирический риск $Q(a, X^{\ell})$ — это доля ошибок, которые вы делаете, решая старые билеты дома.

Метод минимизации эмпирического риска делает логичный шаг. Раз мы не можем минимизировать ошибку на всех данных мира, давайте найдём алгоритм $a^*$ (или вектор весов $w^*$ ), который доставляет минимум этому функционалу на обучающей выборке:

$a^* = \arg\min_{a \in A} Q(a, X^{\ell})$

Условия состоятельности и переобучение

Главной проблемой принципа ERM является явление переобучения. Возвращаясь к нашей аналогии: если вы просто зазубрите наизусть ответы к билетам прошлых лет, ваш эмпирический риск дома будет равен нулю. Но на реальном экзамене при малейшем изменении формулировки вопроса вы провалитесь (истинный риск $R(a)$ окажется высоким). Модель теряет способность к обобщению.

Принцип ERM называется строго состоятельным, если при бесконечном увеличении объёма выборки $\ell \to \infty$ эмпирический риск приближается к ожидаемому риску равномерно для всех моделей семейства $A$ :

$\lim_{\ell \to \infty} \mathbb{P} \left( \sup_{a \in A} |R(a) - Q(a, X^{\ell})| > \epsilon \right) = 0$

Согласно фундаментальной теореме Вапника-Червоненкиса, чтобы метод работал надёжно, сложность семейства функций должна быть ограничена. Оценка обобщающей способности имеет следующий вид: с вероятностью не менее $1 - \delta$ для любого алгоритма $a \in A$ справедливо неравенство:

$R(a) \le Q(a, X^{\ell}) + \sqrt{\frac{h \left( \ln\left(\frac{2\ell}{h}\right) + 1 \right) - \ln\left(\frac{\delta}{4}\right)}{\ell}}$ ,

где $h$ — ёмкость класса моделей (VC-размерность), а второй член под корнем представляет собой штраф за сложность.

Из этой формулы математически следует важное правило: если сложность модели $h$ (например, количество параметров нейронной сети) слишком велика по сравнению с количеством данных $\ell$ , то метод ERM не гарантирует хорошего качества на новых данных, и модель неизбежно переобучается.

Регуляризация

Для борьбы с переобучением метод ERM модифицируется. Мы не просто минимизируем ошибку на данных, но и штрафуем модель за излишнюю сложность. Этот подход известен как принцип структурной минимизации риска.

Оптимизируемый функционал принимает вид:

$Q_{\text{reg}}(w, X^{\ell}) = \sum_{i=1}^{\ell} \mathcal{L}(y_i, a(x_i, w)) + \tau \mathcal{R}(w) \to \min_{w}$ ,

где $\mathcal{R}(w)$ — функция-регуляризатор, запрещающая параметрам модели принимать слишком большие или сложные значения, а $\tau > 0$ — коэффициент регуляризации.

Наиболее часто используемые регуляризаторы:

$L_2$ -регуляризация (гребневая, Ridge): $\mathcal{R}(w) = \|w\|_2^2 = \sum_{j=1}^n w_j^2$ . Не даёт весам модели неограниченно расти.
$L_1$ -регуляризация (Lasso): $\mathcal{R}(w) = \|w\|_1 = \sum_{j=1}^n |w_j|$ . Способна занулять малозначимые признаки, упрощая итоговую модель.

Основные типы функций потерь

Выбор функции потерь $\mathcal{L}(y, a(x))$ строго зависит от типа решаемой задачи.

В задачах регрессии

В регрессии мы предсказываем действительные числа ( $Y = \mathbb{R}$ ). Типичные функции потерь:

Квадратичная функция потерь (Метод наименьших квадратов): $\mathcal{L}(y, a(x)) = (a(x) - y)^2$ .
Абсолютная ошибка (Модуль отклонения, для робастности): $\mathcal{L}(y, a(x)) = |a(x) - y|$ . Менее чувствительна к аномальным выбросам в данных.

В задачах классификации

В бинарной классификации ответом является класс ( $Y = \{-1, +1\}$ ). Самый естественный выбор — пороговая функция потерь, которая просто штрафует за несовпадение ответов:

$\mathcal{L}(y, a(x)) = [a(x) \neq y]$

Однако минимизация такой функции является крайне сложной дискретной NP-полной задачей комбинаторной оптимизации, так как она имеет вид «ступеньки» и её нельзя продифференцировать. На практике пороговую функцию заменяют её гладкими или выпуклыми верхними оценками, что позволяет легко обучать модель с помощью вычисления производных:

Логистическая функция (применяется в логистической регрессии): $\mathcal{L}(M) = \log_2(1 + e^{-M})$ .
Кусочно-линейная функция (Hinge loss, применяется в методе опорных векторов, SVM): $\mathcal{L}(M) = \max(0, 1 - M)$ .
Экспоненциальная функция (применяется в бустинге): $\mathcal{L}(M) = e^{-M}$ .

Здесь $M = y \langle w, x \rangle$ — это отступ (margin), который характеризует степень уверенности классификатора в правильном ответе. Использование таких аппроксимаций не только решает вычислительную проблему, но и улучшает обобщающую способность алгоритма.

Методы оптимизации

Когда функция потерь непрерывна и имеет производные по параметрам $w$ , задача решается методами градиентной оптимизации.

Исторически базовым алгоритмом является градиентный спуск:

$w_t = w_{t-1} - h \nabla_w Q(w_{t-1}, X^{\ell})$ ,

где $h$ — размер шага (темп обучения). Вычисление градиента $\nabla_w Q$ требует прохода по всей выборке $X^{\ell}$ , что работает слишком медленно на современных больших данных.

В индустрии машинного и глубокого обучения повсеместно применяется стохастический градиентный спуск (SGD). В нём на каждом шаге параметры обновляются по ошибке не на всех данных, а лишь на одном случайном объекте $x_i$ :

$w_t = w_{t-1} - h \nabla_w \mathcal{L}(y_i, a(x_i, w_{t-1}))$

Чаще всего используется промежуточный пакетный вариант (Mini-batch SGD). При нём шаг делается по небольшой группе объектов (батчу). Это позволяет эффективно обучать огромные нейронные сети за счёт распараллеливания вычислений на видеокартах (GPU).

Литература

Вапник В. Н., Червоненкис А. Я. Теория распознавания образов. — М.: Наука, 1974. — 416 с.
Вапник В. Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. — М.: Наука, 1979. — 448 с.
Hastie T., Tibshirani R., Friedman J. The Elements of Statistical Learning, 2nd edition. — Springer, 2009. — 745 с.
Воронцов К. В. Математические методы обучения по прецедентам. — М.: МФТИ, 2012.

Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D1%8D%D0%BC%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%80%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%B0»

Категории: Машинное обучение | Математические методы | Теория вычислительного обучения