Участник:Айнагуль Джумабекова/Песочница

Материал из MachineLearning.

< Участник:Айнагуль Джумабекова(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
Текущая версия (15:34, 26 декабря 2008) (править) (отменить)
 
(9 промежуточных версий не показаны.)
Строка 1: Строка 1:
-
<tex> L_{2,i}'(x)=\frac {1}{\bar(h_i)}[(x-x_{i-\frac{1}{2}}) \frac{u_{i+1}-u_i}{h_{i+1}} + (x_{i+\frac{1}{2}}-x) \frac{u_i-u_{i-1}}{h_i}]</tex>
+
== Введение ==
 +
=== Постановка математической задачи ===
 +
Численное дифференцирование применяется, если функцию <tex>y(x)</tex> трудно или невозможно продифференцировать аналитически - например, если она задана таблицей. Оно нужно также при решении дифференциальных уравнений при помощи разностных методов.
-
<tex>\bar{h_i}=0,5(h_i+h_{i+1})</tex>
+
== Изложение метода ==
-
<tex>x_{i-\frac{1}{2}}=x_i-0,5h_i</tex>
+
При численном дифференцировании функцию <tex>y(x)</tex> аппроксимируют легко вычисляемой функцией <tex>\varphi(x)</tex> и приближенно полагают
 +
<tex>y'(x)=\varphi'(x)</tex>. При этом можно использовать различные способы аппроксимации.
-
<tex>L_{2,i}'(x_i)=\frac{1}{2}(\frac{h_i}{\bar{h_i}}\frac{u_{i+1}-u_i}{h_{i+1}}+\frac{h_{i+1}}{\bar{h_i}}\frac{u_i-u_{i-1}}{h_i})</tex>
+
===Интерполирование полиномами Ньютона===
 +
Рассмотрим случай аппроксимации интерполяционным многочленом Ньютона.
-
<tex>L_{2,i}'(x_i)=u_{\dot{x},i}</tex>
+
Пусть задана сетка <tex>x_0<x_1<\dots<x_N. y(x)</tex> - исследуемая функция. Введем обозначение <tex>\xi_i=x-x_i</tex> и введем понятие разделенные разности <tex>y(x_0,x_1,\dots,x_k)</tex>, определяемые следующим образом:
 +
 
 +
::<tex>y(x_i,x_j)=\frac{y(x_i) - y(x_j)}{x_i - x_j}</tex>,
 +
 
 +
::<tex>y(x_i,x_j,x_k) = \frac{y(x_i,x_j)-y(x_j,x_k)}{x_i-x_k}</tex> и т.д.
 +
 
 +
Можно доказать, что
 +
 
 +
::<tex>y(x_0,x_1,\dots,x_k) = \sum_{p=0}^{k}y_p \prod_{i=0, i\neq p}^k {(x_p-x_i)}^{-1}</tex>.
 +
 
 +
Запишем интерполяционный многочлен Ньютона и продифференцируем его почленно:
 +
 
 +
::<tex>\varphi(x)=y(x_0)+\xi_0 y(x_0,x_1)+\xi_0\xi_1 y(x_0,x_1,x_2) + \xi_0\xi_1\xi_2 y(x_0,x_1,x_2,x_3)+\dots</tex>
 +
 
 +
::<tex>\varphi'(x)=y(x_0,x_1)+(\xi_0+\xi_1) y(x_0,x_1,x_2) + (\xi_0\xi_1+\xi_0\xi_2 +\xi_1\xi_2) y(x_0,x_1,x_2,x_3)+\dots</tex>
 +
 
 +
::<tex>\varphi''(x)=2 y(x_0,x_1,x_2) + 2(\xi_0+\xi_1 +\xi_2) y(x_0,x_1,x_2,x_3)+\dots</tex>
 +
 
 +
Общая формула примет следующий вид:
 +
{{ eqno | 1 }}
 +
::<tex> \varphi^{(k)}(x)=k!\left[ y(x_0,x_1,\dots,x_k) + \left( \sum_{i=0}^k \xi_i \right) y(x_0,x_1,\dots,x_{k+1}) + \left( \sum_{i>j\geq 0}^{i=k+1}\xi_i\xi_j\right)y(x_0,x_1,\dots,x_{k+2}) + \left( \sum_{i>j>l\geq 0}^{i=k+2}\xi_i\xi_j\xi_l\right)y(x_0,x_1,\dots,x_{k+3}) +\dots\right] </tex>
 +
 
 +
Обрывая ряд на некотором числе членов, получим приближенное выражение для соответствующей производной. Наиболее простые выражения получим, оставляя в формуле {{eqref|1}} только первый член:
 +
{{ eqno | 2 }}
 +
::<tex>y'(x)\approx y(x_0,x_1) = \frac{y(x_0)-y(x_1)}{x_0-x_1}</tex>,
 +
 
 +
::<tex>\frac{1}{2}y''(x)\approx y(x_0,x_1,x_2) = \frac{1}{x_0-x_2}\left( \frac{y_0-y_1}{x_0-x_1}- \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\right)</tex>,
 +
 
 +
::<tex>\frac{1}{k!} y^{(k)}(x) \approx y(x_0,x_1,\dots,x_k) = \sum_{p=0}^{k}y_p \prod_{i=0, i\neq p}^k {(x_p-x_i)}^{-1}</tex>
 +
 
 +
Исследование точности полученных выражений при численных расчётах удобно делать при помощи апостериорной оценки, по скорости убывания членов ряда {{eqref|1}}. Если шаг сетки достаточно мал, то погрешность близка к первому отброшенному члену. Пусть мы используем узлы <tex>x_i, i=1\dots n</tex>. Тогда первый отброшенный член содержит разделенную разность <tex>y(x_0,x_1,\dots,x_{n+1})</tex>, которая согласно {{eqref|2}} примерно равна <tex>y^{(n+1)}(x)/(n+1)!</tex>. Перед ней стоит сумма произведений различных множителей <tex>\xi_i </tex>; каждое произведение содержит <tex>n+1-k</tex> множителей, а вся сумма состоит из <tex>C_{n+1}^k</tex> слагаемых. Отсюда следует оценка погрешности формулы {{eqref|3}} с <tex> n+1 </tex> узлами:
 +
 
 +
{{eqno|3}}
 +
::<tex>R_n^{(k)}\leq\frac{M_{n+1}}{(n+1-k)!}\max_i {|\xi_i|}^{n+1-k},\; M_{n+1}=\max{|y^{(n+1)}|}</tex>
 +
 
 +
В частности, если сетка равномерная, то <tex>M_{n+1}=\max{|\xi_i|}\leq nh</tex>, откуда
 +
{{eqno|4}}
 +
::<tex>R_n^{(k)}<M_{n+1} {\left( \frac{en}{n+1-k}h \right)}^{n+1-k}=O(h^{n+1-k}) </tex>.
 +
 
 +
Стоит заметить, что строгое априорное исследование погрешности формулы {{eqref|3}}, аналогичное выводу остаточного члена многочлена Ньютона в форме Коши, для произвольного расположения узлов приводит к той же оценке {{eqref|3}}.
 +
 
 +
Таким образом, порядок точности формулы {{eqref|1}} по отношению к шагу сетки равен числу оставленных в ней членов, или, что то же самое, он равен числу узлов интерполяции минус порядок производной. Поэтому минимальное число узлов, необходимое для вычисления <tex>k</tex>-й производной, равно <tex>k+1</tex>; оно приводит к формулам {{eqref|2}} и обеспечивает первый порядок точности. Эти выводы соответствуют общему принципу: при почленном дифференцировании ряда скорость его сходимости уменьшается.
 +
 
 +
===Интерполирование полиномами Лагранжа===
 +
 
 +
Рассмотрим неравномерную сетку <tex>\omega_h=\{a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_N=b\}</tex>
 +
и обозначим за <tex>h_i=x_i-x_{i-1}</tex>, <tex>i=1,2,\dots,N</tex> шаги этой сетки. В качества примера получим формулы численного дифференцирования, основанные на использовании многочлена Лагранжа <tex>L_{2,i}(x)</tex>, построенного для функции <tex>u(x)</tex> по трем точкам <tex>x_{i-1},x_i,x_{i+1}</tex>.
 +
Многочлен <tex>L_{2,i}(x)</tex> имеет вид
 +
 
 +
<tex>L_{2,i}(x)=\frac {(x-x_i)(x-x_{i+1})}{h_i(h_i+h_{i+1})}u_{i-1}-\frac {(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})}{h_ih_{i+1}}u_i+\frac {(x-x_{i-1})(x-x_i)}{h_{i+1}(h_i+h_{i+1})}u_{i+1}</tex>
 +
 
 +
Отсюда получим
 +
<tex>L_{2,i}'(x)=\frac{(2x-x_i-x_{i+1})}{h_i(h_i+h_{i+1})}u_{i-1}-\frac {(2x-x_{i-1}-x_{i+1})}{h_ih_{i+1}}u_i+\frac {(2x-x_{i-1}-x_i)}{h_{i+1}(h_i+h_{i+1})}u_{i+1}</tex>
 +
 
 +
Это выражение можно принять за приближенное значение <tex>u'(x)</tex> в любой точке <tex>x</tex>∈ <tex>[x_{i-1},x_{i+1}]</tex>.
 +
Его удобнее записать в виде
 +
<tex> L_{2,i}'(x)=\frac {1}{\bar{h_i}}[(x-x_{i-\frac{1}{2}}) \frac{u_{i+1}-u_i}{h_{i+1}} + (x_{i+\frac{1}{2}}-x) \frac{u_i-u_{i-1}}{h_i}]</tex> , где
 +
<tex>\bar{h_i}=0,5(h_i+h_{i+1})</tex>, <tex>x_{i-\frac{1}{2}}=x_i-0,5h_i</tex>.
 +
 
 +
В частности, при <tex>x=x_i</tex> получим
 +
<tex>L_{2,i}'(x_i)=\frac{1}{2}(\frac{h_i}{\bar{h_i}}\frac{u_{i+1}-u_i}{h_{i+1}}+\frac{h_{i+1}}{\bar{h_i}}\frac{u_i-u_{i-1}}{h_i})</tex>,
 +
И если сетка равномерна, <tex>h_{i+1}=h_i=h</tex>, то приходим к центральной разностной производной, <tex>L_{2,i}'(x_i)=u_{\dot{x},i}</tex>.
 +
При использовании интерполяционного многочлена первой степени точно таким образом можно получить односторонние разностные производные <tex>u_{\bar{x},i}</tex> и <tex>u_{x,i}</tex>.
 +
Далее вычисляя вторую производную многочлена <tex>L_{2,i}(x)</tex>, получим приближенное выражение для <tex>u''(x)</tex> при <tex>x</tex>∈<tex>[x_{i-1},x_{i+1}]</tex>:
<tex>u''(x)</tex>≈<tex>L_{2,i}''(x)=\frac{1}{\bar{h_i}}(\frac{u_{i+1}-u_i}{h_{i+1}}- \frac{u_i-u_{i-1}}{h_i})</tex>
<tex>u''(x)</tex>≈<tex>L_{2,i}''(x)=\frac{1}{\bar{h_i}}(\frac{u_{i+1}-u_i}{h_{i+1}}- \frac{u_i-u_{i-1}}{h_i})</tex>
 +
 +
На равномерной сетке это выражение совпадает со второй разностной производной <tex>u_{\bar{x}x,i}</tex>. Ясно, что для приближенного вычисления дальнейших производных уже недостаточно многочлена <tex>L_{2,i}(x)</tex>, надо привлекать многочлены более высокого порядка и тем самым увеличивать число узлов, участвующих в аппроксимации.
 +
 +
Порядок погрешности аппроксимации зависит как от порядка интерполяционного многочлена, так и от расположения узлов интерполирования. Получим выражение для погрешности аппроксимации, возникающей при замене <tex>u'(x)</tex> выражением <tex>L_{2,i}'(x)</tex>. Будем считать, что <tex>x</tex>∈ <tex>[x_{i-1},x_{i+1}]</tex> и что величины <tex>h_i, h_{i+1}</tex> имеют один и тот же порядок малости при измельчении сетки. По формуле Тейлора в предположении ограниченности <tex>u^{(4)}(x)</tex> получим
 +
<tex>u_{i+k}=u(x)+(x_{i+k}-x)u'(x)+\frac{{(x_{i+k}-x)}^2}{2}u''(x) +\frac{{(x_{i+k}-x)}^3}{3}u'''(x) +O(h^4)</tex>,
 +
 +
где <tex>k=0</tex>,±<tex>1,h=max\{h_i,h_{i+1}\}</tex>
 +
 +
Отсюда приходим к следующим разложениям разностных отношений
 +
 +
<tex>\frac{u_i-u_{i-1}}{h_i}=u'(x)-(x-x_{i-\frac{1}{2}})u''(x)+(\frac{{(x-x_{i-\frac{1}{2}})}^2}{2}+\frac{h_i^2}{24})u'''(x)+O(h^3)</tex>
 +
 +
<tex>\frac{u_{i+1}-u_i}{h_{i+1}}=u'(x)-(x_{i+\frac{1}{2}}-x)u''(x)+(\frac{{(x_{i+\frac{1}{2}}-x)}^2}{2}+\frac{h_{i+1}^2}{24})u'''(x)+O(h^3)</tex>
 +
 +
Подставляя полученные формулы в выражение для разностной производной и приводя подобные слагаемые получим
 +
 +
<tex>L_{2,i}'(x)=u'(x)-[\frac{{(x-x_i)}^2}{2}-\frac{(h_{i+1}-h_i)(x-x_i)}{3}-\frac{h_ih_{i+1}}{6}]u'''(x)+O(h^3)</tex>, <tex>x</tex>∈ <tex>[x_{i-1},x_{i+1}]</tex>.
 +
 +
Отсюда видно,что разностное выражение аппроксимирует <tex>u'(x)</tex> со вторым порядком.
 +
 +
Если подставить полученные ранее разностные отношения в выражение для второй производной многочлена <tex>L_{2,i}(x)</tex>, то имеем
 +
 +
<tex>L_{2,i}''(x)=u''(x)+(x_i-x + \frac{h_{i+1}-h_i}{3})u'''(x)+O(h^2)</tex>
 +
 +
Из этого выражения видно, что даже на равномерной сетке,т.е. когда <tex>h_i=h_{i+1}</tex>, второй порядок аппроксимации имеет место лишь в точке <tex>x=x_i</tex>, а относительно других точек (например,<tex>x=x_{i+1}</tex>) выполняется аппроксимация только первого порядка.
 +
Таким образом, получим аппроксимацию лишь первого порядка.
 +
 +
===Интеполирование кубическими сплайнами===
 +
Для того, чтобы избежать больших погрешностей в процессе приближения, весь отрезок [a,b] разбивают на частичные отрезки и на каждом из частичных отрезков приближенно заменяют функцию <tex>f(x)</tex> многочленом невысокой степени (так называемая кусочно-полиномиальная интерполяция).
 +
Одним из способов интерполирования на всем отрезке является интерполирование с помощью сплайн-функций.
 +
 +
Сплайн-функцией или сплайном называют кусочно-полиномиальную функцию, определенную на отрезке [a,b] и имеющую на этом отрезке некоторое число непрерывных производных.
 +
Преимущество сплайнов перед обычной интерполяцией является, во-первых их сходимость, во-вторых, устойчивость процесса вычислений.
 +
 +
Построение кубического сплайна.
 +
 +
Пусть на [a,b] задана непрерывная функция <tex>f(x)</tex>. Введем сетку
 +
<tex>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_N=b</tex>
 +
и обозначим <tex>f_i=f(x_i)</tex>, <tex>i=0,1,\dots,N</tex>.
 +
Сплайном соответствующим данной функции <tex>f(x)</tex> и данным узлам <tex>\{x_i\}_{i=0}^N</tex> называется функция <tex>s(x)</tex>, удовлетворяющая следующим условиям:
 +
 +
а) на каждом сегменте <tex>[x_i-1,x_i]</tex>, <tex>i=1,2,\dots,N</tex> функция <tex>s(x)</tex> является многочленом третьей степени;
 +
 +
б) функция <tex>s(x)</tex>, а также её первая и вторая производная производные непрерывны на [a,b];
 +
 +
в) <tex>s(x_i)=f(x_i)</tex>,<tex>i=1,2,\dots,N</tex>;
 +
 +
На каждом из отрезков <tex>[x_i-1,x_i]</tex>, <tex>i=1,2,\dots,N</tex> будем искать функцию <tex>s(x)=s_i(x)</tex> в виде многочлена третьей степени
 +
 +
<tex>s_i(x)=a_i+b_i(x-x_i)+\frac{c_i}{2}(x-x_i)^2 +\frac{d_i}{6}(x-x_i)^3</tex>,
 +
 +
где <tex>x_i-1<=x<=x_i</tex>, <tex>i=1,2,\dots,N</tex>, где <tex>a_i,b_i,c_i,d_i</tex> - коэффициенты, подлежащие определению.
 +
Доказано, что существует единственный кубический сплайн, определяемый условиями а)-в) и граничными условиями <tex>s''(a)=s''(b)=0</tex>.
 +
 +
Для их нахождения используются следующие формулы
 +
 +
1) <tex>a_i=f(x_i)</tex>,<tex>i=1,2,\dots,N</tex>
 +
 +
2) Для определения коэффициентов <tex>c_i</tex> получаем систему уравнений
 +
 +
<tex>h_ic_{i-1}+2(h_i+h_{i+1})c_i+h_{i+1}c_{i+1}=6\left(\frac{f_{i+1}-f_i}{h_{i+1}}-\frac{f_i-f_{i-1}}{h_i}\right), <tex>i=1,2,\dots,N-1</tex> ,<tex>c_0=c_N=0</tex>
 +
 +
(система решается методом прогонки)
 +
По найденным коэффициентам <tex>c_i</tex> коэффициенты <tex>b_i</tex>, <tex>d_i</tex> определяются с помощью явных формул
 +
 +
3) <tex>d_i=\frac{c_i-c_{i-1}}{h_i},<tex>i=1,2,\dots,N</tex>
 +
 +
4) <tex>b_i=\frac{h_i}{2}c_i-\frac{h_i^2}{6}d_i+\frac{f_i-f_{i-1}}{h_i},
 +
<tex>i=1,2,\dots,N</tex>
 +
 +
Найдем производные введенного кубического сплайна, имеем
 +
<tex>s_i'(x)=b_i+c_i(x-x_i)+\frac{d_i}{2}{(x-x_i)}^2</tex>
 +
 +
<tex>s_i''(x)=c_i+d_i(x-x_i)</tex>
 +
 +
<tex>s_i'''(x)=d_i</tex>
 +
 +
Рассмотрим оценку погрешности метода, которая зависит от выбора сеток и от гладкости <tex>f(x)</tex>. Для простоты изложения допустим, что сетка равномерная, т.е.
 +
 +
<tex>\omega_h=\{x_i=a+ih, i=0,1,\dots,N\}</tex> с шагом <tex>b=\frac{b-a}{N}</tex>
 +
 +
От функции <tex>f(x)</tex> будем требовать существования непрерывной на [a,b] четвертой производной, <tex>f(x)</tex>∈ <tex>C^{(4)}[a,b]</tex>. Кроме того, предположим, что выполнены граничные условия <tex>f''(a)=f''(b)=0</tex> и такие же условия для сплайнов. Обозначим,
 +
 +
<tex>||g(x)||_{C[a,b]}=\max_{[a,b]}|g(x)|</tex>, <tex>M_4=||f^4(x)||_{C[a,b]}</tex>
 +
 +
Пусть <tex>s_h(x)</tex> - кубический сплайн, построенный для функции <tex>f(x)</tex> на сетке <tex>\omega_h</tex>. В следующей теореме приведены оценки погрешности интерполяции для функции <tex>f(x)</tex> и её производных <tex>f'(x)</tex>, <tex>f''(x)</tex>
 +
 +
'''Теорема'''
 +
 +
Для <tex>f(x)</tex>∈ <tex>C^{(4)}[a,b]</tex> справедливы оценки
 +
 +
<tex>||f(x)-s_h(x)||_{C[a,b]}<=M_4h^4</tex>
 +
 +
<tex>||f'(x)-s_h'(x)||_{C[a,b]}<=M_4h^3</tex>
 +
 +
<tex>||f''(x)-s_h''(x)||_{C[a,b]}<=M_4h^2</tex>
 +
 +
Из этих оценок следует, что при <tex>h \to 0</tex> (т.е. при <tex>N \to \infty</tex>) последовательности <tex>s_h^{(i)}(x)</tex>, <tex>i=0,1,2</tex> сходятся соответственно к функциям <tex>f^{(i)}(x)</tex> <tex>i=0,1,2</tex>.
 +
 +
Обычно дифференцирование кубического сплайна позволят определить первую и вторую производную интерполяционного многочлена с хорошей точностью. Если надо вычислить более высокие производные, то целесообразно строить сплайны высоких порядков. Из-за большей трудоемкости этот способ редко используется. Способ дифференцирования с помощью сплайновой интерполяцией теоретически мало исследован.
 +
 +
===Тригонометрическая интерполяция===
 +
Не всякую функцию целесообразно приближать алгебраическими многочленами.
 +
Рассмотрим тригонометрическую интерполяцию.
 +
Если <tex>f(x)</tex> - периодическая функция с периодом l, то естественно строить приближения с помощью функций
 +
 +
<tex>\varphi_k(x)=a_k\cos(\frac{\pi kx}{l})+b_k\sin(\frac{\pi kx}{l}), k=0,1,\dots,n</tex>
 +
 +
Таким образом, тригонометрическая интерполяция состоит в замене <tex>f(x)</tex> тригонометрическим многочленом
 +
 +
::<tex>T_n(x)=\sum_{k=0}^n \varphi_k(x)= a_0 + \sum_{k=1}^n\left(a_k\cos(\frac{\pi kx}{l})+b_k\sin(\frac{\p ikx}{l})\right)</tex>,
 +
 +
коэффициенты которого отыскиваются из системы уравнений
 +
 +
<tex>T_n(x_j)=f(x_j), j=1,2,\dots,2n+1</tex>,
 +
 +
где <tex>x_0<x_1<\dots<x_{2n+1},x_{2n+1}-x_0=l</tex>.
 +
 +
==Рекомендации программисту==
 +
При реализации достаточно сложно и трудоемко использовать методы сплайнов и метод тригонометрической интерполяции. Поэтому был рассмотрен случай интерполирования полиномом Лагранжа по трем точкам.
 +
При вычислении полиномов ошибка была ничтожна.
 +
При попытке в качестве функции взять синус,ошибка достигала очень большх цифр и был порядка 1.0, что достаточно велико для этой функции.
 +
Поэтому следует внимательно выбирать шаг, расстояние между точками.
 +
Программа требует ввода координат трех точек для полинома <tex>x^5</tex> в порядке возрастания,а также точки промежуточной, в которой будет находиться значение производной.
 +
На экран выводится значение, полученное при помощи полинома Лагранжа,истинное значение, полученное аналитически и ошибка вычисления.
 +
 +
== Список литературы ==
 +
* ''А.А.Самарский, А.В.Гулин.''&nbsp; Численные методы. Москва «Наука», 1989.
 +
* ''Н.Н.Калиткин.''&nbsp; Численные методы. Москва «Наука», 1978.
 +
 +
== См. также ==
 +
*[[Практикум ММП ВМК, 4й курс, осень 2008]]
 +
*[[Тригонометрическая интерполяция]]
 +
*[[Интерполяция полиномами Лагранжа и Ньютона]]

Текущая версия

Содержание

Введение

Постановка математической задачи

Численное дифференцирование применяется, если функцию y(x) трудно или невозможно продифференцировать аналитически - например, если она задана таблицей. Оно нужно также при решении дифференциальных уравнений при помощи разностных методов.

Изложение метода

При численном дифференцировании функцию y(x) аппроксимируют легко вычисляемой функцией \varphi(x) и приближенно полагают y'(x)=\varphi'(x). При этом можно использовать различные способы аппроксимации.

Интерполирование полиномами Ньютона

Рассмотрим случай аппроксимации интерполяционным многочленом Ньютона.

Пусть задана сетка x_0<x_1<\dots<x_N. y(x) - исследуемая функция. Введем обозначение \xi_i=x-x_i и введем понятие разделенные разности y(x_0,x_1,\dots,x_k), определяемые следующим образом:

y(x_i,x_j)=\frac{y(x_i) - y(x_j)}{x_i - x_j},
y(x_i,x_j,x_k) = \frac{y(x_i,x_j)-y(x_j,x_k)}{x_i-x_k} и т.д.

Можно доказать, что

y(x_0,x_1,\dots,x_k) = \sum_{p=0}^{k}y_p \prod_{i=0, i\neq p}^k {(x_p-x_i)}^{-1}.

Запишем интерполяционный многочлен Ньютона и продифференцируем его почленно:

\varphi(x)=y(x_0)+\xi_0 y(x_0,x_1)+\xi_0\xi_1 y(x_0,x_1,x_2) + \xi_0\xi_1\xi_2  y(x_0,x_1,x_2,x_3)+\dots
\varphi'(x)=y(x_0,x_1)+(\xi_0+\xi_1) y(x_0,x_1,x_2) + (\xi_0\xi_1+\xi_0\xi_2 +\xi_1\xi_2) y(x_0,x_1,x_2,x_3)+\dots
\varphi''(x)=2 y(x_0,x_1,x_2) + 2(\xi_0+\xi_1 +\xi_2) y(x_0,x_1,x_2,x_3)+\dots

Общая формула примет следующий вид:

( 1 )
 \varphi^{(k)}(x)=k!\left[ y(x_0,x_1,\dots,x_k) + \left( \sum_{i=0}^k \xi_i \right) y(x_0,x_1,\dots,x_{k+1}) + \left( \sum_{i>j\geq 0}^{i=k+1}\xi_i\xi_j\right)y(x_0,x_1,\dots,x_{k+2})   + \left( \sum_{i>j>l\geq 0}^{i=k+2}\xi_i\xi_j\xi_l\right)y(x_0,x_1,\dots,x_{k+3}) +\dots\right]

Обрывая ряд на некотором числе членов, получим приближенное выражение для соответствующей производной. Наиболее простые выражения получим, оставляя в формуле (1) только первый член:

( 2 )
y'(x)\approx y(x_0,x_1) = \frac{y(x_0)-y(x_1)}{x_0-x_1},
\frac{1}{2}y''(x)\approx y(x_0,x_1,x_2) = \frac{1}{x_0-x_2}\left( \frac{y_0-y_1}{x_0-x_1}- \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\right),
\frac{1}{k!} y^{(k)}(x) \approx y(x_0,x_1,\dots,x_k) = \sum_{p=0}^{k}y_p \prod_{i=0, i\neq p}^k {(x_p-x_i)}^{-1}

Исследование точности полученных выражений при численных расчётах удобно делать при помощи апостериорной оценки, по скорости убывания членов ряда (1). Если шаг сетки достаточно мал, то погрешность близка к первому отброшенному члену. Пусть мы используем узлы x_i, i=1\dots n. Тогда первый отброшенный член содержит разделенную разность y(x_0,x_1,\dots,x_{n+1}), которая согласно (2) примерно равна y^{(n+1)}(x)/(n+1)!. Перед ней стоит сумма произведений различных множителей \xi_i ; каждое произведение содержит n+1-k множителей, а вся сумма состоит из C_{n+1}^k слагаемых. Отсюда следует оценка погрешности формулы (3) с  n+1 узлами:

(3)
R_n^{(k)}\leq\frac{M_{n+1}}{(n+1-k)!}\max_i {|\xi_i|}^{n+1-k},\; M_{n+1}=\max{|y^{(n+1)}|}

В частности, если сетка равномерная, то M_{n+1}=\max{|\xi_i|}\leq nh, откуда

(4)
R_n^{(k)}<M_{n+1} {\left( \frac{en}{n+1-k}h \right)}^{n+1-k}=O(h^{n+1-k}) .

Стоит заметить, что строгое априорное исследование погрешности формулы (3), аналогичное выводу остаточного члена многочлена Ньютона в форме Коши, для произвольного расположения узлов приводит к той же оценке (3).

Таким образом, порядок точности формулы (1) по отношению к шагу сетки равен числу оставленных в ней членов, или, что то же самое, он равен числу узлов интерполяции минус порядок производной. Поэтому минимальное число узлов, необходимое для вычисления k-й производной, равно k+1; оно приводит к формулам (2) и обеспечивает первый порядок точности. Эти выводы соответствуют общему принципу: при почленном дифференцировании ряда скорость его сходимости уменьшается.

Интерполирование полиномами Лагранжа

Рассмотрим неравномерную сетку \omega_h=\{a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_N=b\} и обозначим за h_i=x_i-x_{i-1}, i=1,2,\dots,N шаги этой сетки. В качества примера получим формулы численного дифференцирования, основанные на использовании многочлена Лагранжа L_{2,i}(x), построенного для функции u(x) по трем точкам x_{i-1},x_i,x_{i+1}. Многочлен L_{2,i}(x) имеет вид

L_{2,i}(x)=\frac {(x-x_i)(x-x_{i+1})}{h_i(h_i+h_{i+1})}u_{i-1}-\frac {(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})}{h_ih_{i+1}}u_i+\frac {(x-x_{i-1})(x-x_i)}{h_{i+1}(h_i+h_{i+1})}u_{i+1}

Отсюда получим L_{2,i}'(x)=\frac{(2x-x_i-x_{i+1})}{h_i(h_i+h_{i+1})}u_{i-1}-\frac {(2x-x_{i-1}-x_{i+1})}{h_ih_{i+1}}u_i+\frac {(2x-x_{i-1}-x_i)}{h_{i+1}(h_i+h_{i+1})}u_{i+1}

Это выражение можно принять за приближенное значение u'(x) в любой точке x[x_{i-1},x_{i+1}]. Его удобнее записать в виде  L_{2,i}'(x)=\frac {1}{\bar{h_i}}[(x-x_{i-\frac{1}{2}}) \frac{u_{i+1}-u_i}{h_{i+1}} + (x_{i+\frac{1}{2}}-x) \frac{u_i-u_{i-1}}{h_i}] , где \bar{h_i}=0,5(h_i+h_{i+1}), x_{i-\frac{1}{2}}=x_i-0,5h_i.

В частности, при x=x_i получим L_{2,i}'(x_i)=\frac{1}{2}(\frac{h_i}{\bar{h_i}}\frac{u_{i+1}-u_i}{h_{i+1}}+\frac{h_{i+1}}{\bar{h_i}}\frac{u_i-u_{i-1}}{h_i}), И если сетка равномерна, h_{i+1}=h_i=h, то приходим к центральной разностной производной, L_{2,i}'(x_i)=u_{\dot{x},i}. При использовании интерполяционного многочлена первой степени точно таким образом можно получить односторонние разностные производные u_{\bar{x},i} и u_{x,i}. Далее вычисляя вторую производную многочлена L_{2,i}(x), получим приближенное выражение для u''(x) при x[x_{i-1},x_{i+1}]:

u''(x)L_{2,i}''(x)=\frac{1}{\bar{h_i}}(\frac{u_{i+1}-u_i}{h_{i+1}}- \frac{u_i-u_{i-1}}{h_i})

На равномерной сетке это выражение совпадает со второй разностной производной u_{\bar{x}x,i}. Ясно, что для приближенного вычисления дальнейших производных уже недостаточно многочлена L_{2,i}(x), надо привлекать многочлены более высокого порядка и тем самым увеличивать число узлов, участвующих в аппроксимации.

Порядок погрешности аппроксимации зависит как от порядка интерполяционного многочлена, так и от расположения узлов интерполирования. Получим выражение для погрешности аппроксимации, возникающей при замене u'(x) выражением L_{2,i}'(x). Будем считать, что x[x_{i-1},x_{i+1}] и что величины h_i, h_{i+1} имеют один и тот же порядок малости при измельчении сетки. По формуле Тейлора в предположении ограниченности u^{(4)}(x) получим u_{i+k}=u(x)+(x_{i+k}-x)u'(x)+\frac{{(x_{i+k}-x)}^2}{2}u''(x) +\frac{{(x_{i+k}-x)}^3}{3}u'''(x) +O(h^4),

где k=01,h=max\{h_i,h_{i+1}\}

Отсюда приходим к следующим разложениям разностных отношений

\frac{u_i-u_{i-1}}{h_i}=u'(x)-(x-x_{i-\frac{1}{2}})u''(x)+(\frac{{(x-x_{i-\frac{1}{2}})}^2}{2}+\frac{h_i^2}{24})u'''(x)+O(h^3)

\frac{u_{i+1}-u_i}{h_{i+1}}=u'(x)-(x_{i+\frac{1}{2}}-x)u''(x)+(\frac{{(x_{i+\frac{1}{2}}-x)}^2}{2}+\frac{h_{i+1}^2}{24})u'''(x)+O(h^3)

Подставляя полученные формулы в выражение для разностной производной и приводя подобные слагаемые получим

L_{2,i}'(x)=u'(x)-[\frac{{(x-x_i)}^2}{2}-\frac{(h_{i+1}-h_i)(x-x_i)}{3}-\frac{h_ih_{i+1}}{6}]u'''(x)+O(h^3), x[x_{i-1},x_{i+1}].

Отсюда видно,что разностное выражение аппроксимирует u'(x) со вторым порядком.

Если подставить полученные ранее разностные отношения в выражение для второй производной многочлена L_{2,i}(x), то имеем

L_{2,i}''(x)=u''(x)+(x_i-x + \frac{h_{i+1}-h_i}{3})u'''(x)+O(h^2)

Из этого выражения видно, что даже на равномерной сетке,т.е. когда h_i=h_{i+1}, второй порядок аппроксимации имеет место лишь в точке x=x_i, а относительно других точек (например,x=x_{i+1}) выполняется аппроксимация только первого порядка. Таким образом, получим аппроксимацию лишь первого порядка.

Интеполирование кубическими сплайнами

Для того, чтобы избежать больших погрешностей в процессе приближения, весь отрезок [a,b] разбивают на частичные отрезки и на каждом из частичных отрезков приближенно заменяют функцию f(x) многочленом невысокой степени (так называемая кусочно-полиномиальная интерполяция). Одним из способов интерполирования на всем отрезке является интерполирование с помощью сплайн-функций.

Сплайн-функцией или сплайном называют кусочно-полиномиальную функцию, определенную на отрезке [a,b] и имеющую на этом отрезке некоторое число непрерывных производных. Преимущество сплайнов перед обычной интерполяцией является, во-первых их сходимость, во-вторых, устойчивость процесса вычислений.

Построение кубического сплайна.

Пусть на [a,b] задана непрерывная функция f(x). Введем сетку a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_N=b и обозначим f_i=f(x_i), i=0,1,\dots,N. Сплайном соответствующим данной функции f(x) и данным узлам \{x_i\}_{i=0}^N называется функция s(x), удовлетворяющая следующим условиям:

а) на каждом сегменте [x_i-1,x_i], i=1,2,\dots,N функция s(x) является многочленом третьей степени;

б) функция s(x), а также её первая и вторая производная производные непрерывны на [a,b];

в) s(x_i)=f(x_i),i=1,2,\dots,N;

На каждом из отрезков [x_i-1,x_i], i=1,2,\dots,N будем искать функцию s(x)=s_i(x) в виде многочлена третьей степени

s_i(x)=a_i+b_i(x-x_i)+\frac{c_i}{2}(x-x_i)^2 +\frac{d_i}{6}(x-x_i)^3,

где x_i-1<=x<=x_i, i=1,2,\dots,N, где a_i,b_i,c_i,d_i - коэффициенты, подлежащие определению. Доказано, что существует единственный кубический сплайн, определяемый условиями а)-в) и граничными условиями s''(a)=s''(b)=0.

Для их нахождения используются следующие формулы

1) a_i=f(x_i),i=1,2,\dots,N

2) Для определения коэффициентов c_i получаем систему уравнений

h_ic_{i-1}+2(h_i+h_{i+1})c_i+h_{i+1}c_{i+1}=6\left(\frac{f_{i+1}-f_i}{h_{i+1}}-\frac{f_i-f_{i-1}}{h_i}\right), <tex>i=1,2,\dots,N-1 ,c_0=c_N=0

(система решается методом прогонки) По найденным коэффициентам c_i коэффициенты b_i, d_i определяются с помощью явных формул

3) d_i=\frac{c_i-c_{i-1}}{h_i},<tex>i=1,2,\dots,N

4) b_i=\frac{h_i}{2}c_i-\frac{h_i^2}{6}d_i+\frac{f_i-f_{i-1}}{h_i},
<tex>i=1,2,\dots,N

Найдем производные введенного кубического сплайна, имеем s_i'(x)=b_i+c_i(x-x_i)+\frac{d_i}{2}{(x-x_i)}^2

s_i''(x)=c_i+d_i(x-x_i)

s_i'''(x)=d_i

Рассмотрим оценку погрешности метода, которая зависит от выбора сеток и от гладкости f(x). Для простоты изложения допустим, что сетка равномерная, т.е.

\omega_h=\{x_i=a+ih, i=0,1,\dots,N\} с шагом b=\frac{b-a}{N}

От функции f(x) будем требовать существования непрерывной на [a,b] четвертой производной, f(x)C^{(4)}[a,b]. Кроме того, предположим, что выполнены граничные условия f''(a)=f''(b)=0 и такие же условия для сплайнов. Обозначим,

||g(x)||_{C[a,b]}=\max_{[a,b]}|g(x)|, M_4=||f^4(x)||_{C[a,b]}

Пусть s_h(x) - кубический сплайн, построенный для функции f(x) на сетке \omega_h. В следующей теореме приведены оценки погрешности интерполяции для функции f(x) и её производных f'(x), f''(x)

Теорема

Для f(x)C^{(4)}[a,b] справедливы оценки

||f(x)-s_h(x)||_{C[a,b]}<=M_4h^4

||f'(x)-s_h'(x)||_{C[a,b]}<=M_4h^3

||f''(x)-s_h''(x)||_{C[a,b]}<=M_4h^2

Из этих оценок следует, что при h \to 0 (т.е. при N \to \infty) последовательности s_h^{(i)}(x), i=0,1,2 сходятся соответственно к функциям f^{(i)}(x) i=0,1,2.

Обычно дифференцирование кубического сплайна позволят определить первую и вторую производную интерполяционного многочлена с хорошей точностью. Если надо вычислить более высокие производные, то целесообразно строить сплайны высоких порядков. Из-за большей трудоемкости этот способ редко используется. Способ дифференцирования с помощью сплайновой интерполяцией теоретически мало исследован.

Тригонометрическая интерполяция

Не всякую функцию целесообразно приближать алгебраическими многочленами. Рассмотрим тригонометрическую интерполяцию. Если f(x) - периодическая функция с периодом l, то естественно строить приближения с помощью функций

\varphi_k(x)=a_k\cos(\frac{\pi kx}{l})+b_k\sin(\frac{\pi kx}{l}), k=0,1,\dots,n

Таким образом, тригонометрическая интерполяция состоит в замене f(x) тригонометрическим многочленом

T_n(x)=\sum_{k=0}^n \varphi_k(x)= a_0 + \sum_{k=1}^n\left(a_k\cos(\frac{\pi kx}{l})+b_k\sin(\frac{\p ikx}{l})\right),

коэффициенты которого отыскиваются из системы уравнений

T_n(x_j)=f(x_j), j=1,2,\dots,2n+1,

где x_0<x_1<\dots<x_{2n+1},x_{2n+1}-x_0=l.

Рекомендации программисту

При реализации достаточно сложно и трудоемко использовать методы сплайнов и метод тригонометрической интерполяции. Поэтому был рассмотрен случай интерполирования полиномом Лагранжа по трем точкам. При вычислении полиномов ошибка была ничтожна. При попытке в качестве функции взять синус,ошибка достигала очень большх цифр и был порядка 1.0, что достаточно велико для этой функции. Поэтому следует внимательно выбирать шаг, расстояние между точками. Программа требует ввода координат трех точек для полинома x^5 в порядке возрастания,а также точки промежуточной, в которой будет находиться значение производной. На экран выводится значение, полученное при помощи полинома Лагранжа,истинное значение, полученное аналитически и ошибка вычисления.

Список литературы

  • А.А.Самарский, А.В.Гулин.  Численные методы. Москва «Наука», 1989.
  • Н.Н.Калиткин.  Численные методы. Москва «Наука», 1978.

См. также

Личные инструменты