Участник:Platonova.Elena/Песочница

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
Строка 12: Строка 12:
'''Вход''':
'''Вход''':
-
<tex> R,~ M,~ DELTA,~ L</tex> – общая длина выборки
+
<tex> R, M, Delta, L</tex> – общая длина выборки
'''Выход''':
'''Выход''':
Строка 33: Строка 33:
<tex>\frac{\partial L}{\partial\theta_j}=\frac{\partial}{\partial\theta_j}\sum_{i=1}^mg_{ij}lnp_j(x_i)=0,</tex> j=1,...,k.
<tex>\frac{\partial L}{\partial\theta_j}=\frac{\partial}{\partial\theta_j}\sum_{i=1}^mg_{ij}lnp_j(x_i)=0,</tex> j=1,...,k.
-
С учетом <tex>p_j(x)\equiv \varphi(x, \theta_j) = \theta \cdot exp{-\theta \cdot x}</tex> получаем ОМП <tex>\theta </tex> для экспоненциального закона:
+
С учетом <tex>p_j(x)\equiv \varphi(x, \theta_j) = \theta_j \cdot exp{-\theta_j \cdot x}</tex> получаем ОМП <tex>\theta </tex> для экспоненциального закона:
-
<center><tex> \frac{\partial}{\partial \theta_j}\sum_{i=1}^mg_{ij}(ln \theta_j - \theta_jx_i)=0
+
<center><tex>\frac{\partial}{\partial \theta_j}\sum_{i=1}^mg_{ij}(ln \theta_j - \theta_jx_i)=0</tex></center>
-
\theta_j=\frac{\sum_{i=1}^mg_{ij}}{\sum_{i=1}^mx_ig_{ij}}
+
 
-
</tex></center>
+
В одномерном случае:
 +
<tex>\theta_j=\frac{\sum_{i=1}^mg_{ij}}{\sum_{i=1}^mx_ig_{ij}}</tex>
В двумерном случае:
В двумерном случае:
-
<center><tex> \theta_{jx}=\frac{\sum_{i=1}^mg_{ij}}{\sum_{i=1}^mx_ig_{ij}}
+
<tex>\theta_{jx}=\frac{\sum_{i=1}^mg_{ij}}{\sum_{i=1}^mx_ig_{ij}}\\\theta_{jy}=\frac{\sum_{i=1}^mg_{ij}}{\sum_{i=1}^my_ig_{ij}}</tex>
-
\theta_{jy}=\frac{\sum_{i=1}^mg_{ij}}{\sum_{i=1}^my_ig_{ij}}
+
-
</tex>
+
-
</center>
+
==k-means (k ближайших соседей)==
==k-means (k ближайших соседей)==
 +
Метод <tex>K</tex> ближайших соседей - это [[Метрический классификатор|метрический алгоритм классификации]], основанный на оценивании сходства объектов. Классифицируемый объект относится к тому классу, которому принадлежат ближайшие к нему объекты [[выборка|обучающей выборки]].
 +
 +
==Постановка задачи==
 +
Пусть <tex>X \in \mathbb{R}^n\</tex> - множество объектов; <tex>Y</tex> - множество допустимых ответов. Задана обучающая выборка <tex>\{(x_i,y_i)\}_{i=1}^\ell</tex>. Задано множество объектов <tex>\ X^m =\{x_i\}_{i=1}^m</tex>.
 +
Требуется найти множество ответов <tex>\{y_i\}_{i=1}^m</tex> для объектов <tex>\{x_i\}_{i=1}^m</tex>.
 +
 +
На множестве объектов задается некоторая функция расстояния, в данном случае <tex>\rho(x,x').</tex>
 +
максимум модулей
 +
<center><tex>\rho(x,x') = \max_{i} |x_i-x'_i|;</tex></center>
 +
 +
Для произвольного объекта <tex>x\in X</tex> расположим
 +
объекты обучающей выборки <tex>x_i</tex> в порядке возрастания расстояний до <tex>x</tex>:
 +
::<tex>\rho(x,x_{1; x}) \leq \rho(x,x_{2; x}) \leq \cdots \leq \rho(x,x_{m; x}),</tex>
 +
где через <tex>x_{i; x}</tex> обозначается
 +
тот объект обучающей выборки, который является <tex>i</tex>-м соседом объекта <tex>x</tex>.
 +
Аналогичное обозначение введём и для ответа на <tex>i</tex>-м соседе:
 +
<tex>y_{i; x}</tex>.
 +
Таким образом, произвольный объект <tex>x</tex> порождает свою перенумерацию выборки.
 +
В наиболее общем виде [[алгоритм]] ближайших соседей есть
 +
::<tex>a(x) = \mathrm{arg}\max_{y\in Y} \sum_{i=1}^m \bigl[ x_{i; x}=y \bigr] w(i,x),</tex>
 +
где <tex>w(i,x)</tex> — заданная ''весовая функция'',
 +
которая оценивает степень важности <tex>i</tex>-го соседа для классификации объекта <tex>u</tex>.
 +
В рассматриваемом примере <tex>w(i,x) = [i\leq k] ,</tex> что соответствует методу <tex>k</tex> ближайших соседей.

Версия 10:18, 4 января 2010

Сравнение работы ЕМ-алгоритма и k-means для смесей с экспоненциальным распределением компонент. (само будет в заголовке)

Содержание

Краткое описание исследуемых алгоритмов

ЕМ алгоритм

Основа EM-алгоритма - предположение, что исследуемое множество данных может быть представлено с помощью линейной комбинации распределений, а цель - оценка параметров распределения, которые максимизируют логарифмическую функцию правдоподобия, используемую в качестве меры качества модели. Пусть рассматривается смесь из k распределений, каждое описывается функцией правдоподобия p_j(x)

p(x) = \sum_{i=1}^k w_jp_j(x)

w_j - априорная вероятность j-й компоненты. Функции правдоподобия принадлежат параметрическому семейству распределений \varphi(x; \theta) и отличаются только значениями параметра p_j(x) = \varphi(x; \theta_j)

Вход:

R, M, Delta, L – общая длина выборки

Выход:

\theta = (\omega_1, \omega_2, ..., \omega_k, \theta_1, \theta_2, ..., \theta_k) параметры распределения и весы компонент.

ОМП θ

для одно- и двумерного случая экспоненциального распределения.

Необходимо максимизировать

Q(\Theta) = ln\prod_{i=1}^m p(x_i)=\sum_{i=1}^mln\sum_{j=1}^k\omega_jp_j(x_i) \rightarrow ma\limits_{\Theta}x

Из Лагранжиана следует:

\omega_j=\frac{1}m \sum_{i=1}^mg_{ij} j=1,...,k

\frac{\partial L}{\partial\theta_j}=\frac{\partial}{\partial\theta_j}\sum_{i=1}^mg_{ij}lnp_j(x_i)=0, j=1,...,k.

С учетом p_j(x)\equiv \varphi(x, \theta_j) = \theta_j \cdot exp{-\theta_j \cdot x} получаем ОМП \theta для экспоненциального закона:

\frac{\partial}{\partial \theta_j}\sum_{i=1}^mg_{ij}(ln \theta_j - \theta_jx_i)=0

В одномерном случае: \theta_j=\frac{\sum_{i=1}^mg_{ij}}{\sum_{i=1}^mx_ig_{ij}}

В двумерном случае: \theta_{jx}=\frac{\sum_{i=1}^mg_{ij}}{\sum_{i=1}^mx_ig_{ij}}\\\theta_{jy}=\frac{\sum_{i=1}^mg_{ij}}{\sum_{i=1}^my_ig_{ij}}

k-means (k ближайших соседей)

Метод K ближайших соседей - это метрический алгоритм классификации, основанный на оценивании сходства объектов. Классифицируемый объект относится к тому классу, которому принадлежат ближайшие к нему объекты обучающей выборки.

Постановка задачи

Пусть X \in \mathbb{R}^n\ - множество объектов; Y - множество допустимых ответов. Задана обучающая выборка \{(x_i,y_i)\}_{i=1}^\ell. Задано множество объектов \ X^m =\{x_i\}_{i=1}^m. Требуется найти множество ответов \{y_i\}_{i=1}^m для объектов \{x_i\}_{i=1}^m.

На множестве объектов задается некоторая функция расстояния, в данном случае \rho(x,x'). максимум модулей

\rho(x,x') = \max_{i} |x_i-x'_i|;

Для произвольного объекта x\in X расположим объекты обучающей выборки x_i в порядке возрастания расстояний до x:

\rho(x,x_{1; x}) \leq \rho(x,x_{2; x}) \leq \cdots \leq \rho(x,x_{m; x}),

где через x_{i; x} обозначается тот объект обучающей выборки, который является i-м соседом объекта x. Аналогичное обозначение введём и для ответа на i-м соседе: y_{i; x}.

Таким образом, произвольный объект x порождает свою перенумерацию выборки. В наиболее общем виде алгоритм ближайших соседей есть

a(x) = \mathrm{arg}\max_{y\in Y} \sum_{i=1}^m \bigl[ x_{i; x}=y \bigr] w(i,x),

где w(i,x) — заданная весовая функция, которая оценивает степень важности i-го соседа для классификации объекта u.

В рассматриваемом примере w(i,x) = [i\leq k] , что соответствует методу k ближайших соседей.




Данная статья является непроверенным учебным заданием.
Студент: Участник:Platonova.Elena
Преподаватель: Участник:Константин Воронцов
Срок: 7 января 2010

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.


Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Platonova.Elena/%D0%9F%D0%B5%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0»