Критерий Бройша-Пагана

Материал из MachineLearning.

Версия от 12:55, 27 декабря 2013; Maria Lyubimtseva (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Содержание

1 Определение
2 Процедура теста
3 Реализации
4 Ссылки

Определение

Критерий Бройша-Пагана (также Бреуша-Пагана, англ. Breusch-Pagan test) - один из статистических тестов для проверки наличия гетероскедастичности (то есть непостоянной дисперсии) случайных ошибок модели линейной регрессии. Применяется, если есть основания полагать, что дисперсия случайных ошибок может зависеть от некоторой совокупности переменных. В данном случае проверяется линейная зависимость дисперсии случайных ошибок $\sigma_t$ от наблюдаемых переменных:

$\sigma_t^2 = z_t^T \gamma, \quad t = 1,\dots,n$ , где $z_t = (1,z_{2t},\dots,z_{pt})^T$ .

Формулировки проверяемой и альтернативной гипотез выглядят следующим образом:

$H_0: \quad \gamma_2 = \ldots = \gamma_p = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \sigma_1^2 = \ldots = \sigma_n^2 \quad \Leftrightarrow$ остатки гомоскедастичны;

$H_1: \quad H_0$ неверна.

Процедура теста

Следуя методу множителей Лагранжа, получаем следующий вид статистики теста:

$LM=\left (\frac{\partial l}{\partial\theta} \right )'\left (-E\left [\frac{\partial^2 l}{\partial\theta \partial\theta'} \right ] \right )^{-1}\left(\frac{\partial l}{\partial\theta} \right )$ .

В учебнике [C. Heij, P. de Boer, 2004] говорится о том что подсчет статистики сводится к следующей процедуре:

Шаг 1: Исходная модель $y = X\beta+\varepsilon$ оценивается обычным МНК, вычисляются остатки $\varepsilon_t$ ;
Шаг 2: Вычисление оценки дисперсии остатков (в предположении их гомоскедастичности):

$\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} RSS$ ;

Шаг 3: Вычисление стандартизированных остатков $\frac{\varepsilon^2}{\hat{\sigma}^2}$ ;
Шаг 4: Построение дополнительной регрессии квадратов стандартизированных ошибок на исходные наблюдаемые переменные

$\varepsilon_t^2=\gamma_1+\gamma_2z_{2t}+\dots+\gamma_pz_{pt}+\eta_t$ ;

Шаг 5: $LM=n R^{2}$ , где $R^{2}$ - коэффициент детерминации построенной на предыдущем шаге регрессии.

В работе [Breush, Pagan, 1979] установлено, что при справедливости нулевой гипотезы о гомоскедастичности остатков статистика теста имеет распределение хи-квадрат с p-1 степенями свободы $LM \sim \chi^2 \left (p - 1 \right )$ .