Эмпирическое распределение
Материал из MachineLearning.
Эмпирическая функция распределения (выборочная функция распределения) — естественное приближение теоретической функции распределения данной случайной величины, построенное по выборке.
Содержание |
Определения
Пусть задана случайная выборка наблюдений Построим по выборке ступенчатую функцию , возрастающую скачками величины в точках Построенная функция называется эмпирической функцией распределения. Для задания значений в точках разрыва формально определим её так:
Замечание: при этом эмпирическая функция непрерывна справа.
На рисунке представлена функция стандартного нормального распределения и эмпирическая функция распределения, построенная по выборке из 10 случайных наблюдений из стандартного нормального закона.
Свойства эмпирической функции распределения
Эмпирическое распределение для фиксированного
Поскольку случайная величина имеет распределение Бернулли с вероятностью успеха (где - теоретическая функция распределения случайной величины ), а последовательность - схема Бернулли с вероятностью успеха , то по отношению к этой последовательности есть частота попаданий левее x.
Из сказанного вытекает, что эмпирическое распределение служит естественным приближением к теоретической функции распределения.
Математическое ожидание и дисперсия эмпирического распределения
Математическое ожидание эмпирической функции распределения
таким образом эмпирическое распределение является несмещённой оценкой теоретической функции распределения .
Дисперсия эмпирического распределения
Асимптотические свойства эмпирической функции распределения
1. По усиленному закону больших чисел сходится почти наверное к теоретической функции распределения :
- почти наверное при
2. Выборочная функция распределения является асимптотически нормальной оценкой функции распределения при условии, что :
- при
Литература
- Лагутин М.Б. Наглядная математическая статистика.. — М.: Бином. Лаборатория знаний., 2009. — 472 с.
- Крамер Г. Математические методы статистики.. — М.: Мир., 1975. — 648 с.
Ссылки
- Выборочеая функция распределения (Википедия)
- Виды сходимостей случайных величин (Wikipedia)