Вычисление второй производной по разным переменным

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Введение

Постановка математической задачи

Допустим, что в некоторой точке x у функции f(x,y) существует производная 2-го порядка \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\ \partial y} , которую точно вычислить либо не удаётся, либо слишком сложно. В этом случае для приближенного нахождения производной функции требуется использовать методы численного дифференцирования.

Изложение метода

Рассмотрим формулу \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\ \partial y} =(f_x')_y'. Сведем задачу нахождения смешанной производной по двум разным переменным к задачам нахождения производной по одной переменной. Производную по одной переменной будем находить следующим образом - f'(x)=\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}. Получается что для нахождения смешанной производной достаточно найти три одномерные производные и вычислить значение исходной функции в четырех точках.

Для начала найдем две производные по y в точках M(x_0+h_x,Y_0) и N(x_0-h_x,y_0)
f(x_0+h_x,y_0)_y' = \frac{f(x_0+h_x,y_0+h_y)-f(x_0+h_x,y_0-h_y)}{2h_y}
f(x_0-h_x,y_0)_y' = \frac{f(x_0-h_x,y_0+h_y)-f(x_0-h_x,y_0-h_y)}{2h_y}

Затем найдем искомую производную по формуле f'(x_0)=\frac{f(x_0+h_x) - f(x_0-h_x)}{2h_x}=\frac{f(M)-f(N)}{2h_x}

Примеры работы метода

f(x)=sin(x)sin(y). Результаты для точки M(0,0), где значение второй смешанной производной ,подсчитанной аналитически, равно 1, для h_x=h_yприведены в таблице.

Значение h_x Абсолютная ошибка Относительная ошибка
1e-1 3.3e-3 3.3e-3
1e-3 3.3e-7 3.3e-7
1e-5 3.3e-11 3.3e-11
1e-7 0 0
1e-9 0 0

Вычисления проводились в стандартном типе double (позволяет хранить 15 значащих десятичных цифр) языка C++.