Графические модели (курс лекций)/2013/Задание 3

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 22:03, 30 марта 2013

Основная статья: Графические модели (курс лекций)

Формулировка задания находится в стадии подготовки. Убедительная просьба не приступать к выполнению задания до тех пор, пока это предупреждение не будет удалено.

Начало выполнения задания: 18 марта 2013 г.;
Срок сдачи: 7 апреля 2013 г. (воскресенье), 23:59.

Среда для выполнения задания — MATLAB. Неэффективная реализация кода может негативно отразиться на оценке.

Содержание

1 Модель авторегрессии
2 Авторегрессионная скрытая марковская модель
3 Формулировка задания
4 Рекомендации по выполнению задания
5 Оформление задания

Модель авторегрессии

Графическая модель авторегрессии 1-го порядка

Случайный процесс с дискретным временем $\{\vec{x}_n\}_{n=1}^N$ , $\vec{x}_n\in\mathbb{R}^d$ называется авторегрессией первого порядка, если

$\vec{x}_n = \vec{w} + A\vec{x}_{n-1} + \vec{\varepsilon}_n,\quad \vec{\varepsilon}_n\sim\mathcal{N}(\vec{0},\Sigma)$ .

Здесь $\vec{w}\in\mathbb{R}^d$ , $A\in\mathbb{R}^{d\times d}$ , $\Sigma\in\mathbb{R}^{d\times d}$ , шумовые компоненты $\vec{\varepsilon}_n$ являются независимыми. Процесс авторегрессии является стационарным, если все собственные значения матрицы $A$ (включая комплексные) по модулю меньше единицы. Мат.ожидание $\vec{\mu}$ стационарного процесса авторегрессии определяется как

$\vec{\mu} = (I-A)^{-1}\vec{w}$ ,

где $I$ — единичная матрица размера $d\times d$ .

В терминах графических моделей авторегрессия первого порядка представляет собой байесовскую сеть с графом вида цепочка (см. рис.), где совместное распределение задается как

$p(X|\vec{w},A,\Sigma,\vec{x}_0)=\prod_{n=1}^N\mathcal{N}(\vec{x}_n|\vec{w}+A\vec{x}_{n-1},\Sigma)$ ,

а $\vec{x}_0$ — начальная предыстория.

Авторегрессия M-го порядка задается как

$\vec{x}_n = \vec{w}+\sum_{m=1}^MA_m\vec{x}_{n-m}+ \vec{\varepsilon}_n,\quad \vec{\varepsilon}_n\sim\mathcal{N}(\vec{0},\Sigma)$ .

Здесь шумовые компоненты $\vec{\varepsilon}_n$ по-прежнему предполагаются независимыми. Очевидно, что авторегрессия M-го порядка может быть сведена к авторегрессии первого порядка как

$\tilde{\vec{x}}_n = \tilde{\vec{w}} + \tilde{A}\tilde{\vec{x}}_{n-1} + \tilde{\vec{\varepsilon}}_n,\quad \tilde{\vec{w}} = \begin{bmatrix}\vec{w}\\ 0\\ \vdots \\ 0\end{bmatrix},\quad \tilde{\vec{x}}_n = \begin{bmatrix}\vec{x}_n\\ \vec{x}_{n-1}\\ \vdots \\ \vec{x}_{n-M}\end{bmatrix},\quad \tilde{A} = \begin{bmatrix}A_1 & A_2 & A_3 & \dots & A_{M-1} & A_M\\ I & 0 & 0 & \dots & 0 & 0\\ 0 & I & 0 & \dots & 0 & 0\\ \dots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & I & 0 \end{bmatrix},\quad \tilde{\vec{\varepsilon}}_n = \begin{bmatrix}\vec{\varepsilon}_n \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{bmatrix}.$

Поэтому авторегрессия M-го порядка является стационарной, если все собственные значения матрицы $\tilde{A}$ по модулю меньше единицы. Мат.ожидание стационарной регрессии M-го порядка определяется как

$\vec{\mu} = (I-A_1-\dots-A_M)^{-1}\vec{w}$ .

В дальнейшем для удобства набор матриц $A_1,\dots,A_M$ будем обозначать через $\mathcal{A}$ .

Графическая модель авторегрессии 2-го порядка

В терминах графических моделей авторегрессия M-го порядка представляет собой байесовскую сеть с графом, показанном на рис. справа, где совместное распределение задается как

$p(X|\vec{w},\mathcal{A},\Sigma,X_0)=\prod_{n=1}^N\mathcal{N}(\vec{x}_n|\vec{w}+\sum_{m=1}^MA_m\vec{x}_{n-m},\Sigma)$ ,

а $X_0=\{\vec{x}_0,\vec{x}_{-1},\dots,\vec{x}_{1-M}\}$ — начальная предыстория.

Авторегрессионная скрытая марковская модель

Графическая модель авторегрессионной скрытой марковской модели 2-го порядка

Авторегрессионная скрытая марковская модель M-го порядка — это байесовская сеть, граф которой показан на рис. справа, а совместное распределение задается как

$p(X,T|\theta,X_0)=p(t_1)\prod_{n=2}^Np(t_n |t_{n-1})\prod_{n=1}^Np(\vec{x}_n |t_n,\vec{x}_{n-1},\dots,\vec{x}_{n-M})$ .

Здесь $t_n\in\{1,\dots,K\}$ — скрытые дискретные состояния, $\vec{x}_n\in\mathbb{R}^d$ — непрерывные наблюдаемые переменные. Априорное распределение $p(t_1)$ задается вектором $[\pi_1,\ldots,\pi_K]$ , причем все $\pi_k\ge 0$ и $\sum_k\pi_k=1$ . Распределение $p(t_n |t_{n-1})$ задается матрицей перехода $R$ размера $K\times K$ , где в $ij$ -ой позиции стоит вероятность перехода из состояния $i$ в состояние $j$ . Все элементы этой матрицы неотрицательны, а сумма элементов по каждой строке равна единице. Модель генерации данных соответствует модели авторегрессии, в которой параметры $\vec{w},\mathcal{A},\Sigma$ зависят от текущего состояния $t_n$ . Таким образом,

$p(\vec{x}_n|t_n,\vec{x}_{n-1},\dots,\vec{x}_{n-M})=\mathcal{N}(\vec{x}_n|\vec{w}_{t_n}+\sum_{m=1}^MA_{m,t_n}\vec{x}_{n-m},\Sigma_{t_n})$ .

В результате полный набор параметров модели состоит из $\vec{\pi},R,\{\vec{w}_k,\mathcal{A}_k,\Sigma_k\}_{k=1}^K$ . Глубина авторегрессии $M$ , количество скрытых состояний $K$ , а также начальная предыстория $X_0=\{\vec{x}_0,\vec{x}_{-1},\dots,\vec{x}_{1-M}\}$ задаются пользователем.

Формулировка задания

Для модели авторегрессии M-го порядка:
- Вывести формулы для оценки параметров модели $\vec{w},A,\Sigma$ по наблюдениям $\{\vec{x}_n\}_{n=1}^N$ с помощью метода максимального правдоподобия;
- Реализовать процедуру генерации сигнала из модели авторегрессии;
- Реализовать процедуру оценки параметров $\vec{w},A,\Sigma$ по методу максимального правдоподобия;
- Реализовать процедуру оценки выборочной автокорреляционной функции остатков авторегрессии;
Провести эксперименты с авторегрессией M-го порядка на модельных данных:
- в
Для авторегрессионной скрытой марковской модели:
- Вывести формулы ЕМ-алгоритма для оценки параметров модели $\vec{\pi},B,\{\vec{w}_k,A_k,\Sigma_k}_{k=1}^K$ , при этом предусмотреть ситуации, когда часть параметров известна;
- Реализовать процедуру генерации сигнала из модели;
- Реализовать процедуру оценки параметров модели с помощью EM-алгоритма;
- Реализовать процедуру оценки скрытых состояний по наблюдаемым данным и параметрам модели с помощью алгоритма Витерби;
Провести эксперименты с авторегрессионной скрытой марковской моделью на модельных данных:
Применить авторегрессионную скрытую марковскую модель для моделирования и сегментации движений в базе данных mocap.

Оформление задания

Выполненное задание следует отправить письмом по адресу bayesml@gmail.com с заголовком письма «[ГМ13] Задание 3 <ФИО>». Убедительная просьба присылать выполненное задание только один раз с окончательным вариантом. Также убедительная просьба строго придерживаться заданных ниже прототипов реализуемых функций.

Присланный вариант задания должен содержать в себе:

Файл отчёта в формате PDF с указанием ФИО.
Все исходные коды с необходимыми комментариями.

Генерация выборки

[X, T] = ARHMM_GENERATE(N, w, A, Mu, Sigma, C)

ВХОД

N — количество точек в генерируемой последовательности, uint32;

w — априорные вероятности для скрытых состояний, матрица типа double размера 1 x K;

A — матрица перехода, матрица типа double размера K x K;

Mu — константы в центрах гауссиан для каждого состояния, матрица типа double размера K x d, в которой в каждой строке стоит вектор для соответствующего состояния;

Sigma — общая матрица ковариации гауссиан, матрица типа double размера d x d;

C — коэффициенты авторегрессии, матрица типа double размера K x M;

ВЫХОД

X — сгенерированная последовательность, матрица типа double размера N x d

T — последовательность скрытых состояний, матрица типа double размера 1 x N

Обратите внимание: в процедуре ARHMM_GENERATE количество признаков, скрытых состояний и глубина авторегрессии определяются неявно по размеру соответствующих элементов.

Сегментация

T = ARHMM_TEST(X, w, A, Mu, Sigma, C)

ВХОД

X — входная последовательность, матрица типа double размера N x d, где N – количество точек в последовательности, d – количество признаков;

w — априорные вероятности, матрица типа double размера 1 x K, где K – количество скрытых состояний;

A — матрица перехода, матрица типа double размера K x K;

Sigma — общая матрица ковариации гауссиан, матрица типа double размера d x d;

C — коэффициенты авторегрессии, матрица типа double размера K x M, где M — глубина авторегрессии;

ВЫХОД

T — полученная последовательность скрытых состояний, матрица типа double размера 1 x N

Обучение

[w, A, Mu, Sigma, C, core] = ARHMM_EM_TRAIN(X, K, M)

[w, A, Mu, Sigma, C, core] = ARHMM_EM_TRAIN(X, K, M, InputParameters)

ВХОД

X — входная последовательность, матрица типа double размера N x d, где N – количество точек в последовательности, d – число признаков;

K — количество скрытых состояний, число типа uint16;

M — глубина авторегрессии, число типа uint16;

InputParameters — (необязательный аргумент) набор дополнительных параметров, массив типа cell вида ParameterName1, ParameterValue1, ParameterName2, ParameterValue2 и т.д. Возможны следующие параметры:

'w' — задаваемый пользователем вектор априорных вероятностей (соответственно, его не нужно определять в процессе EM-итераций);

'A' — задаваемая пользователем матрица перехода;

'Mu' — задаваемые пользователем центры гауссиан для каждого состояния;

'Sigma' — задаваемая пользователем матрица ковариации гауссиан;

'C' — задаваемые пользователем коэффициенты авторегрессии;

'num_iter' — максимально допустимое число итераций EM-алгоритма;

'tol_LH' — минимально допустимая величина отклонения по значению логарифма правдоподобия на одной итерации;

ВЫХОД

w — априорные вероятности для скрытых состояний, матрица типа double размера 1 x K;

A — матрица перехода, матрица типа double размера K x K;

Mu — центры гауссиан для каждого состояния, матрица типа double размера K x d, в которой в каждой строке стоит вектор мат.ожидания для соответствующего состояния;

Sigma — матрица ковариации гауссиан, массив типа double размера d x d;

C — коэффициенты авторегрессии, матрица типа double размера K x M;

Core — все параметры для всех итераций EM-алгоритма, массив структур длины num_iter с полями 'w', 'A', 'Mu', 'Sigma', 'C', 'gamma', 'LH', где gamma – матрица значений gamma для всех точек и всех состояний, LH – логарифм правдоподобия

Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%93%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8_%28%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9%29/2013/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_3»

Категория: Учебные курсы

@@ Строка 9: / Строка 9: @@
 == Модель авторегрессии ==
+[[Изображение:AR1.png|thumb|300px|Графическая модель авторегрессии 1-го порядка]]
 Случайный процесс с дискретным временем <tex>\{\vec{x}_n\}_{n=1}^N</tex>, <tex>\vec{x}_n\in\mathbb{R}^d</tex> называется ''авторегрессией первого порядка'', если
@@ Строка 37: / Строка 39: @@
 :<tex>\vec{\mu} = (I-A_1-\dots-A_M)^{-1}\vec{w}</tex>.
+В дальнейшем для удобства набор матриц <tex>A_1,\dots,A_M</tex> будем обозначать через <tex>\mathcal{A}</tex>.
+[[Изображение:AR2.png|thumb|300px|Графическая модель авторегрессии 2-го порядка]]
+В терминах графических моделей авторегрессия M-го порядка представляет собой байесовскую сеть с графом, показанном на рис. справа, где совместное распределение задается как
+:<tex>p(X|\vec{w},\mathcal{A},\Sigma,X_0)=\prod_{n=1}^N\mathcal{N}(\vec{x}_n|\vec{w}+\sum_{m=1}^MA_m\vec{x}_{n-m},\Sigma)</tex>,
+а <tex>X_0=\{\vec{x}_0,\vec{x}_{-1},\dots,\vec{x}_{1-M}\}</tex> — начальная предыстория.
 == Авторегрессионная скрытая марковская модель ==
-Рассматривается авторегрессионная скрытая марковская модель, в которой полное правдоподобие задается как:
+[[Изображение:ARHMM2.png|thumb|300px|Графическая модель авторегрессионной скрытой марковской модели 2-го порядка]]
-<center>
-<tex>
-p(X,T|\theta)=p(t_1)\prod_{n=2}^Np(t_n |t_{n-1})\prod_{n=1}^Np(x_n |t_n,x_{n-1},\dots,x_{n-M} )
-</tex>
-</center>
-Пусть скрытая компонента <tex>t_n</tex> в произвольный момент времени может принимать значения из множества <tex>\{1,\dots,K\}</tex>. Априорное распределение на значение скрытой компоненты в первый момент времени задается вектором <tex>w_1,\ldots,w_K</tex>, причем все <tex>w_i\ge 0</tex> и <tex>\sum_iw_i=1</tex>. Распределение <tex>p(t_n |t_{n-1})</tex> задается матрицей перехода <tex>A</tex> размера <tex>K\times K</tex>, где в <tex>ij</tex>-ой позиции стоит вероятность перехода из состояния <tex>i</tex> в состояние <tex>j</tex>. Все элементы этой матрицы неотрицательны и сумма элементов по каждой строке равна единице. Модель генерации данных задается нормальными распределениями с одинаковой матрицей ковариации <tex>\Sigma</tex> и своими математическими ожиданиями <tex>\mu_{n,j}</tex> для каждого состояния и каждого момента времени. Математическое ожидание зависит не только от состояния СММ, но и '''от предыдущих значений''' <tex>x</tex> (авторегрессионная составляющая) и задается формулой
-<tex>
+Авторегрессионная скрытая марковская модель M-го порядка — это байесовская сеть, граф которой показан на рис. справа, а совместное распределение задается как
-\mu_{n,j}=c_{0,j}+\sum_{m=1}^Mc_{m,j}x_{n-m},
-</tex>
+:<tex>p(X,T|\theta,X_0)=p(t_1)\prod_{n=2}^Np(t_n |t_{n-1})\prod_{n=1}^Np(\vec{x}_n |t_n,\vec{x}_{n-1},\dots,\vec{x}_{n-M})</tex>.
+Здесь <tex>t_n\in\{1,\dots,K\}</tex> — скрытые дискретные состояния, <tex>\vec{x}_n\in\mathbb{R}^d</tex> — непрерывные наблюдаемые переменные. Априорное распределение <tex>p(t_1)</tex> задается вектором <tex>[\pi_1,\ldots,\pi_K]</tex>, причем все <tex>\pi_k\ge 0</tex> и <tex>\sum_k\pi_k=1</tex>. Распределение <tex>p(t_n |t_{n-1})</tex> задается матрицей перехода <tex>R</tex> размера <tex>K\times K</tex>, где в <tex>ij</tex>-ой позиции стоит вероятность перехода из состояния <tex>i</tex> в состояние <tex>j</tex>. Все элементы этой матрицы неотрицательны, а сумма элементов по каждой строке равна единице. Модель генерации данных соответствует модели авторегрессии, в которой параметры <tex>\vec{w},\mathcal{A},\Sigma</tex> зависят от текущего состояния <tex>t_n</tex>. Таким образом,
-где <tex>c_{0,j},\ldots,c_{M,j}</tex> — коэффициенты авторегрессии, которые зависят от состояния СММ.
+:<tex>p(\vec{x}_n|t_n,\vec{x}_{n-1},\dots,\vec{x}_{n-M})=\mathcal{N}(\vec{x}_n|\vec{w}_{t_n}+\sum_{m=1}^MA_{m,t_n}\vec{x}_{n-m},\Sigma_{t_n})</tex>.
-Таким образом, набор параметров модели определяется вектором <tex>\vec{w}</tex>, матрицей <tex>A</tex>, матрицей ковариаций <tex>\Sigma</tex> и матрицей <tex>C</tex> коэффициентов авторегрессии <tex>\{c_{i,j}\}_{i=0,j=1}^{M,K}.</tex> Глубина авторегрессии <tex>M</tex> задается пользователем.
+В результате полный набор параметров модели состоит из <tex>\vec{\pi},R,\{\vec{w}_k,\mathcal{A}_k,\Sigma_k\}_{k=1}^K</tex>. Глубина авторегрессии <tex>M</tex>, количество скрытых состояний <tex>K</tex>, а также начальная предыстория <tex>X_0=\{\vec{x}_0,\vec{x}_{-1},\dots,\vec{x}_{1-M}\}</tex> задаются пользователем.
 == Формулировка задания ==

Графические модели (курс лекций)/2013/Задание 3

Материал из MachineLearning.

Версия 22:03, 30 марта 2013

Содержание

Модель авторегрессии

Авторегрессионная скрытая марковская модель

Формулировка задания

Рекомендации по выполнению задания

Оформление задания

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты