Критерий Бройша-Пагана

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 12:55, 27 декабря 2013

Содержание

1 Определение
2 Процедура теста
3 Реализации
4 Ссылки

Определение

Критерий Бройша-Пагана (также Бреуша-Пагана, англ. Breusch-Pagan test) - один из статистических тестов для проверки наличия гетероскедастичности (то есть непостоянной дисперсии) случайных ошибок модели линейной регрессии. Применяется, если есть основания полагать, что дисперсия случайных ошибок может зависеть от некоторой совокупности переменных. В данном случае проверяется линейная зависимость дисперсии случайных ошибок $\sigma_t$ от наблюдаемых переменных:

$\sigma_t^2 = z_t^T \gamma, \quad t = 1,\dots,n$ , где $z_t = (1,z_{2t},\dots,z_{pt})^T$ .

Формулировки проверяемой и альтернативной гипотез выглядят следующим образом:

$H_0: \quad \gamma_2 = \ldots = \gamma_p = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \sigma_1^2 = \ldots = \sigma_n^2 \quad \Leftrightarrow$ остатки гомоскедастичны;

$H_1: \quad H_0$ неверна.

Процедура теста

Следуя методу множителей Лагранжа, получаем следующий вид статистики теста:

$LM=\left (\frac{\partial l}{\partial\theta} \right )'\left (-E\left [\frac{\partial^2 l}{\partial\theta \partial\theta'} \right ] \right )^{-1}\left(\frac{\partial l}{\partial\theta} \right )$ .

В учебнике [C. Heij, P. de Boer, 2004] говорится о том что подсчет статистики сводится к следующей процедуре:

Шаг 1: Исходная модель $y = X\beta+\varepsilon$ оценивается обычным МНК, вычисляются остатки $\varepsilon_t$ ;
Шаг 2: Вычисление оценки дисперсии остатков (в предположении их гомоскедастичности):

$\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} RSS$ ;

Шаг 3: Вычисление стандартизированных остатков $\frac{\varepsilon^2}{\hat{\sigma}^2}$ ;
Шаг 4: Построение дополнительной регрессии квадратов стандартизированных ошибок на исходные наблюдаемые переменные

$\varepsilon_t^2=\gamma_1+\gamma_2z_{2t}+\dots+\gamma_pz_{pt}+\eta_t$ ;

Шаг 5: $LM=n R^{2}$ , где $R^{2}$ - коэффициент детерминации построенной на предыдущем шаге регрессии.

В работе [Breush, Pagan, 1979] установлено, что при справедливости нулевой гипотезы о гомоскедастичности остатков статистика теста имеет распределение хи-квадрат с p-1 степенями свободы $LM \sim \chi^2 \left (p - 1 \right )$ .

Реализации

MatLab: встроенной реализации нет, есть реализации на File Exchange.
R: функция bptest в стандартном пакете lmtest и ncvtest в пакете car.

Ссылки

Breusch T.S., Pagan A.R. (1979). "Simple test for heteroscedasticity and random coefficient variation".
EnWiki: Breusch–Pagan test
C. Heij, P. de Boer (2004). "Econometric Methods with Applications in Business and Economics". Oxford University Press, pp. 344–345.
Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. (2007) "Эконометрика. Начальный курс". М.:Дело, стр. 179-183.

Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%91%D1%80%D0%BE%D0%B9%D1%88%D0%B0-%D0%9F%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D0%BD%D0%B0»

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+==Определение==
 '''Критерий Бройша-Пагана''' (также ''Бреуша-Пагана'', англ. ''Breusch-Pagan test'') - один из статистических тестов для проверки наличия гетероскедастичности (то есть непостоянной дисперсии) случайных ошибок модели линейной регрессии. Применяется, если есть основания полагать, что дисперсия случайных ошибок может зависеть от некоторой совокупности переменных. В данном случае проверяется линейная зависимость дисперсии случайных ошибок <tex> \sigma_t </tex> от наблюдаемых переменных:
 ::<tex>\sigma_t^2 = z_t^T \gamma, \quad t = 1,\dots,n</tex>, где <tex>z_t = (1,z_{2t},\dots,z_{pt})^T</tex>.
-<tex>H_0</tex>: <tex>\sigma_1^2 = \dots = \sigma_n^2 \quad \Leftrightarrow \quad \gamma_2 = \dots = \gamma_p = 0</tex>
+Формулировки проверяемой и альтернативной гипотез выглядят следующим образом:
-<tex>H_1</tex>: <tex>H_0</tex> неверна
+::<tex>H_0: \quad \gamma_2 = \ldots = \gamma_p = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \sigma_1^2 = \ldots = \sigma_n^2 \quad \Leftrightarrow  </tex>  остатки гомоскедастичны;
+::<tex>H_1: \quad H_0</tex> неверна.
+==Процедура теста==
 Следуя методу множителей Лагранжа, получаем следующий вид статистики теста:
-:<tex>LM=\left (\frac{\partial l}{\partial\theta} \right )'\left (-E\left [\frac{\partial^2 l}{\partial\theta \partial\theta'} \right ] \right )^{-1}\left(\frac{\partial l}{\partial\theta} \right )</tex>
+:<tex>LM=\left (\frac{\partial l}{\partial\theta} \right )'\left (-E\left [\frac{\partial^2 l}{\partial\theta \partial\theta'} \right ] \right )^{-1}\left(\frac{\partial l}{\partial\theta} \right )</tex>.
-Процедура теста Бройша-Пагана состоит из следующих шагов:
-* ''Шаг 1'': Исходная модель <tex> y = X\beta+\varepsilon</tex> оценивается обычным МНК, вычисляются остатки <tex>\varepsilon_t</tex>.
+В учебнике [C. Heij, P. de Boer, 2004] говорится о том что подсчет статистики сводится к следующей процедуре:
+* ''Шаг 1'': Исходная модель <tex> y = X\beta+\varepsilon</tex> оценивается обычным МНК, вычисляются остатки <tex>\varepsilon_t</tex>;
 * ''Шаг 2'': Вычисление оценки дисперсии остатков (в предположении их гомоскедастичности):
-:<tex>\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} RSS</tex>
+:<tex>\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} RSS</tex>;
-* ''Шаг 3'': Вычисление стандартизированных остатков <tex>\frac{\varepsilon^2}{\hat{\sigma}^2} </tex>
+* ''Шаг 3'': Вычисление стандартизированных остатков <tex>\frac{\varepsilon^2}{\hat{\sigma}^2} </tex>;
 * ''Шаг 4'': Построение дополнительной регрессии квадратов стандартизированных ошибок на исходные наблюдаемые переменные
-:<tex> \varepsilon_t^2=\gamma_1+\gamma_2z_{2t}+\dots+\gamma_pz_{pt}+\eta_t. </tex>
+:<tex> \varepsilon_t^2=\gamma_1+\gamma_2z_{2t}+\dots+\gamma_pz_{pt}+\eta_t </tex>;
-* ''Шаг 5'': Статистика теста определяется как умноженный на число наблюдений коэффициент детерминации построенной на предыдущем шаге регрессии:
+* ''Шаг 5'': <tex> LM=n R^{2}</tex>, где <tex>R^{2}</tex> - коэффициент детерминации построенной на предыдущем шаге регрессии.
-:<tex> LM=nR^{2}\, . </tex>
+В работе [Breush, Pagan, 1979] установлено, что при справедливости нулевой гипотезы о гомоскедастичности остатков статистика теста имеет распределение хи-квадрат с p-1 степенями свободы <tex> LM \sim \chi^2 \left (p - 1 \right )</tex>.
-В работе [Breush, Pagan, 1979] установлено, что при справедливости нулевой гипотезы о гомоскедастичности остатков <tex> LM \sim \chi^2 \left (p - 1 \right )</tex>.
+==Реализации==
+* MatLab: встроенной реализации нет, есть [http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/24722-heteroskedasticity-test реализации на File Exchange].
+* R: функция [http://finzi.psych.upenn.edu/R/library/lmtest/html/bptest.html <code>bptest</code>] в стандартном пакете <code>lmtest</code> и [http://finzi.psych.upenn.edu/R/library/car/html/ncvTest.html <code>ncvtest</code>] в пакете <code>car</code>.
 == Ссылки ==
-* Breusch, T.S.; Pagan, A.R. (1979). [https://www.aae.wisc.edu/aae637/handouts/breusch_pagan_hetero_test_article.pdf "Simple test for heteroscedasticity and random coefficient variation"].
+* Breusch T.S., Pagan A.R. (1979). [https://www.aae.wisc.edu/aae637/handouts/breusch_pagan_hetero_test_article.pdf "Simple test for heteroscedasticity and random coefficient variation"].
 * [http://en.wikipedia.org/wiki/Breusch%E2%80%93Pagan_test EnWiki: Breusch–Pagan test]
 * C. Heij, P. de Boer (2004). [https://akela.mendelu.cz/~xhavir3/ekm/Heij.pdf "Econometric Methods with Applications in Business and Economics"]. Oxford University Press, pp. 344–345.
 * Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. (2007) [http://math.isu.ru/ru/chairs/me/files/books/magnus.pdf "Эконометрика. Начальный курс"]. М.:Дело, стр. 179-183.

Критерий Бройша-Пагана

Материал из MachineLearning.

Версия 12:55, 27 декабря 2013

Содержание

Определение

Процедура теста

Реализации

Ссылки

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты