Модифицированная ортогонализация Грама-Шмидта

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 17:40, 5 января 2010

Модифицированная ортогонализация Грама-Шмидта - известный алгоритм ортогонализации, который строит ортогональные векторы $g_1, . . . , g_n$ , линейная оболочка которых совпадает с линейной оболочкой $f_1, . . . , f_n$ .

Содержание

1 Введение
2 Метод ортогонализации Грама-Шмидта
3 Вспомогательные утверждения
4 Алгоритм 1.1. Ортогонализация Грама-Шмидта
5 Модифицированная ортогонализация Грама-Шмидта
6 Алгоритм 1.2. Решение линейной задачи наименьших квадратов путём ортогонализации Грама-Шмидта с последовательным добавлением признаков

Введение

Рассмотрим ортогональное разложение $F = GR$ , где $R$ - верхняя треугольная матрица размера $n$ × $n$ , $G$ - ортогональная $l$ × $n$ - матрица, $G^TG = I_n$ . Для любой матрицы $F$ существует бесконечно много разложений указанного вида. Имея одно из них, легко выразить псевдообратную матрицу $F^+$ через $G$ и $R$ :

$F^+ = (R^TG^TGR)^{-1}R^TG^T = R^{-1}R^{-1T}R^TG^T = R^{-1}G^T$ .

Для вычисления псевдообратной $F^+$ достаточно построить какое-нибудь ортогональное разложение матрицы $F$ , обратить верхнюю треугольную матрицу $R$ и умножить её на $G^T$ . Этот метод во многом удобнее явного обращения матрицы.

Метод ортогонализации Грама-Шмидта

Для построения разложения $F = GR$ воспользуемся процессом ортогонализации Грама-Шмидта. Запишем матрицы $F$ и $G$ по столбцам:

$F = (f_1, . . . , f_n)$ ;

$G = (\tilde{g}_1, . . . , \tilde{g}_n)$ .

Волной здесь и далее обозначается операция нормирования вектора:

$\tilde{v} = v/||v||$ .

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта строит ортогональные векторы $g_1, . . . , g_n$ , линейная оболочка которых совпадает с линейной оболочкой $f_1, . . . , f_n$ :

$g_1 = f_1$ ;

$g_2 = f_2 - \tilde{g}_1\tilde{g}^T_1f_2$ ;

· · ·

$g_j = f_j - \tilde{g}_1\tilde{g}^T_1f_j - ... - \tilde{g}_{j-1}\tilde{g}^T_{j-1}f_j$ .

Легко проверить, что для всех $k, j$ из $\{1, . . . , n\}$ , $k \ne j$ , векторы $\tilde{g}_k$ и $\tilde{g}_j$ ортогональны.

Вспомогательные утверждения

Лемма 1.1. На $j$ -м шаге процесса, $j = 1, . . . , n$ , матрица $F_j = (f_1, . . . , f_j)$ представима в виде ортогонального разложения $F_j = G_jR_j$ , где

$G_j = (\tilde{g}_1, . . . , \tilde{g}_j)$ - ортонормированная матрица;

$R_j = \begin{pmatrix} r_{11} & \cdots & r_{1j} \\ & \ddots & \vdots \\ 0 & & r_{jj} \end{pmatrix}$ - верхняя треугольная матрица, $r_{ij} = \left\{ \begin{eqnarray} \tilde{g}^T_if_j, & i < j;\\ ||g_j||, & i=j. \end{eqnarray}$

По окончании процесса ортогонализации получаем ортогональное разложение $F = G_nR_n$ .

С вычислительной точки зрения процесс Грама-Шмидта удобен тем, что на каждом шаге матрицы $G_j$ и $R_j$ получаются путём дописывания справа по одному столбцу к матрицам $G_{j-1}$ и $R_{j-1}$ соответственно. При этом предыдущие столбцы не изменяются (если не считать изменением дописывание нулей снизу к матрице $R_j$ - при разумной программной реализации эти нули всё равно не хранятся).

В следующей лемме утверждается, что обратная матрица $T_j = R^{-1}_j$ также является верхней треугольной и формируется путём дописывания столбцов справа.

Лемма 1.2. Пусть матрицы $R_j$ невырождены и в блочной записи имеют вид

$R_1 = (r_{11})$ ;

$R_j = \begin{pmatrix} R_{j-1} & & r_{j} \\ 0 & & r_{jj} \end{pmatrix}$ , $j = 2, . . . , n$ ,

где $r_{jj}$ - скаляр, $r_j$ - вектор-столбец размера $(j-1)$ . Тогда матрицы $T_j = R^{-1}_j$ могут быть вычислены по рекуррентной формуле

$T_1 = (t_{11})$ ;

$T_j = \begin{pmatrix} T_{j-1} & & t_{j} \\ 0 & & t_{jj} \end{pmatrix}$ , $j = 2, . . . , n$ ,

где $t_{jj} = 1/r_{jj}$ - скаляр, $t_j = -t_{jj}T_{j-1}r_j$ - вектор-столбец размера $(j - 1)$ .

Замечание 1.1. Обеспечить невырожденность матрицы $R_j$ в процессе ортогонализации очень просто. Допустим, матрица $R_{j-1}$ невырождена. Поскольку $R_j$ - верхняя треугольная, вырожденность может возникнуть только в том случае, если $r_{jj} = 0$ . Такое возможно только при $g_j = 0$ , а это означает, что вектор $f_j$ линейно зависит от векторов $\{f_1, . . . , f_{j-1}\}$ . Если в ходе процесса $r_{jj}$ оказывается равным нулю, то коэффициент $\alpha_j$ обнуляется и $j$ -й признак далее не учитывается, как будто его вообще не существовало. Если $r_{jj}$ не равен, но близок к нулю, может возникнуть проблема неустойчивости решения, поскольку на $r_{jj}$ приходится делить. На практике признак $f_j$ исключают, например, по такому условию: $r_{jj} < \delta\max_{i<j}r_{ii}$ , где $\delta$ имеет порядок $10^{-2}..10^{-5}$ .

Назовём вектор $\alpha_j = F^+_jy$ текущим вектором коэффициентов на $j$ -м шаге. Этот вектор имеет размерность $j$ . По окончании процесса $\alpha_n = \alpha^*$ .

Лемма 1.3. Пусть выполняются условия предыдущей леммы. Тогда на $j$ -м шаге процесса вектор $\alpha_j$ может быть вычислен по рекуррентной формуле

$\alpha_1 = t_{11}(y^T\tilde{g}_1)$ ,

$\alpha_j = \begin{pmatrix} \alpha_{j-1} + t_{j}(y^T\tilde{g}_j) \\ t_{jj}(y^T\tilde{g}_j) \end{pmatrix}$ , $j = 2, . . . , n$ .

Назовём величину $Q_j = \min_\alpha ||y - F_j\alpha||^2 = ||y - F_j\alpha_j||^2$ текущим значением функционала $Q$ на $j$ -м шаге. Оно равно кратчайшему расстоянию от $y$ до линейной оболочки столбцов $F_j$ . По окончании процесса $Q_n = Q(\alpha^*)$ . Следующая лемма показывает, что текущее значение $Q_j$ от шага к шагу только уменьшается.

Лемма 1.4. Значения $Q_j$ могут быть вычислены в ходе ортогонализации по рекуррентной формуле

$Q_0 = ||y||^2$ ;

$Q_j = Q_{j-1} - (y^T\tilde{g}_j)^2, \ j = 1, . . . , n$ .

Лемма 1.5. Текущий вектор невязок $\varepsilon_j = y - F_j\alpha_j$ на $j$ -м шаге процесса ортогонализации вычисляется по рекуррентной формуле

$\varepsilon_0 = y$ ;

$\varepsilon_j = \varepsilon_{j-1} - \tilde{g}_j(y^T\tilde{g}_j), \ j = 1, . . . , n$ .

Алгоритм 1.1. Ортогонализация Грама-Шмидта

1: инициализация: $g_j$ := $f_j, \ j$ := $1, . . . , n$ ;

2: для $j$ := $1, . . . , n$

3: $\ \$ для $i$ := $1, . . . , j - 1$

4: $\ \ \ \ \ r_{ij}$ := $\tilde{g}^T_i g_j$ ; (вычисление $i$ -й компоненты вектор-столбца $r_j \in R^{j-1}$ );

5: $\ \ \ \ \ g_j$ := $g_j - \tilde{g}_ir_{ij}$ ; (ортогонализация $g_j$ относительно $g_i$ );

6: $\ \ r_{jj}$ := $||g_j||$ ;

Модифицированная ортогонализация Грама-Шмидта

Если вместо $r_{ij}$ := $\tilde{g}^T_i f_j$ вычислять $r_{ij}$ := $\tilde{g}^T_i g_j$ , то формально результат не изменится, поскольку $\tilde{g}^T_i g_j = \tilde{g}^T_i(f_j - \sum_{s=0}^{i-1}\tilde{g}_s r_{sj}) = \tilde{g}^T_i f_j - \sum_{s=0}^{i-1}\tilde{g}^T_i \tilde{g}_s r_{sj} = \tilde{g}^T_i f_j$ .

Данная модификация повышает численную устойчивость алгоритма. Это объясняется тем, что вектор $g_j$ обладает минимальной нормой среди всех векторов вида $f_j - \sum_{s=0}^{i-1}\beta_s\tilde{g}_s$ , где $\beta_s$ - произвольные коэффициенты. Поэтому при скалярном умножении на $g_j$ ошибки накапливаются существенно медленнее.

Прежде чем переходить к следующей модификации, запишем основную часть алгоритма ортогонализации, вычисляющую $G_j$ и $R_j$ .

Изменим порядок ортогонализации столбцов. До сих пор мы ортогонализовали столбец $g_j$ относительно предыдущих столбцов $g_1, . . . , g_{j−1}$ . Но можно сделать и подругому - ортогонализовать все последующие столбцы $g_{j+1}, . . . , g_n$ относительно $g_j$ :

$g_i$ := $g_i - \tilde{g}_j(\tilde{g}^T_jg_i), \ i = j + 1, . . . , n$ .

Тогда в начале $j$ -го шага все столбцы $g_j , . . . , g_n$ по построению будут ортогональны всем столбцам $g_1, . . . , g_{j-1}$ . При этом подматрицы $G_j ,\ R_j ,\ T_j$ и вектор $\alpha_j$ останутся такими же, как и до модификации.

Описанная модификация обладает важным преимуществом. Теперь на каждом шаге можно выбрать столбец $g_m \in {g_j , . . . , g_n}$ , добавление которого наиболее выгодно. Чтобы не менять обозначений, будем полагать, что перед добавлением столбцы $g_j$ и $g_m$ переставляются местами (при реализации придётся сохранять соответствие между старой и новой нумерацией признаков, но мы не будем останавливаться на столь мелких технических деталях).

Возможны альтернативные критерии выбора добавляемого столбца:

1) столбец с максимальной нормой $||g_m|| \to \max_m$ , что соответствует выбору столбца $f_m$ , максимально некоррелированного с $g_1, . . . , g_{j-1}$ ; применение этого критерия решает проблему вырожденности $R_j$ (см. Замечание 1.1); здесь существенно, чтобы матрица $F$ была заранее стандартизована;

2) столбец, наиболее коррелированный с вектором ответов: $\frac{y^Tg_m}{||g_m||} \to \max_m$ ; его добавление ведёт к скорейшему убыванию функционала $Q$ ;

3) столбец, добавление которого ведёт к наименьшему увеличению нормы век- тора коэффициентов $||\alpha_j||$ , что соответствует применению регуляризации;

4) столбец, после добавления которого значение функционала качества $Q$ на независимой контрольной выборке $X^k = \{x'_1, . . . , x'_k\}$ окажется минимальным, что соответствует применению скользящего контроля (hold-out CV).

Алгоритм 1.2. Решение линейной задачи наименьших квадратов путём ортогонализации Грама-Шмидта с последовательным добавлением признаков

Вход:

$F = (f_1, . . . , f_n)$ - матрица информации;

$y$ - вектор ответов;

$\delta Q$ - параметр критерия останова.

Выход:

$\alpha_j$ - вектор коэффициентов линейной комбинации;

$Q_j$ - минимальное значение функционала.

1: инициализация:

$\ \ Q_0$ := $||y||^2; \ g_j$ := $f_j; \ Z_j$ := $||g_j||^2; \ D_j$ := $y^Tg_j; \ \ j$ := $1, . . . , n;$

2: для $j$ := $1, . . . , n$

3: $\ \$ выбор $m \in {j, . . . , n}$ по критериям $Z_m \to \max_m$ и $(D^2_m /Z_m) \to \max_m;$

4: $\ \$ перестановка местами столбцов:

$\ \ \ \ \ \ g_j \rightleftharpoons g_m, \ f_j \rightleftharpoons f_m, \ r_j \rightleftharpoons r_m;$

5: $\ \ r_{jj}$ := $\sqrt{Z_m}$ ; нормировка: $\tilde{g}_j$ := $g_j/r_{jj};$

6: $\ \$ вычисление текущего значения функционала:

$\ \ \ \ \ \ d_j$ := $D_j/r_{jj}$ ; (эффективное вычисление $d_j$ := $y^T\tilde{g}_j$ );

$\ \ \ \ \ \ Q_j$ := $Q_{j-1} - d^2_j;$

7: $\ \$ обращение верхней треугольной матрицы $T_j = R^{-1}_j$ :

$\ \ \ \ \ \ t_{jj} = 1/r_{jj}; \ \ t_j = -t_{jj}T_{j-1}r_j$ (вектор-столбец $t_j$ длины $j - 1$ );

$\ \ \ \ \ \ T_j = \begin{pmatrix} T_{j-1} & & t_{j} \\ 0 & & t_{jj} \end{pmatrix};$

8: $\ \$ вычисление текущего вектора коэффициентов:

$\ \ \ \ \ \ \alpha_j = \begin{pmatrix} \alpha_{j-1} + t_{j}d_j \\ t_{jj}d_j \end{pmatrix};$

9: $\ \ \$ если $Q_j <\delta Q$ то

10: $\ \ \ \ \$ прекратить добавление столбцов; выход;

11: для $i$ := $j + 1, . . . , n$

12: $\ \ \ \ r_{ji}$ := $\tilde{g}^T_jg_i$ ; (компоненты вектор-столбца $r_i$ );

13: $\ \ \ \ g_i$ := $g_i - \tilde{g}_jr_{ji}$ ; (ортогонализация $g_i$ относительно $g_j$ );

14: $\ \ \ \ Z_i$ := $Z_i - r_{ji}$ ; (теперь $Z_i = ||g_i||^2$ );

15: $\ \ \ \ D_i$ := $D_i - d_jr_{ji}$ ; (теперь $D_i = y^Tg_i$ );

16: конец цикла по $j$ .

Данная статья является непроверенным учебным заданием.

Студент: Участник:DValov

Преподаватель: Участник:Константин Воронцов

Срок: 6 января 2010

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B8%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B0-%D0%A8%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D1%82%D0%B0»

Категория: Непроверенные учебные задания

Модифицированная ортогонализация Грама-Шмидта

Материал из MachineLearning.

Версия 17:40, 5 января 2010

Содержание

Введение

Метод ортогонализации Грама-Шмидта

Вспомогательные утверждения

Алгоритм 1.1. Ортогонализация Грама-Шмидта

Модифицированная ортогонализация Грама-Шмидта

Алгоритм 1.2. Решение линейной задачи наименьших квадратов путём ортогонализации Грама-Шмидта с последовательным добавлением признаков

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+[[Категория:Непроверенные учебные задания]]
+'''Модифицированная ортогонализация Грама-Шмидта''' - известный алгоритм ортогонализации, который строит ортогональные векторы
+<tex>g_1, . . . , g_n</tex>, линейная оболочка которых совпадает с линейной оболочкой <tex>f_1, . . . , f_n</tex>.
+== Введение ==
+Рассмотрим ортогональное разложение <tex>F = GR</tex>, где <tex>R</tex> - верхняя треугольная матрица размера <tex>n</tex> × <tex>n</tex>, <tex>G</tex> - ортогональная <tex>l</tex> × <tex>n</tex> - матрица, <tex>G^TG = I_n</tex>. Для любой матрицы <tex>F</tex> существует бесконечно много разложений указанного вида. Имея одно из них, легко выразить псевдообратную матрицу <tex>F^+</tex> через <tex>G</tex> и <tex>R</tex>:
+<tex>F^+ = (R^TG^TGR)^{-1}R^TG^T = R^{-1}R^{-1T}R^TG^T = R^{-1}G^T</tex>.
+Для вычисления псевдообратной <tex>F^+</tex> достаточно построить какое-нибудь ортогональное разложение матрицы <tex>F</tex>, обратить верхнюю треугольную матрицу <tex>R</tex> и умножить её на <tex>G^T</tex>. Этот метод во многом удобнее явного обращения матрицы.
+== Метод ортогонализации Грама-Шмидта ==
+Для построения разложения <tex>F = GR</tex> воспользуемся процессом ортогонализации Грама-Шмидта. Запишем матрицы <tex>F</tex> и <tex>G</tex> по столбцам:
+<tex>F = (f_1, . . . , f_n)</tex>;
+<tex>G = (\tilde{g}_1, . . . , \tilde{g}_n)</tex>.
+Волной здесь и далее обозначается операция нормирования вектора:
+<tex>\tilde{v} = v/||v||</tex>.
+Процесс ортогонализации Грама-Шмидта строит ортогональные векторы <tex>g_1, . . . , g_n</tex>, линейная оболочка которых совпадает с линейной оболочкой <tex>f_1, . . . , f_n</tex>:
+<tex>g_1 = f_1</tex>;
+<tex>g_2 = f_2 - \tilde{g}_1\tilde{g}^T_1f_2</tex>;
+· · ·
+<tex>g_j = f_j - \tilde{g}_1\tilde{g}^T_1f_j - ... - \tilde{g}_{j-1}\tilde{g}^T_{j-1}f_j</tex>.
+Легко проверить, что для всех <tex>k, j</tex> из <tex>\{1, . . . , n\}</tex>, <tex>k \ne j</tex>, векторы <tex>\tilde{g}_k</tex> и <tex>\tilde{g}_j</tex> ортогональны.
+== Вспомогательные утверждения ==
+'''Лемма 1.1.''' На <tex>j</tex>-м шаге процесса, <tex>j = 1, . . . , n</tex>, матрица <tex>F_j = (f_1, . . . , f_j)</tex> представима в виде ортогонального разложения <tex>F_j = G_jR_j</tex> , где
+<tex>G_j = (\tilde{g}_1, . . . , \tilde{g}_j)</tex> - ортонормированная матрица;
+<tex>R_j = \begin{pmatrix}
+r_{11} & \cdots & r_{1j} \\
+& \ddots & \vdots \\
+& & r_{jj}
+\end{pmatrix}</tex> - верхняя треугольная матрица, <tex>r_{ij} = \left\{
+\begin{eqnarray}
+\tilde{g}^T_if_j, & i < j;\\
+||g_j||, & i=j.
+\end{eqnarray}</tex>
+По окончании процесса ортогонализации получаем ортогональное разложение <tex>F = G_nR_n</tex>.
+С вычислительной точки зрения процесс Грама-Шмидта удобен тем, что на каждом шаге матрицы <tex>G_j</tex> и <tex>R_j</tex> получаются путём дописывания справа по одному столбцу к матрицам <tex>G_{j-1}</tex> и <tex>R_{j-1}</tex> соответственно. При этом предыдущие столбцы не изменяются (если не считать изменением дописывание нулей снизу к матрице <tex>R_j</tex> - при разумной программной реализации эти нули всё равно не хранятся).
+В следующей лемме утверждается, что обратная матрица <tex>T_j = R^{-1}_j</tex> также является верхней треугольной и формируется путём дописывания столбцов справа.
+'''Лемма 1.2.''' Пусть матрицы <tex>R_j</tex> невырождены и в блочной записи имеют вид
+<tex>R_1 = (r_{11})</tex>;
+<tex>R_j = \begin{pmatrix}
+R_{j-1} & & r_{j} \\
+& & r_{jj}
+\end{pmatrix}</tex>,  <tex>j = 2, . . . , n</tex>,
+где <tex>r_{jj}</tex> - скаляр, <tex>r_j</tex> - вектор-столбец размера <tex>(j-1)</tex>. Тогда матрицы <tex>T_j = R^{-1}_j</tex> могут быть вычислены по рекуррентной формуле
+<tex>T_1 = (t_{11})</tex>;
+<tex>T_j = \begin{pmatrix}
+T_{j-1} & & t_{j} \\
+& & t_{jj}
+\end{pmatrix}</tex>,  <tex>j = 2, . . . , n</tex>,
+где <tex>t_{jj} = 1/r_{jj}</tex> - скаляр, <tex>t_j = -t_{jj}T_{j-1}r_j</tex> - вектор-столбец размера <tex>(j - 1)</tex>.
+'''Замечание 1.1.''' Обеспечить невырожденность матрицы <tex>R_j</tex> в процессе ортогонализации очень просто. Допустим, матрица <tex>R_{j-1}</tex> невырождена. Поскольку <tex>R_j</tex> - верхняя треугольная, вырожденность может возникнуть только в том случае, если <tex>r_{jj} = 0</tex>. Такое возможно только при <tex>g_j = 0</tex>, а это означает, что вектор <tex>f_j</tex> линейно зависит от векторов <tex>\{f_1, . . . , f_{j-1}\}</tex>. Если в ходе процесса <tex>r_{jj}</tex> оказывается равным нулю, то коэффициент <tex>\alpha_j</tex> обнуляется и <tex>j</tex>-й признак далее не учитывается, как будто его вообще не существовало. Если <tex>r_{jj}</tex> не равен, но близок к нулю, может возникнуть проблема неустойчивости решения, поскольку на <tex>r_{jj}</tex> приходится делить. На практике признак <tex>f_j</tex> исключают, например, по такому условию: <tex>r_{jj} < \delta\max_{i<j}r_{ii}</tex>, где <tex>\delta</tex> имеет порядок <tex>10^{-2}..10^{-5}</tex>.
+Назовём вектор <tex>\alpha_j = F^+_jy</tex> текущим вектором коэффициентов на <tex>j</tex>-м шаге.
+Этот вектор имеет размерность <tex>j</tex>. По окончании процесса <tex>\alpha_n = \alpha^*</tex>.
+'''Лемма 1.3.''' Пусть выполняются условия предыдущей леммы. Тогда на <tex>j</tex>-м шаге
+процесса вектор <tex>\alpha_j</tex> может быть вычислен по рекуррентной формуле
+<tex>\alpha_1 = t_{11}(y^T\tilde{g}_1)</tex>,
+<tex>\alpha_j = \begin{pmatrix}
+\alpha_{j-1} + t_{j}(y^T\tilde{g}_j) \\
+t_{jj}(y^T\tilde{g}_j)
+\end{pmatrix}</tex>, <tex> j = 2, . . . , n</tex>.
+Назовём величину <tex>Q_j = \min_\alpha ||y - F_j\alpha||^2 = ||y - F_j\alpha_j||^2</tex> текущим значением функционала <tex>Q</tex> на <tex>j</tex>-м шаге. Оно равно кратчайшему расстоянию от <tex>y</tex> до линейной оболочки столбцов <tex>F_j</tex>. По окончании процесса <tex>Q_n = Q(\alpha^*)</tex>. Следующая лемма показывает, что текущее значение <tex>Q_j</tex> от шага к шагу только уменьшается.
+'''Лемма 1.4.''' Значения <tex>Q_j</tex> могут быть вычислены в ходе ортогонализации по рекуррентной формуле
+<tex>Q_0 = ||y||^2</tex>;
+<tex>Q_j = Q_{j-1} - (y^T\tilde{g}_j)^2, \ j = 1, . . . , n</tex>.
+'''Лемма 1.5.''' Текущий вектор невязок <tex>\varepsilon_j = y - F_j\alpha_j</tex> на <tex>j</tex>-м шаге процесса ортогонализации вычисляется по рекуррентной формуле
+<tex>\varepsilon_0 = y</tex>;
+<tex>\varepsilon_j = \varepsilon_{j-1} - \tilde{g}_j(y^T\tilde{g}_j), \ j = 1, . . . , n</tex>.
+== Алгоритм 1.1. Ортогонализация Грама-Шмидта ==
+: инициализация: <tex>g_j</tex> := <tex>f_j, \ j</tex> := <tex>1, . . . , n</tex>;
+: для <tex>j</tex> := <tex>1, . . . , n</tex>
+: <tex> \ \ </tex>  для <tex>i</tex> := <tex>1, . . . , j - 1</tex>
+: <tex> \ \ \ \ \ r_{ij}</tex> := <tex>\tilde{g}^T_i g_j</tex> ; (вычисление <tex>i</tex>-й компоненты вектор-столбца <tex>r_j \in R^{j-1}</tex>);
+: <tex> \ \ \ \ \ g_j</tex> := <tex>g_j - \tilde{g}_ir_{ij}</tex> ; (ортогонализация <tex>g_j</tex> относительно <tex>g_i</tex>);
+: <tex> \ \ r_{jj}</tex> := <tex>||g_j||</tex>;
+== Модифицированная ортогонализация Грама-Шмидта ==
+Если вместо <tex>r_{ij}</tex> := <tex>\tilde{g}^T_i f_j</tex>
+вычислять <tex>r_{ij}</tex> := <tex>\tilde{g}^T_i g_j</tex> , то формально результат не изменится, поскольку
+<tex>\tilde{g}^T_i g_j = \tilde{g}^T_i(f_j - \sum_{s=0}^{i-1}\tilde{g}_s r_{sj}) = \tilde{g}^T_i f_j - \sum_{s=0}^{i-1}\tilde{g}^T_i \tilde{g}_s r_{sj} = \tilde{g}^T_i f_j</tex> .
+Данная модификация повышает численную устойчивость алгоритма. Это объясняется тем, что вектор <tex>g_j</tex> обладает минимальной нормой среди всех векторов вида <tex>f_j - \sum_{s=0}^{i-1}\beta_s\tilde{g}_s</tex>, где <tex>\beta_s</tex> - произвольные коэффициенты. Поэтому при скалярном умножении на <tex>g_j</tex> ошибки накапливаются существенно медленнее.
+Прежде чем переходить к следующей модификации, запишем основную часть
+алгоритма ортогонализации, вычисляющую <tex>G_j</tex> и <tex>R_j</tex>.
+Изменим порядок ортогонализации столбцов. До сих пор мы ортогонализовали столбец <tex>g_j</tex> относительно предыдущих столбцов <tex>g_1, . . . , g_{j−1}</tex>. Но можно сделать и подругому - ортогонализовать все последующие столбцы <tex>g_{j+1}, . . . , g_n</tex> относительно <tex>g_j</tex> :
+<tex>g_i</tex> := <tex>g_i - \tilde{g}_j(\tilde{g}^T_jg_i), \ i = j + 1, . . . , n</tex>.
+Тогда в начале <tex>j</tex>-го шага все столбцы <tex>g_j , . . . , g_n</tex> по построению будут ортогональны всем столбцам <tex>g_1, . . . , g_{j-1}</tex>. При этом подматрицы <tex>G_j ,\ R_j ,\ T_j</tex> и вектор <tex>\alpha_j</tex> останутся такими же, как и до модификации.
+Описанная модификация обладает важным преимуществом. Теперь на каждом шаге можно выбрать столбец <tex>g_m \in {g_j , . . . , g_n}</tex>, добавление которого наиболее выгодно. Чтобы не менять обозначений, будем полагать, что перед добавлением столбцы <tex>g_j</tex> и <tex>g_m</tex> переставляются местами (при реализации придётся сохранять соответствие между старой и новой нумерацией признаков, но мы не будем останавливаться на столь мелких технических деталях).
+Возможны альтернативные критерии выбора добавляемого столбца:
+) столбец с максимальной нормой <tex>||g_m|| \to \max_m</tex>, что соответствует выбору столбца <tex>f_m</tex>, максимально некоррелированного с <tex>g_1, . . . , g_{j-1}</tex>; применение этого критерия решает проблему вырожденности <tex>R_j</tex> (см. Замечание 1.1); здесь существенно, чтобы матрица <tex>F</tex> была заранее стандартизована;
+) столбец, наиболее коррелированный с вектором ответов: <tex>\frac{y^Tg_m}{||g_m||} \to \max_m</tex>; его добавление ведёт к скорейшему убыванию функционала <tex>Q</tex>;
+) столбец, добавление которого ведёт к наименьшему увеличению нормы век-
+тора коэффициентов <tex>||\alpha_j||</tex>, что соответствует применению регуляризации;
+) столбец, после добавления которого значение функционала качества <tex>Q</tex> на независимой контрольной выборке <tex>X^k = \{x'_1, . . . , x'_k\}</tex> окажется минимальным, что соответствует применению скользящего контроля (hold-out CV).
+== Алгоритм 1.2. Решение линейной задачи наименьших квадратов путём ортогонализации Грама-Шмидта с последовательным добавлением признаков ==
+Вход:
+<tex>F = (f_1, . . . , f_n)</tex> - матрица информации;
+<tex>y</tex> - вектор ответов;
+<tex>\delta Q</tex> - параметр критерия останова.
+Выход:
+<tex>\alpha_j</tex> - вектор коэффициентов линейной комбинации;
+<tex>Q_j</tex> - минимальное значение функционала.
+: инициализация:
+<tex>\ \ Q_0</tex> := <tex>||y||^2; \ g_j</tex> := <tex>f_j; \ Z_j</tex> := <tex>||g_j||^2; \  D_j</tex> := <tex>y^Tg_j; \ \ j</tex> := <tex>1, . . . , n;</tex>
+: для <tex>j</tex>:= <tex>1, . . . , n</tex>
+: <tex>\ \ </tex> выбор <tex>m \in {j, . . . , n}</tex> по критериям <tex>Z_m \to \max_m </tex> и <tex>(D^2_m
+/Z_m) \to \max_m;</tex>
+: <tex>\ \ </tex> перестановка местами столбцов:
+<tex>\ \ \ \ \ \ g_j \rightleftharpoons g_m, \ f_j \rightleftharpoons f_m, \ r_j \rightleftharpoons r_m;</tex>
+: <tex>\ \ r_{jj}</tex>:= <tex>\sqrt{Z_m}</tex>; нормировка: <tex>\tilde{g}_j</tex>:= <tex>g_j/r_{jj};</tex>
+: <tex>\ \ </tex> вычисление текущего значения функционала:
+<tex>\ \ \ \ \ \ d_j</tex> := <tex>D_j/r_{jj}</tex> ; (эффективное вычисление <tex>d_j</tex> := <tex>y^T\tilde{g}_j</tex>);
+<tex>\ \ \ \ \ \ Q_j</tex> := <tex>Q_{j-1} - d^2_j;</tex>
+: <tex>\ \ </tex>обращение верхней треугольной матрицы <tex>T_j = R^{-1}_j </tex>:
+<tex>\ \ \ \ \ \ t_{jj} = 1/r_{jj}; \ \ t_j = -t_{jj}T_{j-1}r_j</tex> (вектор-столбец <tex>t_j</tex> длины <tex>j - 1</tex>);
+<tex>\ \ \ \ \ \ T_j = \begin{pmatrix}
+T_{j-1} & & t_{j} \\
+& & t_{jj}
+\end{pmatrix};</tex>
+: <tex>\ \ </tex>вычисление текущего вектора коэффициентов:
+<tex>\ \ \ \ \ \ \alpha_j = \begin{pmatrix}
+\alpha_{j-1} + t_{j}d_j \\
+t_{jj}d_j
+\end{pmatrix};</tex>
+: <tex>\ \ \ </tex>если <tex>Q_j <\delta Q</tex> то
+: <tex>\ \ \ \ \ </tex>прекратить добавление столбцов; выход;
+: для <tex>i</tex> := <tex>j + 1, . . . , n</tex>
+:  <tex>\ \ \ \ r_{ji}</tex> := <tex>\tilde{g}^T_jg_i</tex>; (компоненты вектор-столбца <tex>r_i</tex>);
+: <tex>\ \ \ \ g_i</tex> := <tex>g_i - \tilde{g}_jr_{ji}</tex>; (ортогонализация <tex>g_i</tex> относительно <tex>g_j</tex>);
+: <tex>\ \ \ \ Z_i</tex> := <tex>Z_i - r_{ji}</tex>; (теперь <tex>Z_i = ||g_i||^2</tex>);
+: <tex>\ \ \ \ D_i</tex> := <tex>D_i - d_jr_{ji}</tex>; (теперь <tex>D_i = y^Tg_i</tex>);
+: конец цикла по <tex>j</tex>.
 {{Задание|DValov|Константин Воронцов|6 января 2010}}