Случайная величина

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Определение: уточнение)
(категория)
 
(3 промежуточные версии не показаны)
Строка 1: Строка 1:
==Определение==
==Определение==
-
Пусть задано [[вероятностное пространство]] <tex>(\Omega,\mathcal{F},P)</tex>. ''Случайной величиной'', заданной на этом пространстве, называется числовая функция <tex>X:\Omega\to\mathbb{R}</tex>, которая ставит в соответствие каждому элементарному исходу <tex>\omega</tex> число <tex>X(\omega)</tex> - значение случайной величины на этом исходе. Данная функция должна быть <tex>\mathcal{F}|\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex>-измеримой (где <tex>\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex> - борелевская сигма-алгебра на прямой), т.е. для любого борелевского множества <tex>B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex> его полный прообраз при отображении <tex>X</tex> должен быть событием: <tex>X^{-1}(B)\in\mathcal{F}</tex>.
+
Пусть задано [[вероятностное пространство]] <tex>(\Omega,\mathcal{F},P)</tex>. ''Случайной величиной'', заданной на этом пространстве, называется числовая функция <tex>X:\Omega\to\mathbb{R}</tex>, которая ставит в соответствие каждому элементарному исходу <tex>\omega\in\Omega</tex> число <tex>X(\omega)</tex> - значение случайной величины на этом исходе. Данная функция должна быть <tex>\mathcal{F}|\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex>-измеримой (где <tex>\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex> - борелевская сигма-алгебра на прямой), т.е. для любого борелевского множества <tex>B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex> его полный прообраз при отображении <tex>X</tex> должен быть событием: <tex>X^{-1}(B)\in\mathcal{F}</tex>.
 +
 
 +
==Свойства==
Случайная величина может быть интерпретирована как некоторое измерение, в результате которого при каждой реализации случайного опыта мы получаем некоторое число.
Случайная величина может быть интерпретирована как некоторое измерение, в результате которого при каждой реализации случайного опыта мы получаем некоторое число.
Строка 7: Строка 9:
Случайная величина <tex>X</tex> индуцирует (порождает) новое вероятностное пространство <tex>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),P_X)</tex> с мерой <tex>P_X(B)=P(X^{-1}(B))</tex>,
Случайная величина <tex>X</tex> индуцирует (порождает) новое вероятностное пространство <tex>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),P_X)</tex> с мерой <tex>P_X(B)=P(X^{-1}(B))</tex>,
которая называется распределением вероятностей <tex>X</tex>. При исследовании одной только случайной величины иногда сразу задают это пространство и не вводят саму величину как отображение (хотя это всегда можно сделать, взяв тождественное отображение числовой прямой на себя). Вероятность <tex>P_X(B)</tex> также обозначают <tex>P(X\in B)</tex>.
которая называется распределением вероятностей <tex>X</tex>. При исследовании одной только случайной величины иногда сразу задают это пространство и не вводят саму величину как отображение (хотя это всегда можно сделать, взяв тождественное отображение числовой прямой на себя). Вероятность <tex>P_X(B)</tex> также обозначают <tex>P(X\in B)</tex>.
 +
 +
Универсальный способ задания распределения случайной величины - через [[функция_распределения|функцию распределения]] <tex>F_X(t)=P(X<t)</tex>
 +
 +
==Наиболее часто используемые типы случайных величин==
В практических приложениях наиболее часто используются два типа случайных величин: ''дискретные'' и ''абсолютно непрерывные'', хотя, разумеется, существуют случайные величины, не относящиеся ни к одному из этих классов.
В практических приложениях наиболее часто используются два типа случайных величин: ''дискретные'' и ''абсолютно непрерывные'', хотя, разумеется, существуют случайные величины, не относящиеся ни к одному из этих классов.
-
==Дискретные случайные величины==
+
===Дискретные случайные величины===
 +
 
 +
'''Дискретная случайная величина''' - это величина, принимающая конечное или счетное число значений. Такая величина задается набором этих значений <tex>\{x_1,x_2,\ldots\}</tex> и их вероятностей <tex>\{p_1,p_2,\ldots\}</tex>, <tex>p_i=P(X=x_i)</tex>, которые должны быть неотрицательными и удовлетворять условию нормировки: <tex>\sum p_i=1</tex>.
 +
 
 +
При этом вероятностная мера на любом (борелевском) множестве прямой задается по формуле:
 +
 
 +
<center><tex>P(X\in B)=\sum_{i:x_i\in B}p_i</tex>, где <tex>B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})</tex>.</center>
 +
 
 +
===Абсолютно непрерывные случайные величины===
 +
 
 +
Если [[функция_распределения|функция распределения]] случайной величины <tex>X</tex> имеет вид:
 +
 
 +
<center><tex>F_X(t)=P(X<t)=\int_{-\infty}^t p(u)\,du</tex>, где <tex>p(u)</tex> - интегрируемая неотрицательная функция,</center>
 +
 
 +
тогда эта случайная величина называется '''абсолютно непрерывной'''. Функция <tex>p(u)</tex> при этом называется '''плотностью распределения'''. Плотность распределения удовлетворяет свойствам:
 +
 
 +
<center><tex>p(u)\ge 0</tex> и <tex>\int_{-\infty}^\infty p(u)\,du=1</tex>.</center>
 +
 
 +
И наоборот, любая интегрируемая функция <tex>p(u)</tex>, удовлетворяющая этим свойствам, может быть взята в качестве плотности распределения некоторой случайной величины.
-
==Абсолютно непрерывные случайные величины==
+
Поскольку функция распределения является функцией верхнего предела от плотности, то последняя восстанавливается по ней дифференцированием:
 +
<center><tex>p(t)=F'_X(t)</tex>.</center>
-
[[Категория:Материалы по теории вероятностей]]
+
[[Категория:Теория вероятностей]]

Текущая версия

Содержание

Определение

Пусть задано вероятностное пространство (\Omega,\mathcal{F},P). Случайной величиной, заданной на этом пространстве, называется числовая функция X:\Omega\to\mathbb{R}, которая ставит в соответствие каждому элементарному исходу \omega\in\Omega число X(\omega) - значение случайной величины на этом исходе. Данная функция должна быть \mathcal{F}|\mathcal{B}(\mathbb{R})-измеримой (где \mathcal{B}(\mathbb{R}) - борелевская сигма-алгебра на прямой), т.е. для любого борелевского множества B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}) его полный прообраз при отображении X должен быть событием: X^{-1}(B)\in\mathcal{F}.

Свойства

Случайная величина может быть интерпретирована как некоторое измерение, в результате которого при каждой реализации случайного опыта мы получаем некоторое число.

Случайная величина X индуцирует (порождает) новое вероятностное пространство (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),P_X) с мерой P_X(B)=P(X^{-1}(B)), которая называется распределением вероятностей X. При исследовании одной только случайной величины иногда сразу задают это пространство и не вводят саму величину как отображение (хотя это всегда можно сделать, взяв тождественное отображение числовой прямой на себя). Вероятность P_X(B) также обозначают P(X\in B).

Универсальный способ задания распределения случайной величины - через функцию распределения F_X(t)=P(X<t)

Наиболее часто используемые типы случайных величин

В практических приложениях наиболее часто используются два типа случайных величин: дискретные и абсолютно непрерывные, хотя, разумеется, существуют случайные величины, не относящиеся ни к одному из этих классов.

Дискретные случайные величины

Дискретная случайная величина - это величина, принимающая конечное или счетное число значений. Такая величина задается набором этих значений \{x_1,x_2,\ldots\} и их вероятностей \{p_1,p_2,\ldots\}, p_i=P(X=x_i), которые должны быть неотрицательными и удовлетворять условию нормировки: \sum p_i=1.

При этом вероятностная мера на любом (борелевском) множестве прямой задается по формуле:

P(X\in B)=\sum_{i:x_i\in B}p_i, где B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}).

Абсолютно непрерывные случайные величины

Если функция распределения случайной величины X имеет вид:

F_X(t)=P(X<t)=\int_{-\infty}^t p(u)\,du, где p(u) - интегрируемая неотрицательная функция,

тогда эта случайная величина называется абсолютно непрерывной. Функция p(u) при этом называется плотностью распределения. Плотность распределения удовлетворяет свойствам:

p(u)\ge 0 и \int_{-\infty}^\infty p(u)\,du=1.

И наоборот, любая интегрируемая функция p(u), удовлетворяющая этим свойствам, может быть взята в качестве плотности распределения некоторой случайной величины.

Поскольку функция распределения является функцией верхнего предела от плотности, то последняя восстанавливается по ней дифференцированием:

p(t)=F'_X(t).
Личные инструменты