Графические модели (курс лекций)/2012/Задание 2

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск
Внимание! Страница задания находится в стадии формирования. Убедительная просьба не приступать к выполнению задания до тех пор, пока это предупреждение не будет удалено.


Содержание


Начало выполнения задания: 9 марта 2012

Срок сдачи: 21 марта 2012, 23:59

Среда реализации задания – MATLAB. Неэффективная реализация кода может негативно отразиться на оценке.

Формулировка задания

Рассматривается линейная динамическая система (ЛДС), в которой полное правдоподобие задается как:


p(X,T|\theta)=p(t_1)\prod_{n=2}^Np(t_n |t_{n-1})\prod_{n=1}^Np(x_n |t_n ),\\
p(t_n|t_{n-1})=\mathcal{N}(t_n|At_{n-1},\Gamma),\\
p(x_n|t_n)=\mathcal{N}(x_n|Ct_n,\Sigma),\\
p(t_1)=\mathcal{N}(t_1|\mu_0,V_0).

Все переменные модели являются непрерывными, т.е. t_n\in\mathbb{R}^D,\ x_n\in\mathbb{R}^d. Параметры модели A,\Gamma,V_0\in\mathbb{R}^{D\times D},\ C\in\mathbb{R}^{d\times D},\ \Sigma\in\mathbb{R}^{d\times d},\ \mu_0\in\mathbb{R}^D.

Данную ЛДС нужно протестировать на модельной задаче сопровождения (трекинга) объекта в пространстве.

Рассматривается также нелинейная динамическая система с нормальным шумом, в которой вероятности переходов задаются как:


p(t_n|t_{n-1}) = \mathcal{N}(t_n|f(t_{n-1}),\Gamma),\\
p(x_n|t_n) = \mathcal{N}(x_n|g(t_n),\Sigma),\\
p(t_1) = \mathcal{N}(t_1|\mu_0,V_0).

Здесь f и g — известные вектор-функции.

Для этой системы нужно реализовать расширенный фильтр Калмана и протестировать его работу на модельных данных.

Для выполнения задания необходимо:

  • Реализовать алгоритм генерации выборки из вероятностной модели ЛДС и нелинейной ДС;
  • Реализовать алгоритм онлайн фильтрации сигнала с помощью фильтра Калмана и с помощью расширенного фильтра Калмана;
  • Реализовать обучение параметров ЛДС с учителем. При этом часть параметров ЛДС может быть задана пользователем;
  • Реализовать алгоритм генерации траектории движения абстрактного объекта в двухмерном пространстве. Способ генерации такой траектории отдается на выбор студента;
  • Протестировать реализованные алгоритмы на модельных данных;
  • Написать отчет в формате PDF с описанием всех проведенных исследований. Данный отчет должен, в частности, включать в себя графики фильтрации сгенерированных траекторий.

Спецификация реализуемых функций

Генерация выборки для ЛДС
[X, T] = LDS_generate(N, A, C, G, S, mu0, V0)
ВХОД
N — количество точек в генерируемой последовательности, uint32;
A — матрица преобразования среднего в последовательности t, матрица типа double размера D x D;
C — матрица преобразования среднего при переходе от t_n к x_n, матрица типа double размера d x D;
G — ковариационная матрица для распределения p(t_n|t_{n-1}), матрица типа double размера D x D;
S — ковариационная матрица для распределения p(x_n|t_n), матрица типа double размера d x d;
mu0 — мат.ожидание априорного распределения p(t_1), матрица типа double размера 1 x D;
V0 — ковариационная матрица априорного распределения p(t_1), матрица типа double размера D x D.
ВЫХОД
X — сгенерированная наблюдаемая последовательность, матрица типа double размера N x d
T — последовательность скрытых характеристик, матрица типа double размера N x D

Обратите внимание: в процедуре LDS_generate параметры D и d определяются неявно по размеру соответствующих элементов.

Фильтр Калмана для ЛДС
[M, V] = LDS_filter(X, A, C, G, S, mu0, V0)
ВХОД
X — входная последовательность, матрица типа double размера N x d, где N – количество точек в последовательности, d – количество признаков;
A — матрица преобразования среднего в последовательности t, матрица типа double размера D x D;
C — матрица преобразования среднего при переходе от t_n к x_n, матрица типа double размера d x D;
G — ковариационная матрица для распределения p(t_n|t_{n-1}), матрица типа double размера D x D;
S — ковариационная матрица для распределения p(x_n|t_n), матрица типа double размера d x d;
mu0 — мат.ожидание априорного распределения p(t_1), матрица типа double размера 1 x D;
V0 — ковариационная матрица априорного распределения p(t_1), матрица типа double размера D x D.
ВЫХОД
M — мат. ожидания распределений p(t_n|x_1,\dots,x_n), матрица типа double размера N x D;
V — ковариационные матрицы распределений p(t_n|x_1,\dots,x_n), массив типа double размера D x D x N;

 

Обучение с учителем для ЛДС
[A, C, G, S] = LDS_train(X, T, ParameterName1, ParameterValue1, ParameterName2, ParameterValue2, ...)
ВХОД
X — входная последовательность наблюдаемых переменных, матрица типа double размера N x d, где N – количество точек в последовательности, d – число признаков;
T — входная последовательность значений скрытых характеристик, матрица типа double размера N x D;
(ParameterName, ParameterValue) — (необязательные аргументы) набор дополнительных параметров, возможны следующие названия параметров:
  'A' — задаваемая пользователем матрица преобразования среднего в распределении p(t_n|t_{n-1})(соответственно, ее не нужно вычислять внутри функции);
  'C' — задаваемая пользователем матрица преобразования среднего в распределении p(x_n|t_n);
  'G' — задаваемая пользователем матрица ковариации p(t_n|t_{n-1});
  'S' — задаваемая пользователем матрица ковариации в распределении p(x_n|t_n);
ВЫХОД
A — матрица преобразования среднего в последовательности t, матрица типа double размера D x D;
C — матрица преобразования среднего при переходе от t_n к x_n, матрица типа double размера d x D;
G — ковариационная матрица для распределения p(t_n|t_{n-1}), матрица типа double размера D x D;
S — ковариационная матрица для распределения p(x_n|t_n), матрица типа double размера d x d;

 

Генерация траектории объекта в двухмерном пространстве
X = trajectory_generate(N)
ВХОД
N — длина генерируемой траектории, uint32;
ВЫХОД
X — сгенерированная траектория движения объекта в двухмерном пространстве, матрица типа double размера N x 2;

 

Генерация выборки для нелинейной динамической системы
[X, T] = EKF_generate(N, func_horiz, func_vert, G, S, mu0, V0)
ВХОД
N — количество точек в генерируемой последовательности, uint32;
func_horiz — указатель на функцию f, сама функция должна возвращать две величины: значение и градиент;
func_vert — указатель на функция g, сама функция должна возвращать свое значение и градиент;
G — ковариационная матрица для распределения p(t_n|t_{n-1}), матрица типа double размера D x D;
S — ковариационная матрица для распределения p(x_n|t_n), матрица типа double размера d x d;
mu0 — мат.ожидание априорного распределения p(t_1), матрица типа double размера 1 x D;
V0 — ковариационная матрица априорного распределения p(t_1), матрица типа double размера D x D.
ВЫХОД
X — сгенерированная наблюдаемая последовательность, матрица типа double размера N x d
T — последовательность скрытых характеристик, матрица типа double размера N x D

Обратите внимание: в процедуре EKF_generate параметры D и d определяются неявно по размеру соответствующих элементов.

Расширенный фильтр Калмана для нелинейной динамической системы
[M, V] = EKF_filter(X, func_horiz, func_vert, G, S, mu0, V0)
ВХОД
X — входная последовательность, матрица типа double размера N x d, где N – количество точек в последовательности, d – количество признаков;
func_horiz — указатель на функцию f;
func_vert — указатель на функцию g;
G — ковариационная матрица для распределения p(t_n|t_{n-1}), матрица типа double размера D x D;
S — ковариационная матрица для распределения p(x_n|t_n), матрица типа double размера d x d;
mu0 — мат.ожидание априорного распределения p(t_1), матрица типа double размера 1 x D;
V0 — ковариационная матрица априорного распределения p(t_1), матрица типа double размера D x D.
ВЫХОД
M — мат. ожидания распределений p(t_n|x_1,\dots,x_n), матрица типа double размера N x D;
V — ковариационные матрицы распределений p(t_n|x_1,\dots,x_n), массив типа double размера D x D x N;

Рекомендации по выполнению задания

  • Простейшим способом генерации траектории объекта является генерация по скорости и ускорению, где ускорение иногда меняет величину и направление;
  • Один из вариантов тестирования реализованных алгоритмов на основе ЛДС следующий:
    • Сгенерировать траекторию движения объекта;
    • Добавить к траектории случайный нормальный шум;
    • Отфильтровать зашумленную траекторию с помощью фильтра Калмана; убедиться, что отфильтрованный сигнал ближе к истинной траектории, чем входной зашумленный сигнал;
  • При тестировании генерации из модели ЛДС рекомендуется эксперимент с двухмерным сигналом, чтобы убедиться в корректности задаваемых корреляций.

Оформление задания

Выполненный вариант задания необходимо прислать письмом по адресу bayesml@gmail.com с темой «Задание 2. ФИО». Убедительная просьба присылать выполненное задание только один раз с окончательным вариантом. Новые версии будут рассматриваться только в самом крайнем случае. Также убедительная просьба строго придерживаться заданной выше спецификации реализуемых функций. Очень трудно проверять большое количество заданий, если у каждого будет свой формат реализации.

Письмо должно содержать:

  • PDF-файл с описанием проведенных исследований
  • LDS_generate.m
  • LDS_filter.m
  • LDS_train.m
  • trajectory_generate.m
  • EKF_generate.m
  • EKF_filter.m
  • Набор вспомогательных файлов при необходимости
Личные инструменты