Статистический анализ данных (курс лекций, К.В.Воронцов)/2015, ФУПМ/1

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Ниже под обозначением X^n, \;\; X \sim p\cdot F_1+ \left(1-p\right)\cdot F_2 понимается выборка объёма n из смеси распределений F_1 и F_2 с весами p и 1-p соответственно (при генерации каждой выборки используется случайный датчик — если его значение не превосходит p, то добавляем в выборку элемент, взятый из F_1, иначе — элемент, взятый из F_2).

Анализ поведения схожих критериев

Требуется исследовать поведение указанной пары статистических критериев, подходящих для решения одной и той же задачи, сравнить мощность и достигаемые уровни значимости и сделать выводы о границах применимости критериев. Необходимо для каждого из критериев построить графики зависимости достигаемых уровней значимости и оценок мощностей от параметров, и показать, в каких областях изменения параметров предпочтительнее использовать тот или иной критерий. Для получения более гладких графиков рекомендуется применять оба критерия к одним и тем же выборкам, а не генерировать их отдельно для каждого.

  •  X_1^{n_1}, \;\; X_1 \sim F_1,
     X_2^{n_2}, \;\; X_2 \sim F_2; <tex> <br> <tex> H_0 \,:\, F_1=F_2,
    H_1\,:\; H_0 неверна.
Лийко: F_1 = U\left[0,1\right], \;\; F_2 = U\left[a,a+1\right] —  непрерывные равномерные распределения; a = 0\,:\,0.02\,:\,3, \;\; n_1=n_2=5\,:\,1\,:\,70. Сравнить критерии Смирнова и Крамера-фон Мизеса (функция cvm.test с параметром type="W2" в пакете dgof).
Ефимова: F_1 = N(0,1), \;\; F_2 = N(\mu,\sigma^2), \;\; \mu = 0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma=0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_1=n_2=30. Сравнить критерии Смирнова и Андерсона (функция cvm.test с параметром type="A2" в пакете dgof).
Игнатов: F_1 = N(0,1), \;\; F_2 = p\cdot N(0,1)+ \left(1-p\right)\cdot U\left[-\frac1{\sqrt{3}}, \frac1{\sqrt{3}}\right]; \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n_1=n_2=5\,:\,1\,:\,70. Сравнить критерии Смирнова и Андерсона (функция cvm.test с параметром type="A2" в пакете dgof).
  • X^n, \;\; X \sim p\cdot N(0,1)+ \left(1-p\right)\cdot F;
     H_0\,:\; X \sim N,
    H_1\,:\; H_0 неверна.
Лукманов: F = C\left(0,1\right)— стандартное распределение Коши; n=20\,:\,1\,:\,100, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1. Сравнить критерии Шапиро-Уилка и хи-квадрат Пирсона.
  • X^n, \;\; X\sim Ber(p);
    H_0\,:\, p=p_0,
    H_1\,:\, p\neq p_0;
    p=0\,:\,0.01\,:\,0.5, \;\; n=5\,:\,1\,:\,70.
Ахтямов: p_0=0.5, сравнить z-критерии в версиях Вальда и множителей Лагранжа.

Анализ устойчивости критериев к нарушению предположений

Требуется исследовать поведение указанного критерия в условиях нарушения лежащих в его основе предположений. Оценить мощность и достигаемый уровень значимости критерия при различных значениях параметров, сделать выводы об устойчивости.

  • Двухвыборочный t-критерий для равных дисперсий, нарушение предположения о равенстве дисперсий.
    X_1^{n_1}, \;\; X_{1} \sim N(0,1),
    X_2^{n_2}, \;\; X_{2} \sim N(\mu,\sigma^2);
    H_0\,:\; \mathbb{E}X_{1} = \mathbb{E}X_{2},
    H_1\,:\; \mathbb{E}X_{1} \neq \mathbb{E}X_{2}.
Виденеева: \mu=1, \;\; \sigma=0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_1=5\,:\,1\,:\,70, \;\; n_2 = 30.
Омельченко: \mu = 0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma=0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_1=20, \;\; n_2 = 30.
  • Одновыборочный t-критерий, нарушение предположения о нормальности.
    X^n, \;\; X \sim p\cdot N(\mu,1)+ \left(1-p\right)\cdot F;
    H_0\,:\; \mathbb{E}X=0
    H_1\,:\; \mathbb{E}X\neq0;
    \mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.
Рубцовенко: F = U\left[-\frac1{\sqrt{3}}+\mu, \frac1{\sqrt{3}}+\mu\right]— непрерывное равномерное распределение; n=30.
Дойков: F = C\left(\mu,1\right)— распределение Коши с коэффициентом сдвига \mu и коэффициентом масштаба 1; \;\; n=30.

Ссылки

Личные инструменты