Участник:Anton/Песочница

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Критерии согласия - это критерии проверки гипотез о законе распределения вероятностей. Такие критерии подразделяются на два класса:

  1. Общие критерии согласия применимы к самой общей формулировке гипотезы, а именно к гипотезе о согласии наблюдаемых результатов с любым априорно предполагаемым распределением вероятностей.
  2. Специальные критерии согласия предполагают специальные нулевые гипотезы, формулирующие согласие с определенной формой распределения вероятностей.

Содержание

Общие критерии согласия

Нулевая гипотеза H_0: F_n(x) = F(x), где F_n(x) - эмпирическая функция распределения вероятностей; F(x) - гипотетическая функция распределения вероятностей.

Существует три группы общих критериев согласия:

  1. критерии, основанные на изучении разницы между теоретической плотностью распределения и эмпирической гистограммой;
  2. критерии, основанные на расстоянии между теоретической и эмпирической функциями распределения вероятностей;
  3. корреляционно-регрессионные критерии, основанные на изучении корреляционных и регрессионных связей между эмпирическими и теоретическими порядковыми статистиками.

Критерии, основанные на сравнении теоретической плотности распределения и эмпирической гистограммы

Критерии, основанные на сравнении теоретической и эмпирической функций распределения вероятностей

Расстояние между эмпирической и теоретической функциями распределения вероятностей является весьма эффективной статистикой для проверки гипотез о виде закона распределения вероятностей случайной величины.

Критерии согласия, использующие различные варианты анализа расстояния между теоретической (\Phi(x)) и эмпирической (F(x)) функциями распределения:

Название критерия Функционал расстояния
Критерий Джини  \int | F(x) - \Phi(x) | dx
Критерий Крамера-фон Мизеса  \int \{ F(x) - \Phi(x) \}^2 dx
Критерий Колмогорова-Смирнова [3] [4]  \sup_{-\infty < x < \infty} |F(x) - \Phi(x)|
Критерий Реньи (R-критерий) [5]  \sup_{F(x) > a} \frac{|F(x) - \Phi(x)|}{F(x)}
Критерий Смирнова-Крамера-фон Мизеса [6] [7]  \int \{ F(x) - \Phi(x) \}^2 d\Phi(x)
Критерий Андерсона-Дарлинга [8]  \int \frac{\{ F(x) - \Phi(x) \}^2}{\Phi(x)\{1 - \Phi(x)\}}d\Phi(x)
Критерий Купера [9]  \sup_{-\infty < x < \infty} \{F(x) - \Phi(x)\} + \sup_{-\infty < x < \infty} \{ \Phi(x) - F(x) \}
Критерий Ватсона [10]  \int \left\{ F(x) - \Phi(x)  - \int \left[ F(x) - \Phi(x) \right]d\Phi(x) \right\} d\Phi(x)
Критерий Фроцини  \int | F(x) - \Phi(x) | d\Phi(x)

[11] [12]

Специальные критерии согласия

Нормальное распределение

Специальные критерии согласия, отвечающие за проверку нормальности описаны тут.

Экспоненциальное распределение

Равномерное распределение

Примечания

  1. Идье В., Драйад Д., Джеймс Ф., Рус М., Садуле Б. Статистические методы в экспериментальной физике. — М.: Атомиздат, 1976.
  2. Barnett A., Eisen E. A quartile test for differences in distribution. JASA. 1982. V. 77, №377. P. 47-51
  3. Kolmogorov A. N. Confidence limits for an unknown distribution function. AMS. 1941. V. 12. P. 461-463.
  4. Смирнов Н.В. Оценка расхождения между эмпирическими кривыми распределений в двух независимых выборках. Бюллетенеь МГУ. Сер. А. Вып.2. 1939. С. 13-14.
  5. Renyi A. On the theory of order statistics. Acta Mathem. Acad. Scientarium Hungarical. 1953. V. 4. P. 191-232.
  6. Смирнов Н.В. О критерии Крамера-фон Мизеса. Успехи матем. наук (новая серия). 1949. Т. 4. №4(32). С. 196-197.
  7. Мартынов Г.В. Критерии омега-квадрат. - М.:Наука. 1978.
  8. Anderson T.W., Darling D.A. A test for goodness-of-fit. JASA. 1954. V. 49. P. 765-769.
  9. Kuiper N.H. Tests concerning random points on a circle. Proc. Konikl. Nederl. Akad. Van Wettenschappen. 1960. S. A. V. 63. P. 38-47.
  10. Watson G.S. Googness-of-fit tests on a circle. Biometrika. 1961. V. 48. № 1-2. P. 109-114.
  11. Darling J. The Kolmogorov-Smirnov, Cramer-von Mises tests. AMS. 1957. V. 28. P. 823-838.
  12. Durbin J. Some methods of constructing exact tests. Biometrika. 1961. V. 48. № 1-2. P. 41-57.

Литература

  1. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.
  2. Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003. — 204-209 с.


Данная статья является непроверенным учебным заданием.
Студент: Участник:Anton
Преподаватель: Участник:Vokov
Срок: 8 января 2010

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.


Личные инструменты