< Участник:Platonova.Elena(Различия между версиями)
|
|
| (11 промежуточных версий не показаны.) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| - | '''Сравнение работы ЕМ-алгоритма и k-means для смесей с экспоненциальным распределением компонент.''' (само будет в заголовке)
| |
| | | | |
| - | =='''Краткое описание исследуемых алгоритмов'''==
| |
| - | ==ЕМ алгоритм==
| |
| - | Основа EM-алгоритма - предположение, что исследуемое множество данных может быть представлено с помощью линейной комбинации распределений, а цель - оценка параметров распределения, которые максимизируют логарифмическую функцию правдоподобия, используемую в качестве меры качества модели.
| |
| - | Пусть рассматривается смесь из <tex>k</tex> распределений, каждое описывается функцией правдоподобия <tex>p_j(x)</tex>
| |
| - |
| |
| - | <center><tex>p(x) = \sum_{i=1}^k w_jp_j(x)</tex></center>
| |
| - |
| |
| - | <tex>w_j</tex> - априорная вероятность <tex>j</tex>-й компоненты. Функции правдоподобия принадлежат параметрическому семейству распределений <tex>\varphi(x; \theta)</tex> и отличаются только значениями параметра <tex>p_j(x) = \varphi(x; \theta_j)</tex>
| |
| - |
| |
| - | '''Вход''':
| |
| - |
| |
| - | <tex> R,~ M,~ DELTA,~ L</tex> – общая длина выборки
| |
| - |
| |
| - | '''Выход''':
| |
| - |
| |
| - | <tex>\theta = (\omega_1, \omega_2, ..., \omega_k, \theta_1, \theta_2, ..., \theta_k)</tex> параметры распределения и весы компонент.
| |
| - |
| |
| - | '''ОМП θ'''
| |
| - |
| |
| - | для одно- и двумерного случая экспоненциального распределения.
| |
| - |
| |
| - | Необходимо максимизировать
| |
| - |
| |
| - | <center><tex>Q(\Theta) = ln\prod_{i=1}^m p(x_i)=\sum_{i=1}^mln\sum_{j=1}^k\omega_jp_j(x_i) \rightarrow ma\limits_{\Theta}x</tex></center>
| |
| - |
| |
| - | Из Лагранжиана следует:
| |
| - |
| |
| - | <tex>
| |
| - | \omega_j=\frac{1}m \sum_{i=1}^mg_{ij} </tex> j=1,...,k
| |
| - |
| |
| - | <tex>\frac{\partial L}{\partial\theta_j}=\frac{\partial}{\partial\theta_j}\sum_{i=1}^mg_{ij}lnp_j(x_i)=0,</tex> j=1,...,k.
| |
| - |
| |
| - | С учетом <tex>p_j(x)\equiv \varphi(x, \theta_j) = \theta \cdot exp{-\theta \cdot x}</tex> получаем ОМП <tex>\theta </tex> для экспоненциального закона:
| |
| - |
| |
| - | <center><tex> \\
| |
| - | \frac{\partial}{\partial \theta_j}\sum_{i=1}^mg_{ij}(ln \theta_j - \theta_jx_i)=0 \\
| |
| - | \theta_j=\frac{\sum_{i=1}^mg_{ij}}{\sum_{i=1}^mx_ig_{ij}}
| |
| - | </tex></center>
| |
| - |
| |
| - | В двумерном случае:
| |
| - | <center><tex> \\
| |
| - | \theta_{jx}=\frac{\sum_{i=1}^mg_{ij}}{\sum_{i=1}^mx_ig_{ij}} \\
| |
| - | \theta_{jy}=\frac{\sum_{i=1}^mg_{ij}}{\sum_{i=1}^my_ig_{ij}}
| |
| - | </tex>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | ==k-means (k ближайших соседей)==
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | {{Задание|Platonova.Elena|Константин Воронцов|7 января 2010}}
| |
