Статистический анализ данных (курс лекций, К.В.Воронцов)/2015, ФУПМ/1

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Текущая версия

Ниже под обозначением $X^n, \;\; X \sim p\cdot F_1+ \left(1-p\right)\cdot F_2$ понимается выборка объёма $n$ из смеси распределений $F_1$ и $F_2$ с весами $p$ и $1-p$ соответственно (при генерации каждой выборки используется случайный датчик — если его значение не превосходит $p$ , то добавляем в выборку элемент, взятый из $F_1$ , иначе — элемент, взятый из $F_2$ ).

Анализ поведения схожих критериев

Требуется исследовать поведение указанной пары статистических критериев, подходящих для решения одной и той же задачи, сравнить мощность и достигаемые уровни значимости и сделать выводы о границах применимости критериев. Необходимо для каждого из критериев построить графики зависимости достигаемых уровней значимости и оценок мощностей от параметров, и показать, в каких областях изменения параметров предпочтительнее использовать тот или иной критерий. Для получения более гладких графиков рекомендуется применять оба критерия к одним и тем же выборкам, а не генерировать их отдельно для каждого.

$X_1^{n_1}, \;\; X_1 \sim F_1,$
$X_2^{n_2}, \;\; X_2 \sim F_2; <tex> <br> <tex> H_0 \,:\, F_1=F_2,$
$H_1\,:\; H_0$ неверна.

Лийко: $F_1 = U\left[0,1\right], \;\; F_2 = U\left[a,a+1\right]$ — непрерывные равномерные распределения; $a = 0\,:\,0.02\,:\,3, \;\; n_1=n_2=5\,:\,1\,:\,70.$ Сравнить критерии Смирнова и Крамера-фон Мизеса.

Ефимова: $F_1 = N(0,1), \;\; F_2 = N(\mu,\sigma^2), \;\; \mu = 0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma=0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_1=n_2=30.$ Сравнить критерии Смирнова и Крамера-фон Мизеса.

Игнатов: $F_1 = N(0,1), \;\; F_2 = p\cdot N(0,1)+ \left(1-p\right)\cdot U\left[-\sqrt{3}, \sqrt{3}\right]; \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n_1=n_2=5\,:\,1\,:\,70.$ Сравнить критерии Смирнова и его бутстреп-версию (функция ks.boot в пакете Matching).

$X^n, \;\; X \sim p\cdot N(0,1)+ \left(1-p\right)\cdot F;$
$H_0\,:\; X \sim N,$
$H_1\,:\; H_0$ неверна.

Лукманов: $F = C\left(0,1\right)$ — стандартное распределение Коши; $n=20\,:\,1\,:\,100, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.$ Сравнить критерии Шапиро-Уилка и хи-квадрат Пирсона.

Дербышев: $F = U[-a,a]$ — непрерывное равномерное распределение; $a=0.1\,:\,0.05\,:\,5, \;\; n=50, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.$ Сравнить критерии Харке-Бера и Андерсона-Дарлинга.

Попова: $F = St(2)$ — распределение Стьюдента с двумя степенями свободы; $n=10\,:\,1\,:\,70, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.$ Сравнить критерии Харке-Бера и хи-квадрат Пирсона.

$X^n, \;\; X\sim Ber(p);$
$H_0\,:\, p=p_0,$
$H_1\,:\, p\neq p_0;$
$p=0\,:\,0.01\,:\,0.5, \;\; n=5\,:\,1\,:\,70.$

Ахтямов: $p_0=0.5$ ; сравнить z-критерии в версиях Вальда и множителей Лагранжа.

Бондарчук: $p_0=0.25$ ; сравнить z-критерий в версии множителей Лагранжа и точный критерий.

Усманова: $p_0=0.1$ ; сравнить z-критерий в версии Вальда и точный критерий.

$X^n, \;\; X\sim N(\mu,\sigma);$
$H_0\,:$ среднее значение $X$ равно нулю,
$H_1\,:$ среднее значение $X$ не равно нулю;
$\mu=0\,:\,0.01\,:\,2.$

Костюк: $\sigma=1, \;\; n=5\,:\,1\,:\,70;$ сравнить критерии знаков и знаковых рангов.

Аверьянов: $\sigma=2, \;\; n=5\,:\,1\,:\,70;$ сравнить критерий знаковых рангов и одновыборочный t-критерий.

Сущинская: $\sigma=1, \;\; n=5\,:\,1\,:\,70;$ сравнить одновыборочные t- и z-критерии.

Карасиков: $\sigma=1, \;\; n=5\,:\,1\,:\,40;$ сравнить одновыборочные t- и перестановочный критерии.

$X_1^{n_1}, \;\; X_{1} \sim N(\mu_1, \sigma_1^2),$
$X_2^{n_2}, \;\; X_{2} \sim N(\mu_2, \sigma_2^2);$
$H_0\,:$ средние равны,
$\;H_1\,:$ средние не равны;
$n_1=30, \;\; \mu_1=0, \;\; \sigma_1=1.$

Яковлева: $\mu_2=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma_2 = 2, \;\; n_2=5\,:\,1\,:\,70,$ сравнить версии t-критерия для равных и неравных дисперсий.

Газизуллина: $\mu_2=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_2=30,$ сравнить t-критерий для неравных дисперсий и критерий Манна-Уитни-Уилкоксона.

Черепанов: $\mu_2=0.5, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_2=5\,:\,1\,:\,70,$ сравнить t- и z-критерии для неравных дисперсий.

Кулунчаков: $\mu_2=0\,:\,0.02\,:\,2, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.02\,:\,2, \;\; n_2=20,$ сравнить критерий Манна-Уитни-Уилкоксона и перестановочный критерий с разностью средних в качестве статистики.

Жуков: $\mu_2=0\,:\,0.02\,:\,2, \;\; \sigma_2 = 1, \;\; n_2=5\,:\,1\,:\,40,$ сравнить t-критерий для неизвестных равных дисперсий и перестановочный критерий с разностью средних в качестве статистики.

$X_1^n, \;\; X_{1} \sim N(0, \sigma_1^2),$
$X_2^n, \;\; X_{2} \sim N(0, \sigma_2^2);$
$H_0\,:\, \mathbb{D}X_{1} = \mathbb{D}X_{2},$
$H_1\,:\, \mathbb{D}X_{1} \neq \mathbb{D}X_{2}.$

Веринов: $\sigma_1= 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\;\sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n=30;$ сравнить критерии Фишера и Ансари-Брэдли.

Занегин: $\sigma_1= 1, \;\;\sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n=5\,:\,1\,:\,40;$ сравнить критерии Фишера и перестановочный критерий со статистикой Али.

Васильев: $\sigma_1=1, \;\;\sigma_2 = 0.5\,:\,0.05\,:\,2, \;\; n=5\,:\,1\,:\,40,$ сравнить критерии Ансари-Брэдли и Зигеля-Тьюки.

Анализ устойчивости критериев к нарушению предположений

Требуется исследовать поведение указанного критерия в условиях нарушения лежащих в его основе предположений. Оценить мощность и достигаемый уровень значимости критерия при различных значениях параметров, сделать выводы об устойчивости.

Двухвыборочный t-критерий для равных дисперсий, нарушение предположения о равенстве дисперсий.
$X_1^{n_1}, \;\; X_{1} \sim N(0,1),$
$X_2^{n_2}, \;\; X_{2} \sim N(\mu,\sigma^2);$
$H_0\,:\; \mathbb{E}X_{1} = \mathbb{E}X_{2},$
$H_1\,:\; \mathbb{E}X_{1} \neq \mathbb{E}X_{2}.$

Виденеева: $\mu=1, \;\; \sigma=0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_1=5\,:\,1\,:\,70, \;\; n_2 = 30.$

Омельченко: $\mu = 0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma=0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_1=20, \;\; n_2 = 30.$

Одновыборочный t-критерий, нарушение предположения о нормальности.
$X^n, \;\; X \sim p\cdot N(\mu,\sigma^2)+ \left(1-p\right)\cdot F;$
$H_0\,:\; \mathbb{E}X=0$
$H_1\,:\; \mathbb{E}X\neq0;$
$\mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n=30.$

Рубцовенко: $F = U\left[-\sqrt{3}+\mu, \sqrt{3}+\mu\right]$ — непрерывное равномерное распределение; $\sigma=1, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.$

Родина: $F = C\left(\mu,1\right)$ — распределение Коши с коэффициентом сдвига $\mu$ и коэффициентом масштаба $1; \;\; \sigma=1, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.$

Пономарёв: $F = \mu + St(3)$ — сдвинутое на $\mu$ распределение Стьюдента с тремя степенями свободы; $\sigma = \sqrt{3}, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.$

Макарова: $F = U\left[-a+\mu, a+\mu\right]$ — непрерывное равномерное распределение; $\sigma=1, \;\; p=0.7, \;\; a=0.1\,:\,0.05\,:\,5.$

Одновыборочный критерий хи-квадрат для гипотезы о дисперсии, нарушение предположения о нормальности.
$X^n, \;\; X \sim p\cdot N(0,\sigma^2)+ \left(1-p\right)\cdot F;$
$H_0\,:\; \mathbb{D}X=\sigma_0^2$
$H_1\,:\; \mathbb{D}X\neq\sigma_0^2;$
$p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n=50.$

Иноземцев: $F = St(3)$ — распределение Стьюдента с тремя степенями свободы; $\sigma_0^2 = 3, \;\; \sigma^2=1.5\,:\,0.05\,:\,6.$

Фатыхов: $F = U\left[-\sqrt{3}, \sqrt{3}\right]$ — непрерывное равномерное распределение; $\sigma_0 = 1, \;\; \sigma=0.5\,:\,0.01\,:\,2.$

Хомутов: $F = \chi^2_2 - 2,$ — сдвинутое на 2 распределение хи-квадрат с 2 степенями свободы; $\sigma_0 = 2, \;\; \sigma=1\,:\,0.02\,:\,4.$

Критерий Фишера для проверки равенства дисперсий, нарушение предположения о нормальности.
$X_1^{n_1}, \;\; X_{1} \sim p_1\cdot N(0,\sigma_1^2)+ \left(1-p_1\right)\cdot F_1,$
$X_2^{n_2},\;\; X_{2} \sim p_2\cdot N(0,\sigma_2^2)+ \left(1-p_2\right)\cdot F_2;$
$H_0\,:\, \mathbb{D}X_{1} = \mathbb{D}X_{2},$
$H_1\,:\, \mathbb{D}X_{1} \neq \mathbb{D}X_{2}.$

Чжен: $F_1 = U\left[-\sqrt{3}, \sqrt{3}\right]$ — непрерывное равномерное распределение; $\sigma_1=1, \;\; \sigma_2=0.2\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p_1=0.7, \;\; p_2 = 1, \;\; n_1=5\,:\,1\,:\,70, \;\; n_2=30.$

Плавин: $F_1 = U\left[-\sqrt{3}, \sqrt{3}\right], \;\; F_2 = U\left[-\sigma_2\sqrt{3}, \sigma_2\sqrt{3}\right]$ — непрерывные равномерные распределения; $\sigma_1=1, \;\; \sigma_2=0.2\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p_1= 1 - p_2=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n_1=n_2=50.$

Шинкевич: $F_1 = St(3)$ — распределение Стьюдента с тремя степенью свободы; $\sigma_1^2=3, \;\; \sigma_2^2=1.5\,:\,0.05\,:\,6, \;\; p_1=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; p_2 = 1, \;\; n_1=n_2=30.$

Гринчук: $F_1 = F_2 = U\left[-3, 3\right]$ — непрерывное равномерное распределение; $\sigma_1=1, \;\; \sigma_2=0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p_1=p_2 = 0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n_1=n_2=50.$

Критерий знаковых рангов Уилкоксона, нарушение предположения о симметричности распределения относительно медианы.
$X^n, \;\; X \sim p\cdot N(\mu,1)+ \left(1-p\right)\cdot F;$
$H_0\,:\; med X=0$
$H_1\,:\; med X\neq0;$
$\mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.$

Липатова: $F = LN(0,1) - 1 + \mu,$ где $LN(0,1)$ — стандартное логнормальное распределение; $n=50.$

Кучин: $F = \chi^2_4 - \frac{10}{3} + \mu,$ где $\chi^2_4$ — распределение хи-квадрат с 4 степенями свободы; $n=30.$

Ссылки

Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7_%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85_%28%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9%2C_%D0%9A.%D0%92.%D0%92%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%BD%D1%86%D0%BE%D0%B2%29/2015%2C_%D0%A4%D0%A3%D0%9F%D0%9C/1»

Категория: Учебные курсы

@@ Строка 5: / Строка 5: @@
 * <tex> X_1^{n_1}, \;\; X_1 \sim F_1,</tex> <br> <tex> X_2^{n_2}, \;\; X_2 \sim F_2; <tex> <br> <tex> H_0 \,:\, F_1=F_2, </tex><br> <tex>H_1\,:\; H_0 </tex> неверна. <br>
-::Лийко: <tex>F_1 = U\left[0,1\right], \;\; F_2 = U\left[a,a+1\right]</tex> —&nbsp; непрерывные равномерные распределения; <tex>a = 0\,:\,0.02\,:\,3, \;\; n_1=n_2=5\,:\,1\,:\,70.</tex> Сравнить критерии Смирнова и Крамера-фон Мизеса (функция cvm.test с параметром type="W2" в пакете dgof).
+::Лийко: <tex>F_1 = U\left[0,1\right], \;\; F_2 = U\left[a,a+1\right]</tex> —&nbsp; непрерывные равномерные распределения; <tex>a = 0\,:\,0.02\,:\,3, \;\; n_1=n_2=5\,:\,1\,:\,70.</tex> Сравнить критерии Смирнова и Крамера-фон Мизеса. <!--- брать a до 2--->
-::Ефимова: <tex>F_1 = N(0,1), \;\; F_2 = N(\mu,\sigma^2), \;\; \mu = 0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma=0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_1=n_2=30.</tex> Сравнить критерии Смирнова и Андерсона (функция cvm.test с параметром type="A2" в пакете dgof).
+::Ефимова: <tex>F_1 = N(0,1), \;\; F_2 = N(\mu,\sigma^2), \;\; \mu = 0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma=0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_1=n_2=30.</tex> Сравнить критерии Смирнова и Крамера-фон Мизеса.
-::Игнатов: <tex>F_1 = N(0,1), \;\; F_2 = p\cdot N(0,1)+ \left(1-p\right)\cdot U\left[-\sqrt{3}, \sqrt{3}\right]; \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n_1=n_2=5\,:\,1\,:\,70.</tex> Сравнить критерии Смирнова и Андерсона (функция cvm.test с параметром type="A2" в пакете dgof).
+::Игнатов: <tex>F_1 = N(0,1), \;\; F_2 = p\cdot N(0,1)+ \left(1-p\right)\cdot U\left[-\sqrt{3}, \sqrt{3}\right]; \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n_1=n_2=5\,:\,1\,:\,70.</tex> Сравнить критерии Смирнова и его бутстреп-версию (функция ks.boot в пакете Matching).
 * <tex>X^n, \;\; X \sim p\cdot N(0,1)+ \left(1-p\right)\cdot F;</tex> <br> <tex> H_0\,:\; X \sim N,</tex> <br> <tex>H_1\,:\; H_0 </tex> неверна.
 ::Лукманов: <tex>F = C\left(0,1\right)</tex>—&nbsp;стандартное распределение Коши; <tex>n=20\,:\,1\,:\,100, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.</tex> Сравнить критерии Шапиро-Уилка и хи-квадрат Пирсона.
 ::Дербышев: <tex>F = U[-a,a]</tex>—&nbsp;непрерывное равномерное распределение; <tex>a=0.1\,:\,0.05\,:\,5, \;\; n=50, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.</tex> Сравнить критерии Харке-Бера и Андерсона-Дарлинга.
+::Попова: <tex>F = St(2)</tex> —&nbsp;распределение Стьюдента с двумя степенями свободы; <tex>n=10\,:\,1\,:\,70, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.</tex> Сравнить критерии Харке-Бера и хи-квадрат Пирсона.
 * <tex>X^n, \;\; X\sim Ber(p); </tex><br> <tex>H_0\,:\, p=p_0,</tex><br> <tex>H_1\,:\, p\neq p_0;</tex><br> <tex>p=0\,:\,0.01\,:\,0.5, \;\; n=5\,:\,1\,:\,70.</tex>
-::Ахтямов: <tex>p_0=0.5</tex>, сравнить z-критерии в версиях Вальда и множителей Лагранжа.
+::Ахтямов: <tex>p_0=0.5</tex>; сравнить z-критерии в версиях Вальда и множителей Лагранжа.
-::Бондарчук: <tex>p_0=0.25</tex>, сравнить z-критерий (в версии множителей Лагранжа) и точный критерий.
+::Бондарчук: <tex>p_0=0.25</tex>; сравнить z-критерий в версии множителей Лагранжа и точный критерий.
+::Усманова:<tex>p_0=0.1</tex>; сравнить z-критерий в версии Вальда и точный критерий.
-* <tex>X^n, \;\; X\sim N(\mu,\sigma); </tex><br> <tex>H_0\,:</tex> среднее значение <tex>X</tex> равно нулю,<br> <tex>H_1\,:</tex> среднее значение <tex>X</tex> не равно нулю;<br> <tex>\mu=0\,:\,0.01\,:\,2,  \;\; n=5\,:\,1\,:\,70.</tex>
+* <tex>X^n, \;\; X\sim N(\mu,\sigma); </tex><br> <tex>H_0\,:</tex> среднее значение <tex>X</tex> равно нулю,<br> <tex>H_1\,:</tex> среднее значение <tex>X</tex> не равно нулю;<br> <tex>\mu=0\,:\,0.01\,:\,2.</tex>
-::Костюк: <tex>\sigma=1,</tex> сравнить критерии знаков и знаковых рангов.
+::Костюк: <tex>\sigma=1,  \;\; n=5\,:\,1\,:\,70;</tex> сравнить критерии знаков и знаковых рангов.
-::Аверьянов: <tex>\sigma=2,</tex> сравнить критерий знаковых рангов и одновыборочный t-критерий.
+::Аверьянов: <tex>\sigma=2,  \;\; n=5\,:\,1\,:\,70;</tex> сравнить критерий знаковых рангов и одновыборочный t-критерий.
+::Сущинская: <tex>\sigma=1,  \;\; n=5\,:\,1\,:\,70;</tex> сравнить одновыборочные t- и z-критерии.
+::Карасиков: <tex>\sigma=1,  \;\; n=5\,:\,1\,:\,40;</tex> сравнить одновыборочные t- и перестановочный критерии.
 * <tex>X_1^{n_1}, \;\; X_{1} \sim N(\mu_1, \sigma_1^2),</tex><br> <tex>X_2^{n_2}, \;\; X_{2} \sim N(\mu_2, \sigma_2^2);</tex><br><tex>H_0\,:</tex> средние равны, <br><tex>\;H_1\,:</tex> средние не равны;<br><tex>n_1=30, \;\; \mu_1=0, \;\; \sigma_1=1.</tex>
 ::Яковлева: <tex>\mu_2=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma_2 = 2, \;\; n_2=5\,:\,1\,:\,70,</tex> сравнить версии t-критерия для равных и неравных дисперсий.
+::Газизуллина: <tex>\mu_2=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_2=30,</tex> сравнить t-критерий для неравных дисперсий и критерий Манна-Уитни-Уилкоксона.
+::Черепанов: <tex>\mu_2=0.5, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_2=5\,:\,1\,:\,70,</tex> сравнить t- и z-критерии для неравных дисперсий.
+::Кулунчаков: <tex>\mu_2=0\,:\,0.02\,:\,2, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.02\,:\,2, \;\; n_2=20,</tex> сравнить критерий Манна-Уитни-Уилкоксона и перестановочный критерий с разностью средних в качестве статистики.
+::Жуков: <tex>\mu_2=0\,:\,0.02\,:\,2, \;\; \sigma_2 = 1, \;\;  n_2=5\,:\,1\,:\,40,</tex> сравнить t-критерий для неизвестных равных дисперсий и перестановочный критерий с разностью средних в качестве статистики.
+* <tex>X_1^n, \;\; X_{1} \sim N(0, \sigma_1^2),</tex><br> <tex>X_2^n, \;\; X_{2} \sim N(0, \sigma_2^2);</tex> <br> <tex>H_0\,:\, \mathbb{D}X_{1} = \mathbb{D}X_{2},</tex> <br> <tex>H_1\,:\, \mathbb{D}X_{1} \neq \mathbb{D}X_{2}.</tex>
+::Веринов: <tex>\sigma_1= 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\;\sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\;  n=30;</tex> сравнить критерии [[критерий Фишера|Фишера]] и [[критерий Ансари-Брэдли|Ансари-Брэдли]].
+::Занегин: <tex>\sigma_1= 1, \;\;\sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\;  n=5\,:\,1\,:\,40;</tex> сравнить критерии [[критерий Фишера|Фишера]] и перестановочный критерий со статистикой Али.
+::Васильев:  <tex>\sigma_1=1, \;\;\sigma_2 = 0.5\,:\,0.05\,:\,2, \;\;  n=5\,:\,1\,:\,40,</tex> сравнить критерии [[критерий Ансари-Брэдли|Ансари-Брэдли]] и [[критерий Зигеля-Тьюки|Зигеля-Тьюки]].
 = Анализ устойчивости критериев к нарушению предположений =
@@ Строка 31: / Строка 44: @@
 ::Омельченко: <tex>\mu = 0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma=0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_1=20, \;\; n_2 = 30.</tex>
-* Одновыборочный [[критерий Стьюдента|t-критерий]], нарушение предположения о нормальности. <br> <tex>X^n, \;\; X \sim p\cdot N(\mu,1)+ \left(1-p\right)\cdot F; </tex> <br> <tex>H_0\,:\; \mathbb{E}X=0</tex> <br> <tex>H_1\,:\; \mathbb{E}X\neq0;</tex> <br><tex>\mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.</tex> <br>
+* Одновыборочный [[критерий Стьюдента|t-критерий]], нарушение предположения о нормальности. <br> <tex>X^n, \;\; X \sim p\cdot N(\mu,\sigma^2)+ \left(1-p\right)\cdot F; </tex> <br> <tex>H_0\,:\; \mathbb{E}X=0</tex> <br> <tex>H_1\,:\; \mathbb{E}X\neq0;</tex> <br><tex>\mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n=30.</tex> <br>
-::Рубцовенко: <tex>F = U\left[-\sqrt{3}+\mu, \sqrt{3}+\mu\right]</tex> —&nbsp;непрерывное равномерное распределение; <tex>n=30.</tex>
+::Рубцовенко: <tex>F = U\left[-\sqrt{3}+\mu, \sqrt{3}+\mu\right]</tex> —&nbsp;непрерывное равномерное распределение; <tex>\sigma=1, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.</tex> <!---брать mu до 1 или sigma больше--->
-::Родина: <tex>F = C\left(\mu,1\right)</tex> —&nbsp;распределение Коши с коэффициентом сдвига <tex>\mu</tex> и коэффициентом масштаба <tex>1; \;\; n=30.</tex>
+::Родина: <tex>F = C\left(\mu,1\right)</tex> —&nbsp;распределение Коши с коэффициентом сдвига <tex>\mu</tex> и коэффициентом масштаба <tex>1; \;\; \sigma=1, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.</tex>
+::Пономарёв: <tex>F = \mu + St(3)</tex> —&nbsp;сдвинутое на <tex>\mu</tex> распределение Стьюдента с тремя степенями свободы; <tex>\sigma = \sqrt{3}, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.</tex>
+::Макарова: <tex>F = U\left[-a+\mu, a+\mu\right]</tex> —&nbsp;непрерывное равномерное распределение; <tex>\sigma=1, \;\; p=0.7, \;\; a=0.1\,:\,0.05\,:\,5.</tex>
-* Одновыборочный критерий хи-квадрат для гипотезы о дисперсии, нарушение предположения о нормальности. <br> <tex>X^n, \;\; X \sim p\cdot N(\mu,\sigma^2)+ \left(1-p\right)\cdot F; </tex> <br> <tex>H_0\,:\; \mathbb{D}X=\sigma_0</tex> <br> <tex>H_1\,:\; \mathbb{D}X\neq\sigma_0;</tex> <br><tex>p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n=50.</tex> <br>
+* Одновыборочный критерий хи-квадрат для гипотезы о дисперсии, нарушение предположения о нормальности. <br> <tex>X^n, \;\; X \sim p\cdot N(0,\sigma^2)+ \left(1-p\right)\cdot F; </tex> <br> <tex>H_0\,:\; \mathbb{D}X=\sigma_0^2</tex> <br> <tex>H_1\,:\; \mathbb{D}X\neq\sigma_0^2;</tex> <br><tex>p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n=50.</tex> <br>
-::Иноземцев: <tex>F = St(3)</tex> —&nbsp;распределение Стьюдента с тремя степенью свободы; <tex>\sigma_0 = 3, \;\; \sigma=1.5\,:\,0.05\,:\,6.</tex>
+::Иноземцев: <tex>F = St(3)</tex> —&nbsp;распределение Стьюдента с тремя степенями свободы; <tex>\sigma_0^2 = 3, \;\; \sigma^2=1.5\,:\,0.05\,:\,6.</tex>
 ::Фатыхов: <tex>F = U\left[-\sqrt{3}, \sqrt{3}\right]</tex> —&nbsp;непрерывное равномерное распределение; <tex>\sigma_0 = 1, \;\; \sigma=0.5\,:\,0.01\,:\,2.</tex>
+::Хомутов: <tex>F = \chi^2_2 - 2,</tex> —&nbsp;сдвинутое на 2 распределение хи-квадрат с 2 степенями свободы; <tex>\sigma_0 = 2, \;\; \sigma=1\,:\,0.02\,:\,4.</tex>
 * [[Критерий Фишера]] для проверки равенства дисперсий, нарушение предположения о нормальности.  <br> <tex>X_1^{n_1}, \;\; X_{1} \sim p_1\cdot N(0,\sigma_1^2)+ \left(1-p_1\right)\cdot F_1,  </tex> <br> <tex> X_2^{n_2},\;\; X_{2} \sim p_2\cdot N(0,\sigma_2^2)+ \left(1-p_2\right)\cdot F_2; </tex> <br> <tex>H_0\,:\, \mathbb{D}X_{1} = \mathbb{D}X_{2},</tex> <br> <tex>H_1\,:\, \mathbb{D}X_{1} \neq \mathbb{D}X_{2}.</tex> <br>
 ::Чжен: <tex>F_1 = U\left[-\sqrt{3}, \sqrt{3}\right]</tex> —&nbsp;непрерывное равномерное распределение; <tex>\sigma_1=1, \;\; \sigma_2=0.2\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p_1=0.7, \;\; p_2 = 1, \;\; n_1=5\,:\,1\,:\,70, \;\; n_2=30.</tex>
-::Плавин: <tex>F_1 = U\left[-\sqrt{3}, \sqrt{3}\right], \;\; F_2 = U\left[-\sigma\sqrt{3}, \sigma\sqrt{3}\right]</tex> —&nbsp;непрерывные равномерные распределения; <tex>\sigma_1=1, \;\; \sigma_2=0.2\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p_1= 1 -  p_2=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n_1=n_2=50.</tex>
+::Плавин: <tex>F_1 = U\left[-\sqrt{3}, \sqrt{3}\right], \;\; F_2 = U\left[-\sigma_2\sqrt{3}, \sigma_2\sqrt{3}\right]</tex> —&nbsp;непрерывные равномерные распределения; <tex>\sigma_1=1, \;\; \sigma_2=0.2\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p_1= 1 -  p_2=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n_1=n_2=50.</tex>
-::Шинкевич: <tex>F_1 = St(3)</tex> —&nbsp;распределение Стьюдента с тремя степенью свободы; <tex>\sigma_1=3, \;\; \sigma_2=1.5\,:\,0.05\,:\,6, \;\; p_1=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; p_2 = 1, \;\; n_1=n_2=30.</tex>
+::Шинкевич: <tex>F_1 = St(3)</tex> —&nbsp;распределение Стьюдента с тремя степенью свободы; <tex>\sigma_1^2=3, \;\; \sigma_2^2=1.5\,:\,0.05\,:\,6, \;\; p_1=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; p_2 = 1, \;\; n_1=n_2=30.</tex>
+::Гринчук: <tex>F_1 = F_2 = U\left[-3, 3\right]</tex> —&nbsp;непрерывное равномерное распределение; <tex>\sigma_1=1, \;\; \sigma_2=0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p_1=p_2 = 0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n_1=n_2=50.</tex>
 * Критерий знаковых рангов Уилкоксона, нарушение предположения о симметричности распределения относительно медианы. <br> <tex>X^n, \;\; X \sim p\cdot N(\mu,1)+ \left(1-p\right)\cdot F; </tex> <br> <tex>H_0\,:\; med X=0</tex> <br> <tex>H_1\,:\; med X\neq0;</tex> <br><tex>\mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.</tex> <br>
 ::Липатова: <tex>F = LN(0,1) - 1 + \mu, </tex> где <tex>LN(0,1)</tex> —&nbsp; стандартное логнормальное распределение; <tex>n=50.</tex>
-::Кучин: <tex>F = \chi^2_4 - \frac{10}{3} + \mu,</tex> где <tex>\chi^2_4</tex> — распределение хи-квадрат с 4 степенями свободы; <tex>n=30.</tex>
+::Кучин: <tex>F = \chi^2_4 - \frac{10}{3} + \mu,</tex> где <tex>\chi^2_4</tex> — распределение хи-квадрат с 4 степенями свободы; <tex>n=30.</tex> <!--- можно mu до 1--->
 = Ссылки =

Статистический анализ данных (курс лекций, К.В.Воронцов)/2015, ФУПМ/1

Материал из MachineLearning.

Текущая версия

Анализ поведения схожих критериев

Анализ устойчивости критериев к нарушению предположений

Ссылки

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты