Рациональная интерполяция

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Введение)
Строка 5: Строка 5:
<tex>R(x)=\frac{a_0+a_1x+\dots+a_px^p}{b_0+b_1x+\dots+b_px^p}, p+q+1=n</tex>
<tex>R(x)=\frac{a_0+a_1x+\dots+a_px^p}{b_0+b_1x+\dots+b_px^p}, p+q+1=n</tex>
-
Коэффициенты <tex>a_i, b_i</tex> можно найти из совокупности соотношений <tex>R(x_j)=y_j, j=1,\dots,n,</tex> которые можно записать в виде
+
Коэффициенты <tex>a_i, b_i</tex> можно найти из совокупности соотношений <tex>R(x_j)=y_j, j=1,\ldots,n,</tex> которые можно записать в виде
-
<tex> \sum_{j=0}^{p} a_j x_j^j-f(x_i)\sum_{j=0}^{q}b_j x_i^j=0, i=1,\dots, n</tex>
+
<tex> \sum_{j=0}^{p} a_j x_j^j-f(x_i)\sum_{j=0}^{q}b_j x_i^j=0, i=1,\ldots, n</tex>
Таким образом полычаем систему ''n'' линейных алгебраических уравнений относительно ''n+1'' неизыестных.
Таким образом полычаем систему ''n'' линейных алгебраических уравнений относительно ''n+1'' неизыестных.
Строка 17: Строка 17:
и реккурентным соотношением
и реккурентным соотношением
-
<tex> f^{-}(x_k;\dots;x_l)=\frac{x_l-x_k}{f^{-}(x_{k+1};\dots;x_l)-f^{-}(x_k;\dots;x_{l-1})}</tex>
+
<tex> f^{-}(x_k;\ldots;x_l)=\frac{x_l-x_k}{f^{-}(x_{k+1};\ldots;x_l)-f^{-}(x_k;\ldots;x_{l-1})}</tex>
после чего интерполирующая рациональная функция записывается в виде цепной дроби
после чего интерполирующая рациональная функция записывается в виде цепной дроби
 +
 +
<tex> f^{-}(x_k;\ldots;x_l)=f(x_1)+\frac{x-x_1}{f^{-}(x_1;x_2)+\frac{x-x_2} {f^{-}(x_1;x_2;x_3)+ \frac{x-x_3}{f^{-}(x_k;\ldots;x_{l-1}) } } }</tex>
 +
==Погрешность вычислений==
==Погрешность вычислений==

Версия 12:58, 19 октября 2008

Содержание

Введение

Некоторые функции нельзя с достаточной точностью приблизить полиномами или полиномиальное приближение очень медленно сходится. В этом случае разумно обратиться к другому методу - к дробно-рациональному приближению (иногда называют просто рациональное), которое соответсвует отношению двух многочленов.

R(x)=\frac{a_0+a_1x+\dots+a_px^p}{b_0+b_1x+\dots+b_px^p}, p+q+1=n

Коэффициенты a_i, b_i можно найти из совокупности соотношений R(x_j)=y_j, j=1,\ldots,n, которые можно записать в виде

 \sum_{j=0}^{p} a_j x_j^j-f(x_i)\sum_{j=0}^{q}b_j x_i^j=0, i=1,\ldots, n

Таким образом полычаем систему n линейных алгебраических уравнений относительно n+1 неизыестных. Функция R(x) может быть записана в явном виде в случаях, когда n нечетное и p=q, и когда n четное и p-q=1. Для этого следует вычислить обратные разделенные разности, определяемые условиями

f^{-}(x_k;x_l)=\frac{x_k-x_l}{f(x_k)-f(x_l)}

и реккурентным соотношением

 f^{-}(x_k;\ldots;x_l)=\frac{x_l-x_k}{f^{-}(x_{k+1};\ldots;x_l)-f^{-}(x_k;\ldots;x_{l-1})}

после чего интерполирующая рациональная функция записывается в виде цепной дроби

 f^{-}(x_k;\ldots;x_l)=f(x_1)+\frac{x-x_1}{f^{-}(x_1;x_2)+\frac{x-x_2} {f^{-}(x_1;x_2;x_3)+ \frac{x-x_3}{f^{-}(x_k;\ldots;x_{l-1}) } } }


Погрешность вычислений

Пример использования

Список литературы

Личные инструменты