Биномиальное распределение
Материал из MachineLearning.
(→Ссылки) |
м |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | {{Вероятностное распределение| | ||
+ | name =Биномиальное распределение| | ||
+ | type =Функция| | ||
+ | pdf_image =| | ||
+ | cdf_image =| | ||
+ | parameters =<tex>n \geq 0</tex> — число «испытаний»<br /><tex>0\leq p \leq 1</tex> — вероятность «успеха» | | ||
+ | support =<tex>k \in \{0,\dots,n\}\!</tex>| | ||
+ | pdf =<tex>C_{n}^{k}\, p^k q^{n-k} \!</tex>| | ||
+ | cdf =<tex>I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!</tex>| | ||
+ | mean =<tex>np\!</tex>| | ||
+ | median =одно из <tex>\{[np]-1, [np], [np]+1\}</tex>| | ||
+ | mode =<tex>\lfloor (n+1)\,p\rfloor\!</tex>| | ||
+ | variance =<tex>npq\!</tex>| | ||
+ | skewness =<tex>\frac{1-2p}{\sqrt{npq}}\!</tex>| | ||
+ | kurtosis =<tex>\frac{1-6pq}{npq}\!</tex>| | ||
+ | entropy =<tex> \frac12 \log_2 \big( 2\pi e\, np(1-p) \big) + O \left( \frac{1}{n} \right) </tex>| | ||
+ | mgf =<tex>(q + pe^t)^n \!</tex>| | ||
+ | char =<tex>(q + pe^{it})^n \!</tex>| | ||
+ | }} | ||
+ | |||
==Определение== | ==Определение== | ||
''Биномиальное распределение'' - дискретное распределение вероятностей [[случайная_величина|случайной величины]] <tex>X</tex>, принимающей целочисленные значения <tex>k=0,1,\ldots,n</tex> с вероятностями: | ''Биномиальное распределение'' - дискретное распределение вероятностей [[случайная_величина|случайной величины]] <tex>X</tex>, принимающей целочисленные значения <tex>k=0,1,\ldots,n</tex> с вероятностями: |
Версия 12:44, 18 мая 2010
Функция вероятности | |
Функция распределения | |
Параметры | |
Носитель | |
Функция вероятности | |
Функция распределения | |
Математическое ожидание | |
Медиана | одно из |
Мода | |
Дисперсия | |
Коэффициент асимметрии | |
Коэффициент эксцесса | |
Информационная энтропия | |
Производящая функция моментов | |
Характеристическая функция | |
Содержание |
Определение
Биномиальное распределение - дискретное распределение вероятностей случайной величины , принимающей целочисленные значения
с вероятностями:
Данное распределение характеризуется двумя параметрами: целым числом , называемым числом испытаний, и вещественным числом
,
, называемом вероятностью успеха в одном испытании. Биномиальное распределение - одно из основных распределений вероятностей, связанных с последовательностью независимых испытаний. Если проводится серия из
независимых испытаний, в каждом из которых может произойти "успех" с вероятностью
, то случайная величина, равная числу успехов во всей серии, имеет указанное распределение. Эта величина также может быть представлена в виде суммы
независимых слагаемых, имеющих распределение Бернулли.
Основные свойства
- Математическое ожидание:
- Дисперсия:
- Асимметрия:
; при
распределение симметрично относительно центра
Асимптотические приближения при больших n
Если значения велики, то непосредственное вычисление вероятностей событий, связанных с данной случайной величиной, технически затруднительно.
В этих случаях можно использовать приближения биномиального распределения распределением Пуассона и нормальным (приближение Муавра-Лапласа).
Приближение Пуассона
Приближение распределением Пуассона применяется в ситуациях, когда значения большие, а значения
близки к нулю. При этом биномиальное распределение аппроксимируется распределением Пуассона с параметром
.
Строгая формулировка: если и
таким образом, что
, то
Более того, справедлива следующая оценка. Пусть - случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром
.
Тогда для произвольного множества
справедливо неравенство:
Доказательство и обзор более точных результатов, касающихся точности данного приближения, можно найти в [1, гл. III, §12].
Нормальное приближение
Приближение нормальным распределением используется в ситуациях, когда , а
фиксировано. Это приближение можно рассматривать как частный случай центральной предельной теоремы, применение которой основано на представлении
в виде суммы
слагаемых. Приближение основано на том, что при указанных условиях распределение нормированной величины
близко к стандартному нормальному.
Локальная теорема Муавра-Лапласа
Данная теорема используется для приближенного вычисления вероятностей отдельных значений биномиального распределения. Она утверждает [1, гл. I, §6], что равномерно по всем значениям , таким что
, имеет место
где - плотность стандартного нормального распределения.
Интегральная теорема Муавра-Лапласа
На практике необходимость оценки вероятностей отдельных значений, которую дает локальная теорема Муавра-Лапласа, возникает не часто. Гораздо более важно оценивать вероятности событий, включающих в себя множество значений. Для этого используется интегральная теорема, которую можно сформулировать в следующем виде [1, гл. I, §6]:
где случайная величина имеет стандартное нормальное распределение
, и аппроксимирующая вероятность определяется по формуле
где - функция распределения стандартного нормального закона:
.
Есть ряд результатов, позволяющих оценить скорость сходимости. В [1, гл. I, §6] приводится следующий результат, являющийся частным случаем теоремы Берри-Эссеена:
где - функция распределения случайной величины
. На практике решение о том, насколько следует доверять нормальному приближению, принимают исходя из величины
. Чем она больше, тем меньше будет погрешность приближения.
Заметим, что асимптотический результат не изменится, если заменить строгие неравенства на нестрогие и наоборот. Предельная вероятность от такой замены также не поменяется, так как нормальное распределение абсолютно непрерывно и вероятность принять любое конкретное значение для него равна нулю. Однако исходная вероятность от такой замены может измениться, что вносит в формулу некоторую неоднозначность. Для больших значений изменение будет невелико, однако для небольших
это может внести дополнительную погрешность.
Для устранения этой неоднозначности, а также повышения точности приближения рекомендуется задавать интересующие события в виде интервалов с полуцелыми границами. При этом приближение получается точнее. Это связано с тем интуитивно понятным соображением, что аппроксимация кусочно-постоянной функции (функции распределения биномиального закона) с помощью непрерывной функции дает более точные приближения между точками разрыва, чем в этих точках.
Пример
Пусть ,
. Оценим вероятность того, что число успехов будет отличаться от наиболее вероятного значения
не более чем на
. Заметим, что
- значение очень мало, поэтому применение нормального приближения здесь довольно ненадежно.
Точная вероятность рассматриваемого события равна
Применим нормальное приближение с той расстановкой неравенств, которая дана выше (снизу строгое, сверху нестрогое):
Ошибка приближения равна
Теперь построим приближение, используя интервал с концами в полуцелых точках:
Ошибка приближения равна - примерно в 5 раз меньше, чем в предыдущем подходе.
Литература
1. Ширяев А.Н. Вероятность. — М.: МЦНМО, 2004.
Ссылки
- Биномиальное распределение (Википедия)
- Binomial distribution (Wikipedia)