Коэффициент корреляции Пирсона

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
Строка 2: Строка 2:
Даны две выборки
Даны две выборки
-
<tex>x=\left( x_1, \cdots ,x_n \right), \; y=\left( y_1, \cdots ,y_n \right) </tex>
+
<tex>x=\left( x_1, \cdots ,x_n \right), \; y=\left( y_1, \cdots ,y_n \right) </tex>;
Коэффициент корреляции Пирсена рассчитывается по формуле:
Коэффициент корреляции Пирсена рассчитывается по формуле:
Строка 8: Строка 8:
<tex>r_{xy} = \frac {\sum_{i=1}^{n} \left( x_i-\bar{x} \right)\left( y_i-\bar{y} \right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} \left( x_i-\bar{x} \right)^2 \sum_{i=1}^{n} \left( y_i-\bar{y} \right)^2}} = \frac {cov(x,y)}{\sqrt{S_x^2S_y^2}} </tex>
<tex>r_{xy} = \frac {\sum_{i=1}^{n} \left( x_i-\bar{x} \right)\left( y_i-\bar{y} \right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} \left( x_i-\bar{x} \right)^2 \sum_{i=1}^{n} \left( y_i-\bar{y} \right)^2}} = \frac {cov(x,y)}{\sqrt{S_x^2S_y^2}} </tex>
-
<tex>r_{xy} \in \left[-1,1\right]</tex> − теснота линейной связи.
+
где
 +
 
 +
<tex>\bar{x}, \; \bar{y}</tex> - средние значения выборок x и y;
 +
 
 +
<tex>S_x, \; S_y</tex> - среднеквадратичные отклонения;
 +
 
 +
<tex>r_{xy} \in \left[-1,1\right]</tex> − называют также теснотой линейной связи.
== Статистическая проверка наличия корреляции ==
== Статистическая проверка наличия корреляции ==
Строка 16: Строка 22:
Статистика критерия:
Статистика критерия:
-
<tex> T = \frac{2xy\sqrt{n-2}}{sqrt{1-2x^2y^2}} \sim t_{n-2} </tex> - [[Распределение Стьюдента]] с n-2 степенью свободы.
+
<tex> T = \frac{2xy\sqrt{n-2}}{sqrt{1-2x^2y^2}} \sim t_{n-2} </tex> - [[Распределение Стьюдента]] с <tex>n-2</tex> степенями свободы.
== Слабые стороны ==
== Слабые стороны ==
* Неустойчивость к выбросам
* Неустойчивость к выбросам
 +
 +
* Необходимо понимать различие понятий "независимость" и "некоррелированность". Из первого следует второе, но не наоборот. Для того, чтобы выяснить отношение между двумя переменными, необходимо избавиться от влияния третьей переменной. Рассмотрим пример 3-х переменных: x,y,z. Исключим влияние переменной z:
 +
 +
:: <tex>r_{xy \setminus z}=\frac{r_{xy}-r_{xz}r_{yz}}{\sqrt{ \left(\ 1-r_{xz} \right)^2 \left(\ 1-r_{yz} \right)^2}} </tex>
 +
 +
Для исключения влияния большего числа переменных:
 +
 +
:: <tex>r_{ij \setminus vars}=\frac{-R_{ij}}{\sqrt{R_{ii}R_{jj}}} </tex>
 +
 +
<tex> R_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} </tex>, где <tex>M_{ij} </tex> - гл. минор матрицы коэффициентов корреляции переменных <tex> R =
 +
\begin{pmatrix}
 +
1 & r_{12} & \dots & r_{1k} \\
 +
r_{21} & 1 & \dots & r_{2k}\\
 +
\vdots & & & \vdots \\
 +
r_{k1} & \dots & \dots & 1
 +
\end{pmatrix}
 +
</tex>;
 +
== Литература ==
== Литература ==
Строка 32: Строка 56:
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 Корреляционный анализ]
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 Корреляционный анализ]
 +
 +
[[Категория]]: [[Корреляционный анализ ]]
{{UnderConstruction|[[Участник:Венжега Андрей|Венжега Андрей]] 21:51, 13 ноября 2008 (MSK)}}
{{UnderConstruction|[[Участник:Венжега Андрей|Венжега Андрей]] 21:51, 13 ноября 2008 (MSK)}}

Версия 20:09, 13 ноября 2008

Содержание

Определение

Даны две выборки

x=\left( x_1, \cdots ,x_n \right), \; y=\left( y_1, \cdots ,y_n \right) ;

Коэффициент корреляции Пирсена рассчитывается по формуле:

r_{xy} = \frac {\sum_{i=1}^{n} \left( x_i-\bar{x} \right)\left( y_i-\bar{y} \right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} \left( x_i-\bar{x} \right)^2 \sum_{i=1}^{n} \left( y_i-\bar{y} \right)^2}} = \frac {cov(x,y)}{\sqrt{S_x^2S_y^2}}

где

\bar{x}, \; \bar{y} - средние значения выборок x и y;

S_x, \; S_y - среднеквадратичные отклонения;

r_{xy} \in \left[-1,1\right] − называют также теснотой линейной связи.

Статистическая проверка наличия корреляции

Гипотеза H_0: Отсутствие линейной связи r_{xy} = 0

Статистика критерия:

T = \frac{2xy\sqrt{n-2}}{sqrt{1-2x^2y^2}} \sim t_{n-2} - Распределение Стьюдента с n-2 степенями свободы.

Слабые стороны

  • Неустойчивость к выбросам
  • Необходимо понимать различие понятий "независимость" и "некоррелированность". Из первого следует второе, но не наоборот. Для того, чтобы выяснить отношение между двумя переменными, необходимо избавиться от влияния третьей переменной. Рассмотрим пример 3-х переменных: x,y,z. Исключим влияние переменной z:
r_{xy \setminus z}=\frac{r_{xy}-r_{xz}r_{yz}}{\sqrt{ \left(\ 1-r_{xz} \right)^2 \left(\ 1-r_{yz} \right)^2}}

Для исключения влияния большего числа переменных:

r_{ij \setminus vars}=\frac{-R_{ij}}{\sqrt{R_{ii}R_{jj}}}

R_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} , где M_{ij} - гл. минор матрицы коэффициентов корреляции переменных R = \begin{pmatrix} 1 & r_{12} & \dots & r_{1k} \\ r_{21} & 1 & \dots & r_{2k}\\ \vdots & & & \vdots \\ r_{k1} & \dots & \dots & 1 \end{pmatrix} ;


Литература

См. также

Ссылки

Корреляционный анализ

Категория: Корреляционный анализ


Статья в настоящий момент дорабатывается.
Венжега Андрей 21:51, 13 ноября 2008 (MSK)


Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D0%B8_%D0%9F%D0%B8%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0»
Личные инструменты