Интерполяция каноническим полиномом

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Постановка задачи

Пусть задана функция f(x) на отрезке [a,b]. Задача интерполяции состоит в построении функции g(x), совпадающей с f(x) в некотором наборе точек x0, x1,...,xn из отрезка [a,b]. Эти точки называются узлами интерполяции. Также должно выполняться условие: g(xk) = yk, k=0,...,n, где yk = f(xk).

Полином в каноническом виде

Известно, что любая непрерывная на отрезке [a,b] функция f(x) может быть хорошо приближена некоторым полиномом Pn(x). Справедлива следующая Теорема (Вейерштрасса): Для любого \eps>0 существует полином Pn(x) степени n=n(\eps), такой, что max_{x \in [a,b]}|f(x)-P_n(x)|<\eps

В качестве аппроксимирующей функции выберем полином степени n в каноническом виде:

f(x)=P_n(x)=c_0+c_1x+c_2x^2+ \ldots + c_nx^n

Коэффициенты полинома c_i определим из условий Лагранжа P_n(x_i)=y_i, i=1, \ldots, n, что с учётом предыдущего выражения даёт систему линейных алгебраических уравнений с n+1 неизвестными:


\begin{matrix}
c_0 + c_1x_0 + c_2x_0^2 + \ldots + c_nx_0^n = y_0 \\
c_0 + c_1x_1 + c_2x_1^2 + \ldots + c_nx_1^n = y_1 \\
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
c_0 + c_1x_n + c_2x_n^2 + \ldots + c_nx_n^n = y_n
\end{matrix}

Обозначим систему таких уравнений символом (*) и перепишем её следующим образом:

\sum_{p=0}^n c_i^p = y_i, \quad i=1, \ldots, n

или в матричной форме: \mathbf{Ac}=\mathbf{y}, где \mathbf{c} - вектор-столбец, содержащий неизвестные коэффициенты c_i, \mathbf{y} - вектор-столбец, составленный из табличных значений функции y_i, а матрица \mathbf{A} имеет вид:

 \mathbf{A} = 
\begin{pmatrix}
1 & x_0 & x_0^2 & \ldots & x_0^n \\
1 & x_1 & x_1^2 & \ldots & x_1^n \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
1 & x_n & x_n^2 & \ldots & x_n^n \\
\end{pmatrix}

Система линейных алгебраических уравнений (*) относительно неизвестных c_i иметь единственное решение, если определитель матрицы \mathbf{A} отличен от нуля.

Определитель матрицы \mathbf{A} называют определителем Вандермонда, его можно вычислить по следующей формуле:

\mathbf{detA} = \prod_{i,j=0 \\ i \neq j }^n (x_i - x_j) \neq 0

Число узлов интерполяционного полинома должно быть на единицу больше его степени. Это понятно из интуитивных соображений: через 2 точки можно провести единственную прямую, через 3 - единственную параболу и т.д. Но полином может получиться и меньшей степени. Т.е. если 3 точки лежат на одной прямой, то через них пройдёт единственный полином первой степени (но это ничему не противоречит: просто коэффициент при старшей степени равен нулю).

При достаточной простоте реализации метода он имеет существенный недостаток: число обусловленности матрицы быстро растёт с увеличением числа узлов интерполяции, что можно показать на следующем графике

Зависимость числа обусловленности матрицы от количества узлов интерполяции

Из-за плохой обусловленности матрицы рекомендуется применять другие методы интерполяции (например, метод Лагранжа). При этом важно понимать, что при теоретическом принемении различных методов они приводят к одинаковому результату, т.е. мы получим один и тот же полином.

Однако при практической реализации мы получим полиномы различной точности аппроксимации из-за погрешности вычислений аппаратуры.

Способ вычисления полинома в точке

Чтобы изобразить графически аппроксимирующий полином, необходимо вычислить его значение в ряде точек. Это можно сделать следующими способами.

Первый способ. Можно посчитать значение a1x и сложить с a0. Далее найти a2x2, сложить с полученным результатом, и так далее. Таким образом, на j-ом шаге вычисляется значение ajxj и складывается с уже вычисленной суммой a_0 + a_1x + \ldots + a_{j-1}x^{j-1}.

Вычисление значения ajxj требует j операций умножения. Т.е. для подсчёта многочлена в заданной точке требуется (1 + 2 + ... + n) = n(n+1)/2 операций умножения и n операций сложения. Всего операций в данном случае: Op1 = n(n+1)/2 + n.

Второй способ. Полином можно также легко вычислить с помощью так называемой схемы Горнера: P_n(x) = (\ldots ((a_nx + a_{n-1})x + a_{n-2})x + \ldots)x + a_0

Для вычисления значения во внутренних скобках anx + an-1 требуется одна операция умножения и одна операция сложения. Для вычисления значения в следующих скобках (anx + an-1)x + an-2 требуется опять одна операция умножения и одна операция сложения, т.к. anx + an-1 уже вычислено, и т.д.

Тогда в этом способе вычисление Pn(x) потребует n операций умножения и n операций сложения, т.е. сложность вычислений Op2 = n+n = 2n. Ясно, что Op2 << Op1.

Анализ метода

Сложность вычислений

Оценка сложности интерполирования функции складывается из количества операций для решения СЛАУ (системы линейных алгебраических уравнений) и нахождения значения полинома в точке.

Сложность решения СЛАУ (системы линейных алгебраических уравнений), например, методом Гаусса для матрицы размера nxn: 2n3/3, т.е. O(n3).

Для нахождения полинома в заданной точке требуется n умножений и n сложений. В результате сложность метода: O(n3).

Погрешность интерполяции

Предположим, что на отрезке интерполирования [a,b] функция f(x) n раз непрерывно-дифференцируема. Погрешность интерполяции складывается из погрешности самого метода и ошибок округления.

Ошибка приближения функции f(x) интерполяционным полиномом n-ой степени Pn(x) в точке x определяется разностью: Rn(x) = f(x) - Pn(x).

Погрешность Rn(x) определяется следующим соотношением:
R_n(x) = \frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}\omega_n(x)

Здесь f^{n+1}(\xi) - производная (n+1)-го порядка функции f(x) в некоторой точке \xi \in [a,b], а функция \omega_n(x) определяется как
\omega_n(x)=(x-x_0)(x-x_1)\ldots (x-x_n).

Если максимальное значение производной fn+1(x) равно M_{n+1} = \sup_{x \in [x_0, x_n]} \left| f^{n+1}(x) \right| , то для погрешности интерполяции следует оценка: \left| R_n(x) \right| =  \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}\omega_n(x).

При реализации данного метода на ЭВМ ошибкой интерполяции En(x) будем считать максимальное уклонение полинома от исходной функции на выбранном промежутке: E_n(x) = \max_{x \in [a, b]} \left| f(x) - P_n(x) \right| .

Выбор узлов интерполяции

Ясно, что от выбора узлов интерполируемой функции напрямую зависит, насколько точно многочлен будет являться её приближением.


Введём следующее определение: полиномом Чебышева называется многочлен вида


Tk(x) = cos(k arccos x), |x|≤1.


Известно (см. ссылки литературы), что если узлы интерполяции x0, x1,...,xn являются корнями полинома Чебышева степени n+1, то величина \max_{x \in [a,b]} \left| \omega_{n+1}(x) \right| принимает наименьшее возможное значение по сравнению с любым другим выбором набора узлов интерполяции.


Очевидно, что в случае k = 1 функция T1(x), действительно, является полиномом первой степени, поскольку T1(x) = cos(arccos x) = x.


В случае k = 2 T2(x) тоже полином второй степени. Это нетрудно проверить. Воспользуемся известным тригонометрическим тождеством: cos2θ = 2cos²θ - 1, положив θ = arccos x.

Тогда получим следующее соотношение: T2(x) = 2x² - 1.


С помощью тригонометрического тождества cos(k + 1)θ = 2cosθcos - cos(k - 1) легко показать, что для полиномов Чебышева справедливо реккурентное соотношение:

Tk+1(x) = 2xTk(x) - Tk-1(x)


При помощи данного соотношения можно получить формулы для полиномов Чебышева любой степени.


Корни полинома Чебышева легко находятя из уравнения: Tk(x) = cos(k arccos x) = 0. Получаем, что уравнение имеет k различных корней, расположенных на отрезке [-1,1]: x_m = \cos \frac{2m+1}{2k}\pi, \, m = 0,1, \cdots, k-1, которые и следует выбирать в качестве узлов интерполирования.


Нетрудно видеть, что корни на [-1,1] расположены симметрично и неравномерно - чем ближе к краям отрезка, тем корни расположены плотнее. Максимальное значение модуля полинома Чебышева равно 1 и достигается в точках \cos \frac{m}{k}\pi.


Если положить \omega_k(x) = \frac1{2^{k-1}}T_k(x), то для того, чтобы коэффициент при старшей степени полинома ωk(x) был равен 1, \max_{x \in [-1,1]}\omega_k(x) = \frac1{2^{k-1}}.


Известно, что для любого полинома pk(x) степени k с коэффициентом, равным единице при старшей производной верно неравенство \max_{x \in [-1,1]}p_k(x) \geq \frac1{2^{k-1}}, т.е. полиномы Чебышева являются полиномами, наименее уклоняющимися от нуля.

Вычислительный эксперимент

Для реализации поставленной задачи была написана программа на языке С++, которая по заданной функции приближает её каноническим полиномом. Разумеется, необходимо указать узлы, через которые полином пройдёт, и значения функции в этих узлах.

Далее строится СЛАУ, которая решается методом Гаусса. На выходе получаем коэффициенты для полинома и ошибку аппроксимации.

Как было показано выше, и в чём мы убедимся в дальнейшем, от выбора узлов зависит точность, с которой полином будет приближать функцию.

Пример 1: Интерполяция синуса

Попробуем интерполировать функцию y = sin(x) на отрезке [1, 8.5]. Выберем узлы интерполяции: {1.1, 2, 4.7, 7.5, 8.5}

Полученный в результате интерполяции полином отображён на рисунке (синим цветом показан график y = sin(x), красным – интерполяционного полинома)

Изображение:Report1-fig2.gif

Ошибка интерполяции в этом случае: 0.1534

Давайте посмотрим, что произойдёт, если выбрать равномерно стоящие узлы {2, 3.5 5, 6.5, 8} для той же функции на том же отрезке.

На отрезке [3, 6] приближение, бесспорно, стало лучше. Однако разброс на краях очень большой. Ошибка интерполяции: 2.3466

Изображение:Report1-fig3.gif


Смотри также