Случайная величина

Материал из MachineLearning.

Содержание

1 Определение
2 Свойства
3 Наиболее часто используемые типы случайных величин
- 3.1 Дискретные случайные величины
- 3.2 Абсолютно непрерывные случайные величины

Определение

Пусть задано вероятностное пространство $(\Omega,\mathcal{F},P)$ . Случайной величиной, заданной на этом пространстве, называется числовая функция $X:\Omega\to\mathbb{R}$ , которая ставит в соответствие каждому элементарному исходу $\omega\in\Omega$ число $X(\omega)$ - значение случайной величины на этом исходе. Данная функция должна быть $\mathcal{F}|\mathcal{B}(\mathbb{R})$ -измеримой (где $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ - борелевская сигма-алгебра на прямой), т.е. для любого борелевского множества $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ его полный прообраз при отображении $X$ должен быть событием: $X^{-1}(B)\in\mathcal{F}$ .

Свойства

Случайная величина может быть интерпретирована как некоторое измерение, в результате которого при каждой реализации случайного опыта мы получаем некоторое число.

Случайная величина $X$ индуцирует (порождает) новое вероятностное пространство $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),P_X)$ с мерой $P_X(B)=P(X^{-1}(B))$ , которая называется распределением вероятностей $X$ . При исследовании одной только случайной величины иногда сразу задают это пространство и не вводят саму величину как отображение (хотя это всегда можно сделать, взяв тождественное отображение числовой прямой на себя). Вероятность $P_X(B)$ также обозначают $P(X\in B)$ .

Универсальный способ задания распределения случайной величины - через функцию распределения $F_X(t)=P(X<t)$

Наиболее часто используемые типы случайных величин

В практических приложениях наиболее часто используются два типа случайных величин: дискретные и абсолютно непрерывные, хотя, разумеется, существуют случайные величины, не относящиеся ни к одному из этих классов.

Дискретные случайные величины

Дискретная случайная величина - это величина, принимающая конечное или счетное число значений. Такая величина задается набором этих значений $\{x_1,x_2,\ldots\}$ и их вероятностей $\{p_1,p_2,\ldots\}$ , $p_i=P(X=x_i)$ , которые должны быть неотрицательными и удовлетворять условию нормировки: $\sum p_i=1$ .

При этом вероятностная мера на любом (борелевском) множестве прямой задается по формуле:

$P(X\in B)=\sum_{i:x_i\in B}p_i$ , где $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ .

Абсолютно непрерывные случайные величины

Если функция распределения случайной величины $X$ имеет вид:

$F_X(t)=P(X<t)=\int_{-\infty}^t p(u)\,du$ , где $p(u)$ - интегрируемая неотрицательная функция,

тогда эта случайная величина называется абсолютно непрерывной. Функция $p(u)$ при этом называется плотностью распределения. Плотность распределения удовлетворяет свойствам:

$p(u)\ge 0$ и $\int_{-\infty}^\infty p(u)\,du=1$ .

И наоборот, любая интегрируемая функция $p(u)$ , удовлетворяющая этим свойствам, может быть взята в качестве плотности распределения некоторой случайной величины.

Поскольку функция распределения является функцией верхнего предела от плотности, то последняя восстанавливается по ней дифференцированием: