Методы парабол (Симпсона) и более высоких степеней (Ньютона - Котеса)

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Перейти к: навигация, поиск

Версия 19:25, 27 сентября 2008

Содержание

1 Введение
2 Изложение метода
3 Анализ метода
4 Числовой пример
5 Рекомендации программисту
6 Заключение
7 Список литературы

Введение

Постановка математической задачи

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла

$J[f]=\int_a^b{f(x)dx},$

$(1)$

где $f(x)$ - заданная и интегрируемая на отрезке $[a,b]$ функция. На отрезке вводится сетка $\omega=\{x_i:x_0=a<x_1<\ldots<x_i<\ldots<x_N=b\}$ и в качестве приближенного значения интеграла рассматривается число

$J_N[f]=\sum_{i=0}^N {c_i f(x_i)},$

$(2)$

где $f(x_i)$ - значения функции $f(x)$ в узлах $x=x_i$ , где $c_i$ - весовые множители, зависящие только от узлов, но не зависящие от выбора $f(x)$ . Формула $(2)$ называется квадратурной формулой.

Задача численного интегрирования при помощи квадратур состоит в отыскании таких узлов $\{x_i\}$ и таких весов $\{c_i\}$ , чтобы погрешность квадратурной формулы

$D[f]=\sum_{i=0}^N{c_i f(x_i)} - \int_a^b{f(x)dx} = J_N[f] - J[f]$

была минимальной по модулю для функции из заданного класса (величина $D[f]$ зависит от гладкости $f(x)$ ). Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора весовых коэффициентов. Введем на $[a,b]$ равномерную сетку с шагом $h$ , т.е. множество точек $\omega_h=\{x_i=a+ih, i=0,1,\ldots,N,hN=b-a}$ , и представим интеграл $(1)$ в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:

$\int_a^b{f(x)dx}=\sum_{i=1}^N{\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}}.$

$(3)$

Для построения формулы численного интегрирования на всм отрезке $[a,b]$ достаточно построить квадратурную формулу для интеграла

$\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}$

$(4)$

на частичном отрезке $[x_{i-1},x_i]$ и воспользоваться свойством $(3)$ .

Построение квадратурных формул

В силу вышеизложенного выше, вычисление приближенного значения интеграла производится при помощи квадратурной формулы

$\int_a^b{f(s)ds}\approx\sum_{k=0}^m{c_kf(s_k)}.$

Данную формулу при помощи замены $x=a+(b-a)s, f(x)=f(a+(b-a)s)$ можно привести к стандартному виду

$\int_0^1{f(s)ds}\approx\sum_{k=0}^m{c_kf(s_k)}.$

$(5)$

В общем случае узлы и веса неизвестны и подлежат определению.

Рассмотрим случай, когда узлы заданы и требуется найти веса квадратурной формулы $\{c_k\}$ . Будем пользоваться требованием: формула $(5)$ должна быть точной для любого полинома $P_r(s)$ степени $r\le m$ . Для того чтобы полином степени $r$ удовлетворял данному требованию, достаточно потребовать, чтобы квадратурная формула была точной для любого одночлена $s^\sigma$ степени $\sigma (\sigma=0,1,\ldots,r)$ . Учитывая, что $J[s^\sigma]=\frac{1}{\sigma+1}$ , получаем $m+1$ уравнение

$c_0+c_1+\ldots+c_m=1,$ $c_0 s_0+c_1 s_1+\ldots+c_m s_m=\frac{1}{2},$

$.........................................$

$c_0 s_0^\sigma + c_1 s_1^\sigma + \ldots + c_m s_m^\sigma=\frac{1}{\sigma+1},$

$.........................................$

$c_0 s_0^m + c_1 s_1^m + \ldots + c_m s_m^m=\frac{1}{m+1}.$

Эта система имеет единственное решение, так как ее определителем является определитель Вандермонда, отличный от нуля если нет совпадающих узлов, $s_0<s_q<\ldots<s_m$ .

Так, полагая $m=2,s_0=0,s_1=\frac{1}{2},s_2=1$ , имеем систему $c_0+c_1+c_2=1, \frac{c_1}{2}+c_2=\frac{1}{2}, \frac{c_1}{4}+c_2=\frac{1}{3}$ , решением которой являются веса формулы Симпсона: $c_0=c_2=\frac{1}{6},c_1=\frac{4}{6}$ . Таким образом, формула Симпсона является точной для полинома второй степени. Однако, в силу симметрии, она является точной и для всех полиномов третьей степени:

$P_3(s)=1+\alpha_1 (s-\frac{1}{2})+\alpha_2 (s-\frac{1}{2})^2 +\alpha_3 (s-\frac{1}{2})^3,$

так как она точна для $f(s)=(s-\frac{1}{2})^3$ :

$J_2[(s-\frac{1}{2})^3]=\frac{1}{6}((-\frac{1}{2})^3+4\cdot 0+(\frac{1}{2})^3)=0,$ $L[(s-\frac{1}{2})^3]=\int_0^1{(s-\frac{1}{2})^3ds}=0.$

Формулы треугольника и трапеции точны для линейной функции,т.е. для полинома первой степени, в чем легко убедиться непосредственно. В общем случае в качестве $P_m(s)$ можно выбрать интерполяционный полином Лагранжа

$P_m(s)=\sum_{k=0}^m{l_k^{(m)}(s)f(s_k)},$

где $l_k^{(m)}(s)$ - интерполяционный коэффициент Лагранжа. Из равенства

$L[P_m]=\int_0^1{P_m(s)ds}=\sum_{k=0}^m{f(s_k)\int_0^1{l_k^{(m)}(s)ds}}=\sum_{k=0}^m{c_k f(s_k)}$

видно, что формула $(5)$ верна для полинома степени $m$ , если весовые коэффициенты $c_k$ определяются по формуле

$c_k=\int_0^1{l_k^{(m)}(s)ds}.$

$(6)$

Формулы такого типа называют квадратурными формулами Котеса.

Примеры квадратурных формул

Приведем примеры квадратурных формул Котеса на равнемерной сетке с шагом $h:$ $\omega_h=\{x_i=a+ih, i=0,1,\ldots,N,hN=b-a}$ , где обозначим $f_i=f(a+ih)$ :

для 3 точек(метод Симпсона), $m=2:$

$J_2[f]=\frac{1}{3}h(f_0+4f_1+f_2),$ $c_0=c_2=\frac{1}{6},c_1=\frac{4}{6}.$

для 4 точек, $m=3:$

$J_3[f]=\frac{3}{8}h(f_0+3f_1+3f_2+f_3),$ $c_0=c_3=\frac{1}{8},c_1=c_2=\frac{3}{8}.$

для 5 точек, $m=4:$

$J_4[f]=\frac{2}{45}h(7f_0+32f_1+12f_2+32f_3+7f_4),$ $c_0=c_4=\frac{7}{90},c_1=c_3=\frac{32}{90},c_2=\frac{12}{90}.$

для 6 точек, $m=5:$

$J_5[f]=\frac{5}{288}h(19f_0+75f_1+50f_2+50f_3+75f_4+19f_5),$

для 7 точек, $m=6:$

$J_6[f]=\frac{1}{140}h(41f_0+216f_1+27f_2+272f_3+27f_4+216f_5+41f_6),$

для 8 точек, $m=7:$

$J_7[f]=\frac{7}{17280}h(751f_0+3577f_1+1323f_2+2989f_3+2989f_4+1323f_5+3577f_6+751f_7),$

для 9 точек, $m=8:$

$J_8[f]=\frac{4}{14175}h(989f_0+5888f_1-928f_2+10496f_3-4540f_4+10496f_5-928f_6+5888f_7+989f_8),$

для 10 точек, $m=9:$

$J_9[f]=\frac{9}{89600}h(2857f_0+15741f_1+1080f_2+19344f_3+5778f_4+5778f_5+19344f_6+1080f_7+15741f_8+2857f_9),$

для 11 точек, $m=10:$

$J_{10}[f]=\frac{5}{299376}h(16067f_0+106300f_1-48525f_2+272400f_3-260550f_4+427368f_5-260550f_6+272400f_7-48525f_8+106300f_9+16067f_{10}).$

Изложение метода

Анализ метода

Числовой пример

Заключение

Список литературы

А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы М.: Наука, 1989.
А.А.Самарский. Введение в численные методы М.: Наука, 1982.
http://mathworld.wolfram.com/Newton-CotesFormulas.html

Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D0%BB_%28%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0%29_%D0%B8_%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B5_%D0%B2%D1%8B%D1%81%D0%BE%D0%BA%D0%B8%D1%85_%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D0%B9_%28%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0_-_%D0%9A%D0%BE%D1%82%D0%B5%D1%81%D0%B0%29»

Версия 17:20, 26 сентября 2008 (править) Dott (Обсуждение \| вклад) ← К предыдущему изменению		Версия 19:25, 27 сентября 2008 (править) (отменить) Yury Chekhovich (Обсуждение \| вклад) (В проекте не подписывают статьи...) К следующему изменению →
Строка 1:		Строка 1:
-	~~''автор: Гордеев Дмитрий''~~
	== Введение ==		== Введение ==

Методы парабол (Симпсона) и более высоких степеней (Ньютона - Котеса)

Материал из MachineLearning.

Версия 19:25, 27 сентября 2008

Содержание

Введение

Постановка математической задачи

Построение квадратурных формул

Примеры квадратурных формул

Изложение метода

Анализ метода

Числовой пример

Рекомендации программисту

Заключение

Список литературы

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты