Методы парабол (Симпсона) и более высоких степеней (Ньютона - Котеса)

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(/)
Строка 3: Строка 3:
=== Постановка математической задачи ===
=== Постановка математической задачи ===
-
Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла
+
:Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла
-
<tex>J[f]=\int_a^b{f(x)dx}</tex>
+
{{ Формула
 +
|<center><tex>J[f]=\int_a^b{f(x)dx}, </tex></center>
 +
|<tex>(1)</tex>
 +
}}
-
где <tex>f(x)</tex> - заданная на отрезке [a,b] функция. На отрезке вводится сетка <tex>\omega=\{x_i:x_0=a<x_1<\ldots<x_i<\ldots<x_N=b\}</tex> и в качестве приближенного значения интеграла рассматривается число
+
где <tex>f(x)</tex> - заданная и интегрируемая на отрезке <tex>[a,b]</tex> функция. На отрезке вводится сетка <tex>\omega=\{x_i:x_0=a<x_1<\ldots<x_i<\ldots<x_N=b\}</tex> и в качестве приближенного значения интеграла рассматривается число
-
<tex>J_N[f]=\sum_{i=0}^N {c_i f(x_i)}</tex>
+
{{ Формула
 +
|<center><tex>J_N[f]=\sum_{i=0}^N {c_i f(x_i)},</tex></center>
 +
|<tex>(2)</tex>
 +
}}
-
где <tex>f(x_i)</tex> - значения функции <tex>f(x)</tex> в узлах <tex>x=x_i</tex> , где <tex>c_i</tex> - весовые множители, зависящие только от узлов, но не зависящие от выбора <tex>f(x)</tex>. Данная формула называется квадратурной формулой.
+
где <tex>f(x_i)</tex> - значения функции <tex>f(x)</tex> в узлах <tex>x=x_i</tex> , где <tex>c_i</tex> - ''весовые множители'', зависящие только от узлов, но не зависящие от выбора <tex>f(x)</tex>. Формула <tex>(2)</tex> называется ''квадратурной формулой''.
 +
:Задача численного интегрирования при помощи квадратур состоит в отыскании таких узлов <tex>\{x_i\}</tex> и таких весов <tex>\{c_i\}</tex>, чтобы ''погрешность квадратурной формулы''
-
Задача численного интегрирования при помощи квадратур состоит в отыскании таких узлов <tex>\{x_i\}</tex> и таких весов <tex>\{c_i\}</tex>, чтобы погрешность квадратурной формулы
+
{{ Формула
 +
|<center><tex>D[f]=\sum_{i=0}^N{c_i f(x_i)} - \int_a^b{f(x)dx} = J_N[f] - J[f]</tex></center>
 +
|
 +
}}
-
<tex>D[f]=\sum_{i=0}^N{c_i f(x_i)} - \int_a^b{f(x)dx} = J_N[f] - J[f]</tex>
+
была минимальной по модулю для функции из заданного класса (величина <tex>D[f]</tex> зависит от гладкости <tex>f(x)</tex>). Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора весовых коэффициентов.
 +
Введем на <tex>[a,b]</tex> ''равномерную сетку с шагом <tex>h</tex>'', т.е. множество точек <tex>\omega_h=\{x_i=a+ih, i=0,1,\ldots,N,hN=b-a}</tex>, и представим интеграл <tex>(1)</tex> в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:
-
была минимальной по модулю для функции из заданного класса (величина <tex>D[f]</tex> зависит от гладкости <tex>f(x)</tex>). При построении квадратурной формулы обычно представляют интеграл в виде суммы интегралов вида
+
{{ Формула
 +
|<center><tex>\int_a^b{f(x)dx}=\sum_{i=1}^N{\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}}.</tex></center>
 +
|<tex>(3)</tex>
 +
}}
-
<tex>\int_\alpha^\beta{f(x)dx}</tex>
+
Для построения формулы численного интегрирования на всм отрезке <tex>[a,b]</tex> достаточно построить квадратурную формулу для интеграла
-
каждый из которых сводится к стандартному интегралу по отрезку единичной длины
+
{{ Формула
 +
|<center><tex>\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}</tex></center>
 +
|<tex>(4)</tex>
 +
}}
-
<tex>L[f]=\int_0^1{f(s)ds}</tex>
+
на частичном отрезке <tex>[x_{i-1},x_i]</tex> и воспользоваться свойством <tex>(3)</tex>.
-
 
+
-
с помощью замены
+
-
 
+
-
<tex>x=\alpha+(\beta-\alpha)s</tex>,
+
-
 
+
-
<tex>f(x)=f(\alpha+(\beta-\alpha)s)</tex>
+
== Изложение метода ==
== Изложение метода ==

Версия 14:33, 26 сентября 2008

автор: Гордеев Дмитрий

Содержание

Введение

Постановка математической задачи

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла
J[f]=\int_a^b{f(x)dx},
(1)

где f(x) - заданная и интегрируемая на отрезке [a,b] функция. На отрезке вводится сетка \omega=\{x_i:x_0=a<x_1<\ldots<x_i<\ldots<x_N=b\} и в качестве приближенного значения интеграла рассматривается число

J_N[f]=\sum_{i=0}^N {c_i f(x_i)},
(2)

где f(x_i) - значения функции f(x) в узлах x=x_i , где c_i - весовые множители, зависящие только от узлов, но не зависящие от выбора f(x). Формула (2) называется квадратурной формулой.

Задача численного интегрирования при помощи квадратур состоит в отыскании таких узлов \{x_i\} и таких весов \{c_i\}, чтобы погрешность квадратурной формулы
D[f]=\sum_{i=0}^N{c_i f(x_i)} - \int_a^b{f(x)dx} = J_N[f] - J[f]


была минимальной по модулю для функции из заданного класса (величина D[f] зависит от гладкости f(x)). Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора весовых коэффициентов. Введем на [a,b] равномерную сетку с шагом h, т.е. множество точек \omega_h=\{x_i=a+ih, i=0,1,\ldots,N,hN=b-a}, и представим интеграл (1) в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:

\int_a^b{f(x)dx}=\sum_{i=1}^N{\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}}.
(3)

Для построения формулы численного интегрирования на всм отрезке [a,b] достаточно построить квадратурную формулу для интеграла

\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}
(4)

на частичном отрезке [x_{i-1},x_i] и воспользоваться свойством (3).

Изложение метода

Анализ метода

Числовой пример

Рекомендации программисту

Заключение

Список литературы

  • А.А.Самарский, А.В.Гулин.  Численные методы М.: Наука, 1989.
  • А.А.Самарский.  Введение в численные методы М.: Наука, 1982.
Личные инструменты