Участник:Пасконова Ольга/Песочница

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 11:11, 24 ноября 2008

Содержание

1 Формула замены переменных в неопределенном интеграле
2 Формула замены переменных в определенном интеграле
- 2.1 Квадратурные формулы интерполяционного типа
3 Формула замены переменных в кратном интеграле

Формула замены переменных в неопределенном интеграле

Рассмотрим свойство неопределенного интеграла, часто оказывающееся полезным при вычислении первообразных элементарных функций.

Теорема.

Пусть функции $f(x)$ и $\phi(x)$ определены соответственно на промежутках $\Delta_x$ и $\Delta_y$ , причем $\phi(\Delta_t) \subset \Delta_x$ . Если функция $f$ имеет на $\Delta_x$ первообразную $F{x)$ и, следовательно,

(1)

а функция $\phi(x)$ дифференцируема на $\Delta_t$ , то функция $f(\phi(t))\phi^,(t)$ имеет на $\Delta_t$ , первообразную $F(\phi(t))$ и

(2)

Формула (1) называется формулой интегрирования подстановкой, а именно подстановкой $\phi(t) = x$ . Это название объясняется тем, что если формулу (2) записать в виде

то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл ), можно сделать подстановку $x = \phi(t)$ , вычислить интеграл $\int f(x) dx$ и затем вернуться к переменной $t$ , положив $x = \phi(t)$ .

Примеры.

1. Для вычисления интеграла $\int cos ax dx$ естественно сделать подстановку $u = ax$ , тогда

2. Для вычисления интеграла удобно применить подстановку $u = x^3 + a^3$ :

3. При вычислении интегралов вида полезна подстановка $u = \phi(x)$ :

Например,

Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать более сложные преобразования подынтегральной функции:

Отметим, что формулу (2) бывает целесообразно использовать и в обратном порядке, т.е. справа палево. Именно, иногда удобно вычисление интеграла $\int f(x) dx$ с помощью соответствующей замены переменного $x = \phi(t)$ свести к вычислению интеграла (если этот интеграл в каком-то смысле «проще» исходного).

В случае, когда функция $\phi$ имеет обратную $\phi^{-1}$ , перейдя в обеих частях формулы (2) к переменной $x$ с помощью подстановки $t = \phi^{-1}(x)$ и поменяв местами стороны равенства, получим

Эта формула называется обычно формулой интегрирования заменой переменной.

Для того чтобы существовала функция $\phi^{-1}$ , обратная $\phi$ , в дополнение к условиям теоремы достаточно, например, потребовать, чтобы на рассматриваемом промежутке $\Delta_t$ функция $\phi$ была строго монотонной. В этом случае, существует однозначная обратная функция $\phi^{-1}$ .

4. Интегралы вида в том случае, когда подкоренное выражение неотрицательно на некотором промежутке, легко сводятся с помощью заме¬ны переменного к табличным.

Действительно, замечая, что , сделаем замену переменной и положим . Тогда и, в силу формулы (2), получим

(перед $t^2$ стоит знак плюс, если а > 0, и знак минус, если а < 0). Интеграл, стоящий в правой части равенства, является табличным. Найдя его по соответствующим формулам и вернувшись от переменной $t$ к переменной $x$ , получим искомый интеграл.

Подобным же приемом вычисляются и интегралы вида

5. Интеграл можно вычислить с помощью подстановки $x = a sin t$ . Имеем $dx = a cos t dt$ , поэтому

Подставляя это выражение $t = arcsin \frac{x}{a}$ и замечая, что

окончательно будем иметь

Заметим, что для проверки результата, полученного при вычислении неопределенного интеграла, достаточно его продифференцировать, после чего должно получиться подынтегральное выражение вычисляемого иптеграла.

Формула замены переменных в определенном интеграле

Теорема.

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a'; b']$ , а функция $\phi(t)$ имеет непрерывную производную $\phi'(t)$ на отрезке $[\alpha; \beta]$ , причём все значения $x = \phi(t)$ при $[t \in{\alpha};{\beta}]$ принадлежат отрезку $[a'; b']$ , в том числе $\phi(\alpha) = a$ и $\phi(\beta) = b$ . Тогда имеет место равенство

Замечание.

Заметим, что доказанная формула, в отличие от формулы замены переменной в неопределённом интеграле, даёт нам возможность после перехода к интегралу от функции новой переменной $x$ не возвращаться к исходному интегралу от функции переменной $t$ . После того, как замена сделана, мы можем "забыть", как выглядел исходный интеграл, и продолжать преобразования интеграла от функции новой переменной. Именно на том, что к старой переменной возвращаться не приходится, мы и получаем экономию усилий при применении формулы замены переменной в определённом интеграле, по сравнению с тем, что получилось бы, если бы мы просто нашли первообразную и применили формулу Ньютона - Лейбница.

Обратим ваше внимание на важную особенность формулы: кроме подынтегрального выражения, при замене переменной меняются и пределы интегрирования. Действительно, в интеграле по новой переменной $x$ должны быть указаны пределы изменения именно $x$ (то есть $a$ и $b$ ), в то время как в исходном интеграле по переменной $t$ указаны пределы изменения $t$ (то есть $\alpha$ и $\beta$ ).

Советы о том, какая замена целесообразна для вычисления того или иного интеграла, - те же самые, что и при вычислении неопределённых интегралов, так что тут ничего нового изучать не придётся.

Пример.

Вычислим интеграл

Для этого сделаем замену $x = \phi(t) = \sin t$ , откуда $dx = \phi'(t)dt = \cos t dt$ . Кроме того, при $t = 0$ имеем $x = \sin 0 = 0$ , а при $t = \frac{\pi}{2}$ имеем $x = \sin \frac{\pi}{2} = 1$ . Получаем:

Квадратурные формулы интерполяционного типа

Будем рассматривать формулы приближенного вычисления интегралов

(3)

где $p(x) > 0$ — заданная интегрируемая функция (так называемая весовая функция) и $f(x)$ — достаточно гладкая функция. Рассматриваемые далее формулы имеют вид

(4)

где $x \in[{a};{b}]$ и $c_k$ — числа, $k = 0, 1, ..., n$ .

Получим квадратурные формулы путем замены $f(x)$ интерполяционным многочленом сразу на всем отрезке $[a, b]$ . Полученные таким образом формулы называются квадратурными формулами интерполяционного типа. Как правило, точность этих формул возрастает с увеличением числа узлов интерполирования. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона являются частными случаями квадратурных формул интерполяционного типа, когда $n = 0, 1, 2, p(x) = 1$ .

Получим выражения для коэффициентов квадратурных формул интерполяционного типа. Пусть на отрезке $[a, b]$ заданы узлы интерполирования $x_k, k = 0, 1, ... n$ . Предполагается, что среди этих узлов нет совпадающих, в остальном они могут быть расположены как угодно на $[a, b]$ .

Заменяя в интеграле (3) функцию $f(x)$ интерполяционным многочленом Лагранжа

получим приближенную формулу (4), где

(5)

Таким образом, формула (4) является квадратурной формулой интерполяционного типа тогда и только тогда, когда ее коэффициенты вычисляются по правилу (5).

Формула замены переменных в кратном интеграле

Пусть $F$ — непрерывно дифференцируемое взаимпо-однозпачное отображение открытого множества $G \subset R_{x}^{n}$ в пространство $R_{y}^{n}$ и его якобиан $J_{F}$ не обращается в нуль на множестве $G$ .

Теорема.

Если $E$ — измеримое множество, содержащееся вместе со своим замыканием $\bar{E}$ в открытом множестве $G$ : $E \subset \bar{E} \subset G$ , а функция $f$ непрерывна на множестве $\bar{F(E)}$ , то

Эта формула равносильна формуле

Действительно, ограниченная функция одновременно ин¬тегрируема или нет как па измеримом множестве, так и па его замыкании, причем в случае интегрируемости интегралы от функции по множеству и по его замыканию совпадают (см. конец п. 11.3). В нашем случае функции [(у) и f(F(x))\JF(x)\ непрерывны соответственно на компактах F(E) и Е (являю¬щихся замыканием измеримых множеств F(E) и Е), следо¬вательно, ограничены и интегрируемы на них. Таким обра¬зом, все входящие в формулы (16.16) и (16.17) интегралы существуют, а сами эти формулы равносильны. Эти формулы называются формулами замены переменных в кратном ин¬теграле. Замена переменных в кратном интеграле часто существен¬но упрощает его исследование и вычисление. При отом в от¬личие от однократного интеграла нередко целью замены пе¬ременного является не упрощение подынтегральной функ¬ции, а переход к более простой области интегрирования даже ценой некоторого усложнения подынтегральной функции. В качестве примера применения формулы замены перемен¬ных в кратном интеграле рассмотрим для двумерного интегра¬ла случай перехода от декартовых координат к полярным. Рассмотрим плоскость, на которой декартовы координаты обозначены г, ф и па пей открытый прямоугольник С {(г, ф) : 0 < г < R, 0 < ф < 2л}. При отображении х = г cos ф, у г sin ф, 0 < ф < 2пч 0 < г < R, (16.69) прямоугольник G отображается на множество & плоскости с декартовыми координатами хч уч которое представляет собой круг х2 + у2 < R2, из которого удален радиус 0<х<й, г/=0 (рис. 69). Отображение (16.69) и его якобиан = г Э(х, у) Э(г, (р) нт(р непрерывно продолжаемы на замкнутый прямоугольник G {(г, ф):О<г<й, 0<ф<2я}, ФА У

образом которого при продол¬женном отображении является х О R замкнутый круг G, па котором отображение (16.69) уже не яв¬ ляется взаимно-однозначным: взаимная однозначность нару¬ шается на гоанинс ПОЯМОУГОЛЬ- Рис, 69 пика G — отрезки 0 < х < R при ф 0 и ф = 2тг отображаются в один и тот же отрезок 0 < х < R, у 0, а отрезок г 0, 0 < ф < 2к и вовсе отображается в точку (0, 0). Якобиан продолженного отображения обращается в пуль при г 0. Согласно теореме 2, для отображения (16.69) и непрерыв¬ной на круге х2 Н- у2 < R2 функции f(x, у) имеет место формула М [{%> y)dxdy \\ /(гсозф, rs'm<p)rdrd<p. Приведем конкретный пример вычисления интеграла по этой формуле:

Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:%D0%9F%D0%B0%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%9E%D0%BB%D1%8C%D0%B3%D0%B0/%D0%9F%D0%B5%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0»

Участник:Пасконова Ольга/Песочница

Материал из MachineLearning.

Версия 11:11, 24 ноября 2008

Содержание

Формула замены переменных в неопределенном интеграле

Формула замены переменных в определенном интеграле

Квадратурные формулы интерполяционного типа

Формула замены переменных в кратном интеграле

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты

@@ Строка 139: / Строка 139: @@
 == Формула замены переменных в кратном интеграле ==
+Пусть <tex> F </tex> — непрерывно дифференцируемое взаимпо-однозпачное отображение открытого множества <tex> G \subset R_{x}^{n} </tex> в пространство <tex> R_{y}^{n} </tex> и его якобиан <tex> J_{F} </tex> не обращается в нуль на множестве <tex> G </tex>.
+'''Теорема.'''
+Если <tex> E </tex> — измеримое множество, содержащееся вместе со своим замыканием <tex> \bar{E} </tex> в открытом множестве <tex> G </tex>: <tex> E \subset \bar{E} \subset G </tex>, а функция <tex> f </tex> непрерывна на множестве <tex> \bar{F(E)} </tex>, то
+Эта формула равносильна формуле
+Действительно, ограниченная функция одновременно ин¬тегрируема или нет как па измеримом множестве, так и па его замыкании, причем в случае интегрируемости интегралы от функции по множеству и по его замыканию совпадают (см.
+конец п.  11.3). В нашем случае функции [(у) и f(F(x))\JF(x)\
+непрерывны соответственно на компактах F(E) и Е (являю¬щихся замыканием измеримых множеств F(E) и Е), следо¬вательно, ограничены и интегрируемы на них. Таким обра¬зом, все входящие в формулы (16.16) и (16.17) интегралы существуют, а сами эти формулы равносильны. Эти формулы называются формулами замены переменных в кратном ин¬теграле.
+Замена переменных в кратном интеграле часто существен¬но упрощает его исследование и вычисление. При отом в от¬личие от однократного интеграла нередко целью замены пе¬ременного является не упрощение подынтегральной функ¬ции, а переход к более простой области интегрирования даже ценой некоторого усложнения подынтегральной функции.
+В качестве примера применения формулы замены перемен¬ных в кратном интеграле рассмотрим для двумерного интегра¬ла случай перехода от декартовых координат к полярным.
+Рассмотрим плоскость, на которой декартовы координаты обозначены г, ф и па пей открытый прямоугольник
+С    {(г, ф) : 0 < г < R, 0 < ф < 2л}. При отображении
+х = г cos ф,    у     г sin ф,   0 < ф < 2пч    0 < г < R,	(16.69)
+прямоугольник G отображается на множество & плоскости с декартовыми координатами хч уч которое представляет собой круг х2 + у2 < R2, из которого удален радиус 0<х<й, г/=0 (рис. 69).
+Отображение (16.69) и его якобиан
+= г
+Э(х, у)
+Э(г, (р)         нт(р
+непрерывно продолжаемы на замкнутый прямоугольник
+G     {(г, ф):О<г<й, 0<ф<2я},       ФА	У
+образом которого при продол¬женном отображении является
+х
+О
+R
+замкнутый круг G, па котором
+отображение (16.69) уже не яв¬
+ляется    взаимно-однозначным:
+взаимная однозначность нару¬
+шается на гоанинс ПОЯМОУГОЛЬ-	Рис, 69
+пика G — отрезки 0 < х < R при ф     0 и ф = 2тг отображаются в
+один и тот же отрезок 0 < х < R, у     0, а отрезок г     0, 0 < ф < 2к
+и вовсе отображается в точку (0, 0). Якобиан продолженного
+отображения обращается в пуль при г     0.
+Согласно теореме 2, для отображения (16.69) и непрерыв¬ной на круге х2 Н- у2 < R2 функции f(x, у) имеет место формула
+М      [{%> y)dxdy         \\     /(гсозф, rs'm<p)rdrd<p.
+Приведем конкретный пример вычисления интеграла по этой формуле: