Конкордация Кенделла

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Новая: Скоро здесь будет статья!)
(начальная версия)
Строка 1: Строка 1:
-
Скоро здесь будет статья!
+
{{TOCright}}
 +
 
 +
'''Статья находится в разработке.'''
 +
 
 +
'''Конкардация Кенделла''' - это непараметрический статистикий тест. Он обычно используется для измерения статистической связи между несколькими выборками. И если для корреляции Пирсона используется дополнительное предположение о нормальности выборок и сравниваются одновременно только две выборки, то в конкардации Кенделла нет предположения о виде распределении и используется любое количество выборок.
 +
 
 +
 
 +
==Примеры задач==
 +
'''Пример 1. (инвестиционные проекты)'''
 +
 
 +
Пусть имеется <tex>n</tex> объектов (инвестиционных проектов). В экспертный совет по принятию этих проектов входят <tex>k</tex> человек. Каждый эксперт выставляет оценки каждому проекту в ранговых шкалах. Требуется выяснить, насколько согласны между собой эксперты.
 +
 
 +
 
 +
==Определение==
 +
Заданы <tex>k\ (k \ge 2)</tex> выборок <tex>x_1=(x_1^1,\ \cdots,x_n^1),\cdots,\ x_k=(x_1^k,\cdots,x_n^k)</tex>.
 +
 
 +
'''Коэффициент конкордации (согласованности) Кенделла''' равен
 +
 
 +
<tex>W=\frac{k-1}{k}\underbrace{ \frac{2}{k(k-1)}\sum_{i<j}\rho_{x_i x_j} }_{среднее арифметическое
 +
 
 +
Спирмена}+\frac{1}{k}</tex>
 +
 
 +
где <tex>\rho_{x_i x_j}</tex> - [[Коэффициент корреляции Спирмена|коэффициент корреляции Спирмена]]
 +
 
 +
'''Ранговый коэффициент конкордации'''
 +
 
 +
<tex>W=\frac{12}{k^2 (n^3-n)}\sum_{i=1}^{n}(\sum_{j=1}^{k}R_{ij}-\frac{k(n+1)}{2})^2</tex>,
 +
 
 +
где <tex>R_{ij}\in\{1,\cdots,n\}</tex> - ранг <tex>i</tex>-го элемента в <tex>X_j</tex> выборке.
 +
 
 +
'''Свойства:'''
 +
 
 +
1) <tex>W\in[0,1]</tex>
 +
 
 +
 
 +
'''Замечание'''
 +
при <tex>k=2</tex> получаем, что
 +
<tex>W=\frac{\rho+1}{2}</tex>
 +
т.е. коэффициент конкордации <tex>W</tex> линейно зависит от [[Коэффициент корреляции Спирмена|коэффициента корреляции Спирмена]] <tex>\rho</tex>
 +
 
 +
 
 +
==Статистическая проверка наличия корреляции==
 +
'''Гипотеза''' <tex>H_0:\ X_1,\cdots,\ X_k</tex> независимы.
 +
 
 +
'''Статистика''': <tex>n(k-1)W</tex>
 +
имеет распрелеление хи-квадрат с <tex>(n-1)</tex> степенями свободы
 +
 
 +
==Литература==
 +
# Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика:Учебное пособие.-М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007.-472с.
 +
 
 +
==См. также==
 +
*[[Коэффициент корреляции Пирсона]]
 +
*[[Ранговая корреляция]]
 +
*[[Коэффициент корреляции Спирмена]]
 +
 
 +
== Ссылки ==
 +
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Kendall's_W] (Wikipedia)
 +
 
 +
[[Категория: Прикладная статистика]]
 +
[[Категория:Корреляционный анализ|К]]

Версия 20:34, 9 января 2009

Содержание

Статья находится в разработке.

Конкардация Кенделла - это непараметрический статистикий тест. Он обычно используется для измерения статистической связи между несколькими выборками. И если для корреляции Пирсона используется дополнительное предположение о нормальности выборок и сравниваются одновременно только две выборки, то в конкардации Кенделла нет предположения о виде распределении и используется любое количество выборок.


Примеры задач

Пример 1. (инвестиционные проекты)

Пусть имеется n объектов (инвестиционных проектов). В экспертный совет по принятию этих проектов входят k человек. Каждый эксперт выставляет оценки каждому проекту в ранговых шкалах. Требуется выяснить, насколько согласны между собой эксперты.


Определение

Заданы k\ (k \ge 2) выборок x_1=(x_1^1,\ \cdots,x_n^1),\cdots,\ x_k=(x_1^k,\cdots,x_n^k).

Коэффициент конкордации (согласованности) Кенделла равен

W=\frac{k-1}{k}\underbrace{ \frac{2}{k(k-1)}\sum_{i<j}\rho_{x_i x_j} }_{среднее арифметическое </p><p>Спирмена}+\frac{1}{k}

где \rho_{x_i x_j} - коэффициент корреляции Спирмена

Ранговый коэффициент конкордации

W=\frac{12}{k^2 (n^3-n)}\sum_{i=1}^{n}(\sum_{j=1}^{k}R_{ij}-\frac{k(n+1)}{2})^2,

где R_{ij}\in\{1,\cdots,n\} - ранг i-го элемента в X_j выборке.

Свойства:

1) W\in[0,1]


Замечание при k=2 получаем, что W=\frac{\rho+1}{2} т.е. коэффициент конкордации W линейно зависит от коэффициента корреляции Спирмена \rho


Статистическая проверка наличия корреляции

Гипотеза H_0:\ X_1,\cdots,\ X_k независимы.

Статистика: n(k-1)W имеет распрелеление хи-квадрат с (n-1) степенями свободы

Литература

  1. Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика:Учебное пособие.-М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007.-472с.

См. также

Ссылки

  • [1] (Wikipedia)
Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%9A%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%B0»
Личные инструменты