Участник:Пасконова Ольга/Песочница

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Формула замены переменных в неопределенном интеграле)
(Формула замены переменных в неопределенном интеграле)
Строка 8: Строка 8:
Пусть функции <tex> f(x)</tex> и <tex> \phi(x) </tex> определены соответственно на промежутках <tex> \Delta_x </tex> и <tex> \Delta_y </tex>, причем <tex> \phi(\Delta_t) \subset \Delta_x </tex>. Если функция <tex> f </tex> имеет на <tex> \Delta_x </tex> первообразную <tex> F{x)</tex> и, следовательно,
Пусть функции <tex> f(x)</tex> и <tex> \phi(x) </tex> определены соответственно на промежутках <tex> \Delta_x </tex> и <tex> \Delta_y </tex>, причем <tex> \phi(\Delta_t) \subset \Delta_x </tex>. Если функция <tex> f </tex> имеет на <tex> \Delta_x </tex> первообразную <tex> F{x)</tex> и, следовательно,
<p align = "center">
<p align = "center">
-
[[Изображение:Q1.jpg‎]]
+
[[Изображение:Q1.jpg‎]] {{eqno|1}} </p>
-
</p>
+
 
а функция <tex> \phi(x) </tex> дифференцируема на <tex> \Delta_t </tex>, то функция
а функция <tex> \phi(x) </tex> дифференцируема на <tex> \Delta_t </tex>, то функция
<tex> f(\phi(t))\phi^,(t) </tex> имеет на <tex> \Delta_t </tex>, первообразную <tex> F(\phi(t)) </tex> и
<tex> f(\phi(t))\phi^,(t) </tex> имеет на <tex> \Delta_t </tex>, первообразную <tex> F(\phi(t)) </tex> и
-
<p align = "center">
+
<p align = "center">
-
[[Изображение:Q2.png‎]] </p>
+
[[Изображение:Q2.png‎]] {{eqno|2}} </p>
 +
 
 +
Формула {{eqref|1}} называется формулой интегрирования подстановкой, а именно подстановкой <tex> \phi(t) = x </tex> = х. Это название объясняется тем, что если формулу {{eqref|2}} записать в виде
 +
 
 +
::[[Изображение:Q3.png‎]]
 +
 +
то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл [[Изображение:Q4.png‎]]), можно сделать подстановку <tex> х = \phi(f) <tex>, вычислить интеграл <tex> \int f(x) dx </tex> и затем вернуться к переменной <tex> t <tex>, положив <tex> х = \phi(t) <tex>.
 +
 
 +
 
 +
'''Примеры.'''
 +
 
 +
1, Для вычисления интеграла j cos ax dx ес¬тественно сделать подстановку и = ах, тогда
 +
I cos ax dx = - [cos и du = -sin u + C - -sin ax -f С, а ^ 0,
 +
Ш
 +
2. Для вычисления интеграла | -=
 +
удоопо применить
 +
3 2
 +
подстановку и := х +а :
 +
 +
3. При вычислении интегралов вида J полезна подстановка и = ф(х):
 +
I 7-777 Ас = J" ^^ = \ тг = In bfx)l + С. Например,
 +
 
 +
 +
Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать более сложные преоб¬разования подынтегральной функции:
 +
 +
Отмстим, что формулу (18,11) бывает целесообразно ис¬пользовать и в обратном порядке, т, с, справа палево. Имен¬но, иногда удобно вычисление интеграла I f(x) dx с помощью

Версия 13:01, 16 ноября 2008

Формула замены переменных в неопределенном интеграле

Рассмотрим свойство неопределенного интеграла, часто оказывающееся полезным при вычислении первообразных элементарных функций.

Теорема.

Пусть функции  f(x) и  \phi(x) определены соответственно на промежутках  \Delta_x и  \Delta_y , причем  \phi(\Delta_t) \subset \Delta_x . Если функция  f имеет на  \Delta_x первообразную  F{x) и, следовательно,

Изображение:Q1.jpg‎

(1)

а функция  \phi(x) дифференцируема на  \Delta_t , то функция  f(\phi(t))\phi^,(t) имеет на  \Delta_t , первообразную  F(\phi(t)) и

Изображение:Q2.png‎

(2)

Формула (1) называется формулой интегрирования подстановкой, а именно подстановкой  \phi(t) = x = х. Это название объясняется тем, что если формулу (2) записать в виде

Изображение:Q3.png‎

то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл Изображение:Q4.png‎), можно сделать подстановку  х = \phi(f) <tex>, вычислить интеграл <tex> \int f(x) dx и затем вернуться к переменной


Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать более сложные преоб¬разования подынтегральной функции:

Отмстим, что формулу (18,11) бывает целесообразно ис¬пользовать и в обратном порядке, т, с, справа палево. Имен¬но, иногда удобно вычисление интеграла I f(x) dx с помощью" alt= " t , положив х = \phi(t) .


'''Примеры.'''

1, Для вычисления интеграла j cos ax dx ес¬тественно сделать подстановку и = ах, тогда I cos ax dx = - [cos и du = -sin u + C - -sin ax -f С, а ^ 0, Ш 2. Для вычисления интеграла | -= удоопо применить 3 2 подстановку и := х +а :

3. При вычислении интегралов вида J полезна подстановка и = ф(х): I 7-777 Ас = J" ^^ = \ тг = In bfx)l + С. Например,


Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать более сложные преоб¬разования подынтегральной функции:

Отмстим, что формулу (18,11) бывает целесообразно ис¬пользовать и в обратном порядке, т, с, справа палево. Имен¬но, иногда удобно вычисление интеграла I f(x) dx с помощью" />

Личные инструменты