Графические модели (курс лекций)/2012/Задание 2

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск


Внимание! Страница задания находится в стадии формирования. Убедительная просьба не приступать к выполнению задания до тех пор, пока это предупреждение не будет удалено.


Начало выполнения задания: 9 марта 2012

Срок сдачи: 21 марта 2012, 23:59

Среда реализации задания – MATLAB. Неэффективная реализация кода может негативно отразиться на оценке.

Формулировка задания

Рассматривается линейная динамическая система (ЛДС), в которой полное правдоподобие задается как:


p(X,T|\theta)=p(t_1)\prod_{n=2}^Np(t_n |t_{n-1})\prod_{n=1}^Np(x_n |t_n ),\\
p(t_n|t_{n-1})=\mathcal{N}(t_n|At_{n-1},\Gamma),\\
p(x_n|t_n)=\mathcal{N}(x_n|Ct_n,\Sigma),\\
p(t_1)=\mathcal{N}(t_1|\mu_0,V_0).

Все переменные модели являются непрерывными, т.е. t_n\in\mathbb{R}^D,\ x_n\in\mathbb{R}^d. Параметры модели A,\Gamma,V_0\in\mathbb{R}^{D\times D},\ C\in\mathbb{R}^{d\times D},\ \Sigma\in\mathbb{R}^{d\times d},\ \mu_0\in\mathbb{R}^D.

Данную ЛДС нужно протестировать на модельной задаче сопровождения (трекинга) объекта в пространстве.

Для выполнения задания необходимо:

  • Реализовать алгоритм генерации выборки из вероятностной модели ЛДС;
  • Реализовать алгоритм онлайн фильтрации сигнала с помощью фильтра Калмана;
  • Реализовать расширенный фильтр Калмана для ЛДС с нелинейной динамикой;
  • Реализовать обучение параметров ЛДС с учителем. При этом часть параметров ЛДС может быть задана пользователем;
  • Реализовать алгоритм генерации траектории движения абстрактного объекта в двухмерном пространстве. Способ генерации такой траектории отдается на выбор студента;
  • Протестировать реализованные алгоритмы на модельных данных;
  • Написать отчет в формате PDF с описанием всех проведенных исследований. Данный отчет должен, в частности, включать в себя графики фильтрации сгенерированных траекторий.

Спецификация реализуемых функций

Генерация выборки
[X, T] = LDS_generate(N, A, G, C, S, mu0, V0)
ВХОД
N — количество точек в генерируемой последовательности, uint32;
A — матрица преобразования среднего в последовательности t, матрица типа double размера D x D;
G — ковариационная матрица для распределения p(t_n|t_{n-1}), матрица типа double размера D x D;
C — матрица преобразования среднего при переходе от t_n к x_n, матрица типа double размера d x D;
S — ковариационная матрица для распределения p(x_n|t_n), матрица типа double размера d x d;
mu0 — мат.ожидание априорного распределения p(t_1), матрица типа double размера 1 x D;
V0 — ковариационная матрица априорного распределения p(t_1), матрица типа double размера D x D.
ВЫХОД
X — сгенерированная наблюдаемая последовательность, матрица типа double размера N x d
T — последовательность скрытых состояний, матрица типа double размера N x D

Обратите внимание: в процедуре LDS_generate параметры D и d определяются неявно по размеру соответствующих элементов.

Фильтр Калмана
[Mus, Sigmas] = LDS_filter(X, A, G, C, S, mu0, V0)
ВХОД
X — входная последовательность, матрица типа double размера N x d, где N – количество точек в последовательности, d – количество признаков;
A — матрица преобразования среднего в последовательности t, матрица типа double размера D x D;
G — ковариационная матрица для распределения p(t_n|t_{n-1}), матрица типа double размера D x D;
C — матрица преобразования среднего при переходе от t_n к x_n, матрица типа double размера d x D;
S — ковариационная матрица для распределения p(x_n|t_n), матрица типа double размера d x d;
mu0 — мат.ожидание априорного распределения p(t_1), матрица типа double размера 1 x D;
V0 — ковариационная матрица априорного распределения p(t_1), матрица типа double размера D x D.
ВЫХОД
Mus — мат. ожидания распределений p(t_n|x_1,\dots,x_n), матрица типа double размера N x D;
Sigmas — ковариационные матрицы распределений p(t_n|x_1,\dots,x_n), массив типа double размера D x D x N;

 

Обучение
[A, G, C, S, mu0, V0] = LDS_train(X, D, InputParameters)
ВХОД
X — входная последовательность, матрица типа double размера N x d, где N – количество точек в последовательности, d – число признаков;
D — размерность пространства скрытых состояний, число типа uint16;
InputParameters — (необязательный аргумент) набор дополнительных параметров, массив типа cell вида ParameterName1, ParameterValue1, ParameterName2, ParameterValue2 и т.д. Возможны следующие параметры:
  'A' — задаваемая пользователем матрица преобразования среднего в распределении p(t_n|t_{n-1})(соответственно, ее не нужно определять в процессе EM-итераций);
  'G' — задаваемая пользователем матрица ковариации p(t_n|t_{n-1});
  'C' — задаваемая пользователем матрица преобразования среднего в распределении p(x_n|t_n);
  'S' — задаваемая пользователем матрица ковариации в распределении p(x_n|t_n);
  'num_iter' — максимально допустимое число итераций EM-алгоритма (по умолчанию = 100);
  'tol_LH' — минимально допустимая величина отклонения по значению логарифма правдоподобия на одной итерации (по умолчанию = 10^{-2});
ВЫХОД
A — матрица преобразования среднего в последовательности t, матрица типа double размера D x D;
G — ковариационная матрица для распределения p(t_n|t_{n-1}), матрица типа double размера D x D;
C — матрица преобразования среднего при переходе от t_n к x_n, матрица типа double размера d x D;
S — ковариационная матрица для распределения p(x_n|t_n), матрица типа double размера d x d;
mu0 — мат.ожидание априорного распределения p(t_1), матрица типа double размера 1 x D;
V0 — ковариационная матрица априорного распределения p(t_1), матрица типа double размера D x D.

 

Генерация траектории
X = TRAJECTORY_GENERATE(N)
ВХОД
N — длина генерируемой траектории, uint32;
ВЫХОД
X — сгенерированная траектория движения объекта в двухмерном пространстве, матрица типа double размера N x 2;

Рекомендации по выполнению задания

  • При тестировании ЕМ-алгоритма обучения ЛДС рекомендуется убедиться в том, что значение неполного правдоподобия \log p(X|A,\Gamma,C,\Sigma,\mu_0,V_0) монотонно увеличивается в итерациях.
  • Простейшим способом генерации траектории объекта является генерация по скорости и ускорению, где ускорение иногда меняет величину и направление.
  • Один из вариантов тестирования реализованных алгоритмов на основе ЛДС следующий:
    • Сгенерировать траекторию движения объекта
    • Добавить к траектории случайный нормальный шум
    • Отфильтровать зашумленную траекторию с помощью фильтра Калмана; убедиться, что отфильтрованный сигнал ближе к истинной траектории, чем входной зашумленный сигнал.
    • Отфильтровать зашумленную траекторию с помощью РТС уравнений; убедиться, что результат является более точным по сравнению с фильтром Калмана.
  • При тестировании генерации из модели ЛДС рекомендуется эксперимент с двухмерным сигналом, чтобы убедиться в корректности задаваемых корреляций
  • Для наложения траектории движения на видео рекомендуется следующая процедура:
    • Загрузить в MATLAB изображения с названиями поведенческих актов с помощью imread
    • Небольшими блоками загружать в MATLAB кадры видео с помощью aviread, накладывать на них траекторию движения за последние 300 кадров и сохранять полученные кадры в виде отдельных JPG картинок на диск с помощью imwrite. Сохраненные картинки должны иметь название XXXXX.jpg, где XXXXX — номер кадра.
    • Собрать полученные картинки в видео-файл с помощью бесплатной программы VirtualDub. Для этого достаточно открыть первую картинку в программе (остальные загрузятся автоматически), установить частоту кадров 25fps, установить кодек (рекомендуется DivX) и сгенерировать AVI-файл.

Оформление задания

Выполненный вариант задания необходимо прислать письмом по адресу bayesml@gmail.com с темой «Задание 2. ФИО». Убедительная просьба присылать выполненное задание только один раз с окончательным вариантом. Новые версии будут рассматриваться только в самом крайнем случае. Также убедительная просьба строго придерживаться заданной выше спецификации реализуемых функций. Очень трудно проверять большое количество заданий, если у каждого будет свой формат реализации.

Письмо должно содержать:

  • PDF-файл с описанием проведенных исследований
  • LDS_generate.m
  • LDS_filter.m
  • LDS_train.m
  • trajectory_generate.m
  • Набор вспомогательных файлов при необходимости
Личные инструменты