Коэффициент корреляции Пирсона

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
м (→Слабые стороны)
м (→Определение)
Строка 1: Строка 1:
{{TOCright}}
{{TOCright}}
== Определение ==
== Определение ==
-
Коэффициент корреляции Пирсона характеризует существование [[Линейная зависимость|линейной зависимости]] между двумя величинами.
+
Коэффициент корреляции Пирсона характеризует существование линейной зависимости между двумя величинами.
-
Даны две выборки
+
Пусть даны две выборки <tex>x^m=\left( x_1, \cdots ,x_m \right), \; y^m=\left( y_1, \cdots ,y_m \right);</tex> коэффициент корреляции Пирсона рассчитывается по формуле:
-
<tex>x=\left( x_1, \cdots ,x_n \right), \; y=\left( y_1, \cdots ,y_n \right) </tex>;
+
::<tex>r_{xy} = \frac {\sum_{i=1}^{m} \left( x_i-\bar{x} \right)\left( y_i-\bar{y} \right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{m} \left( x_i-\bar{x} \right)^2 \sum_{i=1}^{m} \left( y_i-\bar{y} \right)^2}} = \frac {cov(x,y)}{\sqrt{s_x^2 s_y^2}},</tex>
-
Коэффициент корреляции Пирсона рассчитывается по формуле:
+
где <tex>\bar{x}, \bar{y}</tex> – выборочные средние <tex>x^m</tex> и <tex>y^m</tex>, <tex>s_x^2, s_y^2</tex> – выборочные дисперсии, <tex>r_{xy} \in \left[-1,1\right]</tex>.
-
<tex>r_{xy} = \frac {\sum_{i=1}^{n} \left( x_i-\bar{x} \right)\left( y_i-\bar{y} \right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} \left( x_i-\bar{x} \right)^2 \sum_{i=1}^{n} \left( y_i-\bar{y} \right)^2}} = \frac {cov(x,y)}{\sqrt{S_x^2S_y^2}} </tex>
+
Коэффициент корреляции Пирсона называют также теснотой линейной связи:
-
 
+
*<tex>\left| r_{xy} \right| =1 \;\Rightarrow\; x, y</tex> линейно зависимы,
-
где
+
*<tex>r_{xy}=0 \;\Rightarrow\; x, y</tex> линейно независимы.
-
 
+
-
<tex>\bar{x}, \; \bar{y}</tex> - средние значения выборок x и y;
+
-
 
+
-
<tex>S_x, \; S_y</tex> - среднеквадратичные отклонения;
+
-
 
+
-
<tex>r_{xy} \in \left[-1,1\right]</tex> − называют также теснотой линейной связи.
+
-
*<tex>\left| r_{xy} \right| =1</tex> , тогда <tex>x, y</tex> - линейно зависимы.
+
-
*<tex>r_{xy}=0</tex>, тогда <tex>x, y</tex> - линейно независимы.
+
== Статистическая проверка наличия корреляции ==
== Статистическая проверка наличия корреляции ==

Версия 13:49, 11 января 2012

Содержание

Определение

Коэффициент корреляции Пирсона характеризует существование линейной зависимости между двумя величинами.

Пусть даны две выборки x^m=\left( x_1, \cdots ,x_m \right), \; y^m=\left( y_1, \cdots ,y_m \right); коэффициент корреляции Пирсона рассчитывается по формуле:

r_{xy} = \frac {\sum_{i=1}^{m} \left( x_i-\bar{x} \right)\left( y_i-\bar{y} \right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{m} \left( x_i-\bar{x} \right)^2 \sum_{i=1}^{m} \left( y_i-\bar{y} \right)^2}} = \frac {cov(x,y)}{\sqrt{s_x^2 s_y^2}},

где \bar{x}, \bar{y} – выборочные средние x^m и y^m, s_x^2, s_y^2 – выборочные дисперсии, r_{xy} \in \left[-1,1\right].

Коэффициент корреляции Пирсона называют также теснотой линейной связи:

  • \left| r_{xy} \right| =1 \;\Rightarrow\; x, y линейно зависимы,
  • r_{xy}=0 \;\Rightarrow\; x, y линейно независимы.

Статистическая проверка наличия корреляции

Гипотеза: H_0: отсутствует линейная связь между выборками x и y (r_{xy} = 0).

Статистика критерия:

T = \frac{r_{xy}\sqrt{n-2}}{sqrt{1-r^2_{xy}}} \sim t_{n-2} – распределение Стьюдента с n-2 степенями свободы.

Критерий:

T \in [t_\alpha,t_{1-\alpha}], где t_\alpha есть α-квантиль распределения Стьюдента.

Слабые стороны

Четыре различных набора данных, коэффициент корреляции на которых равен 0.81
Четыре различных набора данных, коэффициент корреляции на которых равен 0.81
  • Неустойчивость к выбросам.
  • С помощью коэффициента корреляции Пирсона можно определить силу линейной зависимости между величинами, другие виды взаимосвязей выявляются методами регрессионного анализа.
  • Необходимо понимать различие понятий "независимость" и "некоррелированность". Из первого следует второе, но не наоборот.

Для того, чтобы выяснить отношение между двумя переменными, часто необходимо избавиться от влияния третьей переменной. Рассмотрим пример 3-х переменных: x,y,z. Исключим влияние переменной z:

r_{xy \setminus z}=\frac{r_{xy}-r_{xz}r_{yz}}{\sqrt{ \left(\ 1-r_{xz} \right)^2 \left(\ 1-r_{yz} \right)^2}} – частный коэффициент корреляции.

Для исключения влияния большего числа переменных:

r_{ij \setminus vars}=\frac{-R_{ij}}{\sqrt{R_{ii}R_{jj}}}

R_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} , где M_{ij} – главный минор матрицы коэффициентов корреляции переменных R = \begin{pmatrix} 1 & r_{12} & \dots & r_{1k} \\ r_{21} & 1 & \dots & r_{2k}\\ \vdots & & & \vdots \\ r_{k1} & \dots & \dots & 1 \end{pmatrix} .

Литература

См. также

Ссылки

Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D0%B8_%D0%9F%D0%B8%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0»
Личные инструменты