Вычисление определителя

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Постановка задачи)
(Алгоритм решения)
Строка 7: Строка 7:
== Алгоритм решения ==
== Алгоритм решения ==
-
 
-
'''Основная идея решения''': для наиболее полного раскрытия темы исследования вычисления обратной матрицы и определителя написан теоретический отчет, в котором простым и доступным языком сначала вводятся основные понятия и определения, на основании которых проводится дальнейшее исследование. Данная работа подразумевает, что пользователь может не иметь специальных знаний в области численных методов и линейной алгебры, но с легкостью сможет воспользоваться результатами работы. Для наглядности приведена программа вычисления определителя матрицы несколькими методами, написанная на языке программирования C++. А также проводится исследование методов для решения систем линейных алгебраических уравнений. Доказывается бесполезность вычисления обратной матрицы, поэтому в работе приводится более оптимальные способы решения уравнений не вычисляя ее.
 
-
 
=== Определитель ===
=== Определитель ===

Версия 15:50, 20 октября 2008

Название статьи необходимо изменить. Текст статьи нуждается в существенной переработке (см. Обсуждение).--Strijov 12:53, 20 октября 2008 (MSD)


Содержание

Постановка задачи

Задание подразумевает знакомство пользователя с основными понятиями численных методов, такими как определитель и обратная матрица, и различными способами их вычислений. В данном теоретическом отчете простым и доступным языком сначала вводятся основные понятия и определения, на основании которых проводится дальнейшее исследование. Данная работа подразумевает, что пользователь может не иметь специальных знаний в области численных методов и линейной алгебры, но с легкостью сможет воспользоваться результатами работы. Для наглядности приведена программа вычисления определителя матрицы несколькими методами, написанная на языке программирования C++. Программа используется как лабораторный стенд для создания иллюстраций к отчету. А также проводится исследование методов для решения систем линейных алгебраических уравнений. Доказывается бесполезность вычисления обратной матрицы, поэтому в работе приводится более оптимальные способы решения уравнений не вычисляя ее. Рассказывается почему существует такое количество различных методов вычисления определителей и обратных матриц и разбираются их недостатки. Также рассматриваются погрешности при вычислении определителя и оценивается достигнутая точность. Помимо русских терминов в работе используются и их английские эквиваленты для понимания, под какими названиями искать численные процедуры в библиотеках и что означают их параметры.

Алгоритм решения

Определитель

Введем определение определителя квадратной матрицы любого порядка. Это определение будет рекуррентным, то есть чтобы установить, что такое определитель матрицы порядка  n , нужно уже знать, что такое определитель матрицы порядка n - 1. Отметим также, что определитель существует только у квадратных матриц.

Определитель квадратной матрицы  A будем обозначать  |A| или det  A .


Определение 1. Определителем квадратной матрицы Изображение:1.png‎ второго порядка называется число Изображение:2.png‎.

Определителем Изображение:3.png‎ квадратной матрицы порядка  n ,  n \geq 3 , называется число Изображение:4.png‎

где  M_k - определитель матрицы порядка  n - 1 , полученной из матрицы  A вычеркиванием первой строки и столбца с номером  k .

Для наглядности запишем, как можно вычислить определитель матрицы четвертого порядка: Изображение:5.png‎

Замечание. Реальное вычисление определителей для матриц выше третьего порядка на основе определения используется в исключительных случаях. Как правило, вычисление ведется по другим алгоритмам, которые будут рассмотрены позже и которые требуют меньше вычислительной работы.

Замечание. В определении 1 было бы точнее сказать, что определитель есть функция, определенная на множестве квадратных матриц порядка и принимающая значения в множестве чисел.

Замечание. В литературе вместо термина "определитель" используется также термин "детерминант", имеющий тот же самый смысл. От слова "детерминант" и появилось обозначение det  A .

Рассмотрим некоторые свойства определителей, которые сформулируем в виде утверждений.


Обратная матрица

Вычисление определителя и обратной матрицы с помощью метода Гаусса

Прагматика

Классификация методов

Обращение матрицы методом Гаусса

Вычисление определителя методом триангуляции

Примеры работы алгоритма

Руководство пользователя

Руководство программиста

Литература

  1. http://e-lib.gasu.ru/eposobia/metody/
  2. http://www.exponenta.ru/educat/systemat/slivina/lection/lection2/lection2.asp
  3. http://elib.ispu.ru/library/math/sem1/index.html
  4. Киселёв В.Ю., Пяртли А.С., Калугина Т.Ф. Высшая математика.
  5. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. - М., Высшая школа, 1990, 544с.


См. также

Личные инструменты