Участник:Пасконова Ольга/Песочница

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Формула замены переменных в неопределенном интеграле

Рассмотрим свойство неопределенного интеграла, часто оказывающееся полезным при вычислении первообразных элементарных функций.

Теорема.

Пусть функции  f(x) и  \phi(x) определены соответственно на промежутках  \Delta_x и  \Delta_y , причем  \phi(\Delta_t) \subset \Delta_x . Если функция  f имеет на  \Delta_x первообразную  F{x) и, следовательно,

Изображение:Q1.jpg‎ (1)

а функция  \phi(x) дифференцируема на  \Delta_t , то функция  f(\phi(t))\phi^,(t) имеет на  \Delta_t , первообразную  F(\phi(t)) и

Изображение:Q2.png‎

(2)

Формула (1) называется формулой интегрирования подстановкой, а именно подстановкой  \phi(t) = x = х. Это название объясняется тем, что если формулу (2) записать в виде

Изображение:Q3.png‎

то будет видно, что, для того чтобы вычислить интеграл Изображение:Q4.png‎), можно сделать подстановку  х = \phi(f) <tex>, вычислить интеграл <tex> \int f(x) dx и затем вернуться к переменной


Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать более сложные преоб¬разования подынтегральной функции:

Отмстим, что формулу (18,11) бывает целесообразно ис¬пользовать и в обратном порядке, т, с, справа палево. Имен¬но, иногда удобно вычисление интеграла I f(x) dx с помощью" alt= " t , положив х = \phi(t) .


'''Примеры.'''

1, Для вычисления интеграла j cos ax dx ес¬тественно сделать подстановку и = ах, тогда I cos ax dx = - [cos и du = -sin u + C - -sin ax -f С, а ^ 0, Ш 2. Для вычисления интеграла | -= удоопо применить 3 2 подстановку и := х +а :

3. При вычислении интегралов вида J полезна подстановка и = ф(х): I 7-777 Ас = J" ^^ = \ тг = In bfx)l + С. Например,


Иногда, прежде чем применить метод интегрирования подстановкой, приходится проделать более сложные преоб¬разования подынтегральной функции:

Отмстим, что формулу (18,11) бывает целесообразно ис¬пользовать и в обратном порядке, т, с, справа палево. Имен¬но, иногда удобно вычисление интеграла I f(x) dx с помощью" />

Личные инструменты