Участник:Василий Ломакин/Решение переопределенной СЛАУ
Материал из MachineLearning.
| Строка 1: | Строка 1: | ||
== Постановка задачи == | == Постановка задачи == | ||
Рассмотрим прямоугольную матрицу размером <tex></tex>: | Рассмотрим прямоугольную матрицу размером <tex></tex>: | ||
| - | <p align="center"><tex> | + | <p align="center"><tex>A= \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\\ \end{array}\right).</tex></p> |
Пусть в матрице число строк превышает число столбцов (<tex>m > n</tex>), причём все строки линейно независимы. | Пусть в матрице число строк превышает число столбцов (<tex>m > n</tex>), причём все строки линейно независимы. | ||
Систему уравнений вида | Систему уравнений вида | ||
{{ eqno | 1 }} | {{ eqno | 1 }} | ||
| - | <p align="center"><tex> | + | <p align="center"><tex>Au=f</tex>,</p> |
где А - описанная выше, <tex>{u}={\{u_1, \ldots , u_n \}}^T</tex> — вектор-столбец решения, <tex>{f}={\{f_1, \ldots , f_n \}}^T</tex> — вектор-столбец правой части, назовём переопределённой. Как можно видеть, в такой системе число уравнений превышает число неизвестных, и для неё не существует "классического" решения, например методом Гаусса. | где А - описанная выше, <tex>{u}={\{u_1, \ldots , u_n \}}^T</tex> — вектор-столбец решения, <tex>{f}={\{f_1, \ldots , f_n \}}^T</tex> — вектор-столбец правой части, назовём переопределённой. Как можно видеть, в такой системе число уравнений превышает число неизвестных, и для неё не существует "классического" решения, например методом Гаусса. | ||
| + | |||
== Изложение метода == | == Изложение метода == | ||
| + | Приведем простой пример получения переопределённой системы линейных уравнений. Такого рода задачи часто встречаются, например, при обработке результатов экспериментов. Пусть <tex>f</tex> — линейная (или близкая к линейной) функция аргумента <tex>x:\ f(x) = u_1x + u_0</tex>. В точках <tex>x_k</tex> известны значения функции <tex>f(x_k)</tex>. Тогда <tex>u_0,\ u_1</tex> — коэффициенты, которые необходимо подобрать так, чтобы выполнялись условия <tex>u_1x_k + u_0 = f_k,\ k = 0,1,2,3,4,\ f_k = f(x_k)</tex>. Получим систему пяти уравнений относительно двух неизвестных. Это — переопределённая система. Она не имеет классического решения, так как в общем случае не существует прямой, проходящей через все 5 точек (это возможно только тогда, когда какие - либо три уравнения полученной системы линейными преобразованиями сводятся к двум другим — система линейно зависима). Необходимо провести аппроксимирующую кривую, которая не проходит через экспериментальные точки, но в то же время отражает экспериментальную зависимость, сглаживает возможные выбросы за счёт погрешности эксперимента. | ||
| + | |||
| + | Рассмотрим более общий случай. Пусть коэффициенты <tex>{u_0,\ u_1}</tex> необходимо определить по результатам <tex>n + 1</tex> измерения. Для каждого уравнения рассмотрим невязку <tex>r_k = u_1x_k + u_0 - f_k</tex> - разность левой и правой части. Невязка может принимать положительные и отрицательные значения. Чтобы не учитывать знаки, применим возведение в квадрат. Введем функцию, равную сумме квадратов невязок | ||
| + | {{ eqno | 2 }} | ||
| + | <p align="center"><tex>\Phi (u_1,u_0) = \sum\limits_{k = 0}^n {r_k^2} = \sum\limits_{k = 0}^n {(u_1 x_k + u_0 - f_k)^2}</tex></p> | ||
| + | Примем за обобщённое решение переопределённой СЛАУ такие <tex>{u_0, u_1}</tex>, для которых <tex>\Phi(u_0, u_1)</tex> принимает наименьшие значение. Для определения обобщенного решения из условия минимума суммы квадратов невязки получаем систему двух уравнений, уже имеющую классическое решение: | ||
| + | <p align="center"><tex>\frac{\partial \Phi }{\partial u_0} = 0,\ \frac{\partial \Phi }{\partial u_1} = 0.</tex></p> | ||
| + | |||
| + | Рассмотрим теперь общий случай. Определим невязку <tex>r_k</tex> в виде | ||
| + | <p align="center"><tex>r_k = \sum\limits_{j = 0}^p {u_j\varphi_j (x_k)} - f(x_k),\ k = 1, \ldots, n,</tex></p> | ||
| + | где <tex>\varphi_j (x)</tex> — некоторые функции, образующие базис, например, тригонометрические: <tex>\varphi_j (x) = \sin (jx)</tex> . Выражение <tex>\sum\limits_{j = 0}^p {u_j \varphi_j (x)}</tex> называется обобщенным полиномом. В приведенном выше примере в качестве базисных функций были выбраны степенные функции <tex>\varphi_j (x) = x^j</tex> . Обобщенный полином превратился в алгебраический. | ||
| + | |||
| + | В случае выбора произвольной системы базисных функций переопределенная СЛАУ и функционал <tex>\Phi(u_0, \dots, u_p)</tex> будут иметь вид | ||
| + | <p align="center"><tex>\begin{gather*} u_0 \varphi_0 (x_0) + \ldots + u_p \varphi_p(x_0) = f_0, \\ \ldots \\ u_0 \varphi_0 (x_n) + \ldots + u_p\varphi_p (x_n) = f_n,\\ \Phi (u_0,\ldots,u_n) = \sum\limits_{i = 0}^n (\sum\limits_{j = 0}^p u_j \varphi_j(x_i) - f_i)^2 \end{gather*}</tex></p> | ||
| + | |||
| + | Отыщем обобщенное решение методом наименьших квадратов: приравняем все частные производные по компонентам обобщенного решения к нулю <tex>$ \frac{\partial \Phi }{\partial u_k} = 0 $</tex> (условия минимума) и изменяя порядок суммирования, получаем СЛАУ: | ||
| + | <p align="center"><tex>\sum\limits_{j = 0}^p {\left({\sum\limits_{i = 0}^n{\varphi_j (x_i)\varphi_k (x_i)}}\right)u_j = \sum\limits_{i = 0}^n {f_i\varphi_k (x_i)}},\ k = 0, \ldots, p,</tex></p> | ||
| + | или, в виде системы уравнений: | ||
| + | <p align="center"><tex>\begin{gather*} (\varphi_0, \varphi_0) u_0 + (\varphi_0, \varphi_1)u_1 + \ldots + (\varphi_0, \varphi_p)u_p = (\varphi_0, f), \\ (\varphi_1, \varphi_0) u_0 + (\varphi_1, \varphi_1)u_1 + \ldots + (\varphi_1, \varphi_p)u_p = (\varphi_1, f), \\ \ldots \\ (\varphi_p, \varphi_0) u_0 + (\varphi_p, \varphi_1)u_1 + \ldots + (\varphi_p, \varphi_p)u_p = (\varphi_p, f), \end{gather*}</tex></p> | ||
| + | Система метода наименьших квадратов имеет вид <tex> \mathbf{Du} = \mathbf{f}</tex> с матрицей <tex>\mathbf{D}</tex>, элементами которой являются скалярные произведения <tex>(\varphi_i, \varphi_j) = \sum\limits_{i = 0}^n \varphi_j (x) \varphi_k (x_i)</tex>. Это — матрица Грамма. Ее свойства известны из курса линейной алгебры, эта матрица симметричная и положительно определенная. Таким образом, решение исследуемой СЛАУ существует и единственно. В правой части системы стоят проекции свободного члена исходной задачи на подпространство базисных функций <tex>(\varphi,f) = \sum\limits_{i = 0}^n {\varphi_j(x_i)f_i}</tex>. | ||
| + | Здесь учтено, что | ||
| + | <tex>\frac{\partial \Phi }{\partial u_k} = 2 \sum\limits_{i = 0}^n {\varphi_k(x_i)\left({\sum\limits_{j = 0}^p {u_j\varphi_j (x_i) - f_i}} \right)}</tex>. | ||
== Анализ метода и оценка ошибок == | == Анализ метода и оценка ошибок == | ||
Версия 14:36, 12 ноября 2008
Содержание |
Постановка задачи
Рассмотрим прямоугольную матрицу размером :
Пусть в матрице число строк превышает число столбцов (), причём все строки линейно независимы.
Систему уравнений вида
,
где А - описанная выше, — вектор-столбец решения,
— вектор-столбец правой части, назовём переопределённой. Как можно видеть, в такой системе число уравнений превышает число неизвестных, и для неё не существует "классического" решения, например методом Гаусса.
Изложение метода
Приведем простой пример получения переопределённой системы линейных уравнений. Такого рода задачи часто встречаются, например, при обработке результатов экспериментов. Пусть — линейная (или близкая к линейной) функция аргумента
. В точках
известны значения функции
. Тогда
— коэффициенты, которые необходимо подобрать так, чтобы выполнялись условия
. Получим систему пяти уравнений относительно двух неизвестных. Это — переопределённая система. Она не имеет классического решения, так как в общем случае не существует прямой, проходящей через все 5 точек (это возможно только тогда, когда какие - либо три уравнения полученной системы линейными преобразованиями сводятся к двум другим — система линейно зависима). Необходимо провести аппроксимирующую кривую, которая не проходит через экспериментальные точки, но в то же время отражает экспериментальную зависимость, сглаживает возможные выбросы за счёт погрешности эксперимента.
Рассмотрим более общий случай. Пусть коэффициенты необходимо определить по результатам
измерения. Для каждого уравнения рассмотрим невязку
- разность левой и правой части. Невязка может принимать положительные и отрицательные значения. Чтобы не учитывать знаки, применим возведение в квадрат. Введем функцию, равную сумме квадратов невязок
Примем за обобщённое решение переопределённой СЛАУ такие , для которых
принимает наименьшие значение. Для определения обобщенного решения из условия минимума суммы квадратов невязки получаем систему двух уравнений, уже имеющую классическое решение:
Рассмотрим теперь общий случай. Определим невязку в виде
где — некоторые функции, образующие базис, например, тригонометрические:
. Выражение
называется обобщенным полиномом. В приведенном выше примере в качестве базисных функций были выбраны степенные функции
. Обобщенный полином превратился в алгебраический.
В случае выбора произвольной системы базисных функций переопределенная СЛАУ и функционал будут иметь вид
Отыщем обобщенное решение методом наименьших квадратов: приравняем все частные производные по компонентам обобщенного решения к нулю (условия минимума) и изменяя порядок суммирования, получаем СЛАУ:
или, в виде системы уравнений:
Система метода наименьших квадратов имеет вид с матрицей
, элементами которой являются скалярные произведения
. Это — матрица Грамма. Ее свойства известны из курса линейной алгебры, эта матрица симметричная и положительно определенная. Таким образом, решение исследуемой СЛАУ существует и единственно. В правой части системы стоят проекции свободного члена исходной задачи на подпространство базисных функций
.
Здесь учтено, что
.
Анализ метода и оценка ошибок
Числовой пример
Список литературы
- Н.Н.Калиткин. Численные методы М.: Наука, 1978.
- А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы М.: Наука, 1989.
