Биномиальное распределение
Материал из MachineLearning.
м (→Интегральная теорема Муавра-Лапласа) |
м |
||
Строка 20: | Строка 20: | ||
==Определение== | ==Определение== | ||
- | ''Биномиальное распределение'' | + | ''Биномиальное распределение'' — дискретное распределение вероятностей [[случайная_величина|случайной величины]] <tex>X</tex>, принимающей целочисленные значения <tex>k=0,1,\ldots,n</tex> с вероятностями: |
- | + | ::<tex>P(X=k)={n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}</tex>. | |
- | Данное распределение характеризуется двумя параметрами: целым числом <tex>n>0</tex>, называемым ''числом испытаний'', и вещественным числом <tex>p</tex>, <tex>0\le p\le 1</tex>, называемом ''вероятностью успеха в одном испытании''. Биномиальное распределение | + | Данное распределение характеризуется двумя параметрами: целым числом <tex>n>0</tex>, называемым ''числом испытаний'', и вещественным числом <tex>p</tex>, <tex>0\le p\le 1</tex>, называемом ''вероятностью успеха в одном испытании''. Биномиальное распределение — одно из основных распределений вероятностей, связанных с последовательностью независимых испытаний. Если проводится серия из <tex>n</tex> независимых испытаний, в каждом из которых может произойти "успех" с вероятностью <tex>p</tex>, то случайная величина, равная числу успехов во всей серии, имеет указанное распределение. Эта величина также может быть представлена в виде суммы <tex>X=X_1+\cdots+X_n</tex> независимых слагаемых, имеющих [[распределение Бернулли]]. |
==Основные свойства== | ==Основные свойства== | ||
- | [[Характеристическая функция]] <tex>\phi(t)=(1+p(e^{it}-1))^n</tex> | + | [[Характеристическая функция]]: <tex>\phi(t)=(1+p(e^{it}-1))^n</tex>. |
[[Моменты случайной величины|Моменты]]: | [[Моменты случайной величины|Моменты]]: | ||
- | *Математическое ожидание: <tex>MX=np</tex> | + | *Математическое ожидание: <tex>MX=np</tex>. |
- | *Дисперсия: <tex>DX=np(1-p)</tex> | + | *Дисперсия: <tex>DX=np(1-p)</tex>. |
- | *[[Асимметрия]]: <tex>\gamma_1=\frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}</tex>; при <tex>p=0.5</tex> распределение симметрично относительно центра <tex>n/2</tex> | + | *[[Асимметрия]]: <tex>\gamma_1=\frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}</tex>; при <tex>p=0.5</tex> распределение симметрично относительно центра <tex>n/2</tex>. |
==Асимптотические приближения при больших n== | ==Асимптотические приближения при больших n== | ||
Строка 41: | Строка 41: | ||
===Приближение Пуассона=== | ===Приближение Пуассона=== | ||
- | Приближение распределением Пуассона применяется в ситуациях, когда значения <tex>n</tex> большие, а значения <tex>p</tex> близки к нулю. При этом биномиальное распределение аппроксимируется распределением Пуассона с параметром <tex>\lambda=np</tex>. | + | Приближение распределением Пуассона применяется в ситуациях, когда значения <tex>n</tex> большие, а значения <tex>p</tex> близки к нулю. При этом биномиальное распределение аппроксимируется распределением Пуассона с параметром <tex>\lambda=np</tex>. |
Строгая формулировка: если <tex>n\to\infty</tex> и <tex>p\to 0</tex> таким образом, что <tex>np\to\lambda</tex>, то | Строгая формулировка: если <tex>n\to\infty</tex> и <tex>p\to 0</tex> таким образом, что <tex>np\to\lambda</tex>, то | ||
- | + | ::<tex>P(X=k)\to\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad k=0, 1, 2, \ldots</tex>. | |
Более того, справедлива следующая оценка. Пусть <tex>Y</tex> - случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром <tex>\lambda=np</tex>. | Более того, справедлива следующая оценка. Пусть <tex>Y</tex> - случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром <tex>\lambda=np</tex>. | ||
Тогда для произвольного множества <tex>B\subset\{0,1,2,\ldots\}</tex> справедливо неравенство: | Тогда для произвольного множества <tex>B\subset\{0,1,2,\ldots\}</tex> справедливо неравенство: | ||
- | + | ::<tex>|P(X\in B) - P(Y\in B)|\le 2np^2</tex>. | |
Доказательство и обзор более точных результатов, касающихся точности данного приближения, можно найти в [1, гл. III, §12]. | Доказательство и обзор более точных результатов, касающихся точности данного приближения, можно найти в [1, гл. III, §12]. | ||
Строка 57: | Строка 57: | ||
Приближение нормальным распределением используется в ситуациях, когда <tex>n\to\infty</tex>, а <tex>p</tex> фиксировано. Это приближение можно рассматривать как частный случай центральной предельной теоремы, применение которой основано на представлении <tex>X</tex> в виде суммы <tex>n</tex> слагаемых. Приближение основано на том, что при указанных условиях распределение нормированной величины | Приближение нормальным распределением используется в ситуациях, когда <tex>n\to\infty</tex>, а <tex>p</tex> фиксировано. Это приближение можно рассматривать как частный случай центральной предельной теоремы, применение которой основано на представлении <tex>X</tex> в виде суммы <tex>n</tex> слагаемых. Приближение основано на том, что при указанных условиях распределение нормированной величины | ||
- | + | ::<tex>X'=\frac{X-MX}{\sqrt{DX}}=\frac{X-np}{\sqrt{npq}</tex>, где <tex>q=1-p</tex>, | |
близко к стандартному нормальному. | близко к стандартному нормальному. | ||
Строка 64: | Строка 64: | ||
Данная теорема используется для приближенного вычисления вероятностей отдельных значений биномиального распределения. Она утверждает [1, гл. I, §6], что равномерно по всем значениям <tex>k</tex>, таким что <tex>|k-np|=o(npq)^{2/3}</tex>, имеет место | Данная теорема используется для приближенного вычисления вероятностей отдельных значений биномиального распределения. Она утверждает [1, гл. I, §6], что равномерно по всем значениям <tex>k</tex>, таким что <tex>|k-np|=o(npq)^{2/3}</tex>, имеет место | ||
- | + | ::<tex>P(X=k)\sim\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{-\frac{(k-np)^2}{2npq}}=\frac{1}{\sqrt{npq}}\varphi\left(\frac{k-np}{\sqrt{npq}}\right)</tex>, | |
- | где <tex>\varphi</tex> | + | где <tex>\varphi</tex> — плотность стандартного нормального распределения. |
===Интегральная теорема Муавра-Лапласа=== | ===Интегральная теорема Муавра-Лапласа=== | ||
На практике необходимость оценки вероятностей отдельных значений, которую дает локальная теорема Муавра-Лапласа, возникает не часто. Гораздо более важно оценивать вероятности событий, включающих в себя множество значений. Для этого используется интегральная теорема, которую можно сформулировать в следующем виде [1, гл. I, §6]: | На практике необходимость оценки вероятностей отдельных значений, которую дает локальная теорема Муавра-Лапласа, возникает не часто. Гораздо более важно оценивать вероятности событий, включающих в себя множество значений. Для этого используется интегральная теорема, которую можно сформулировать в следующем виде [1, гл. I, §6]: | ||
- | + | ::<tex>\sup_{-\infty\le a<b\le\infty}\left|P\left(a<\frac{X-np}{\sqrt{npq}}\le b\right) - P(a<Z\le b)\right|\to 0</tex> при <tex>n\to\infty</tex>, | |
где случайная величина <tex>Y</tex> имеет стандартное нормальное распределение <tex>\mathcal{N}(0,1)</tex>, и аппроксимирующая вероятность определяется по формуле | где случайная величина <tex>Y</tex> имеет стандартное нормальное распределение <tex>\mathcal{N}(0,1)</tex>, и аппроксимирующая вероятность определяется по формуле | ||
- | + | ::<tex>P(a<Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)</tex>, | |
- | где <tex>\Phi(t)</tex> | + | где <tex>\Phi(t)</tex> — функция распределения стандартного нормального закона: <tex>\Phi(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^t e^{-t^2/2}\,dt</tex>. |
Есть ряд результатов, позволяющих оценить скорость сходимости. В [1, гл. I, §6] приводится следующий результат, являющийся частным случаем теоремы Берри-Эссеена: | Есть ряд результатов, позволяющих оценить скорость сходимости. В [1, гл. I, §6] приводится следующий результат, являющийся частным случаем теоремы Берри-Эссеена: | ||
- | + | ::<tex>\sup_{-\infty\le x\le\infty}|F_n(x)-\Phi(x)|\le\frac{p^2+q^2}{\sqrt{npq}}</tex>, | |
- | где <tex>F_n(x)</tex> | + | где <tex>F_n(x)</tex> — функция распределения случайной величины <tex>X'=\frac{X-np}{\sqrt{npq}}</tex>. На практике решение о том, насколько следует доверять нормальному приближению, принимают исходя из величины <tex>npq</tex>. Чем она больше, тем меньше будет погрешность приближения. |
Заметим, что асимптотический результат не изменится, если заменить строгие неравенства на нестрогие и наоборот. Предельная вероятность от такой замены также не поменяется, так как нормальное распределение абсолютно непрерывно и вероятность принять любое конкретное значение для него равна нулю. Однако исходная вероятность от такой замены может измениться, что вносит в формулу некоторую неоднозначность. Для больших значений <tex>n</tex> изменение будет невелико, однако для небольших <tex>n</tex> это может внести дополнительную погрешность. | Заметим, что асимптотический результат не изменится, если заменить строгие неравенства на нестрогие и наоборот. Предельная вероятность от такой замены также не поменяется, так как нормальное распределение абсолютно непрерывно и вероятность принять любое конкретное значение для него равна нулю. Однако исходная вероятность от такой замены может измениться, что вносит в формулу некоторую неоднозначность. Для больших значений <tex>n</tex> изменение будет невелико, однако для небольших <tex>n</tex> это может внести дополнительную погрешность. | ||
Строка 91: | Строка 91: | ||
===Пример=== | ===Пример=== | ||
- | Пусть <tex>n=20</tex>, <tex>p=0.5</tex>. Оценим вероятность того, что число успехов будет отличаться от наиболее вероятного значения <tex>10</tex> не более чем на <tex>3</tex>. Заметим, что <tex>npq=5</tex> | + | Пусть <tex>n=20</tex>, <tex>p=0.5</tex>. Оценим вероятность того, что число успехов будет отличаться от наиболее вероятного значения <tex>10</tex> не более чем на <tex>3</tex>. Заметим, что значение <tex>npq=5</tex> очень мало, поэтому применение нормального приближения здесь довольно ненадежно. |
Точная вероятность рассматриваемого события равна | Точная вероятность рассматриваемого события равна | ||
- | + | ::<tex>P(7\le X\le 13)\approx 0.8846</tex>. | |
Применим нормальное приближение с той расстановкой неравенств, которая дана выше (снизу строгое, сверху нестрогое): | Применим нормальное приближение с той расстановкой неравенств, которая дана выше (снизу строгое, сверху нестрогое): | ||
- | + | ::<tex>P(7\le X\le 13)=P(6<X\le 13)=P\left(\frac{6-10}{\sqrt{5}}<\frac{X-np}{\sqrt{npq}}\le\frac{13-10}{\sqrt{5}}\right)=P\left(-\frac{4}{\sqrt{5}}<\frac{X-np}{\sqrt{npq}}\le\frac{3}{\sqrt{5}}\right)\approx P\left(-\frac{4}{\sqrt{5}}<Z\le\frac{3}{\sqrt{5}}\right)=\Phi\left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right) - \Phi\left(-\frac{4}{\sqrt{5}}\right)\approx 0.8733</tex>. | |
- | Ошибка приближения равна <tex>0.0113</tex> | + | Ошибка приближения равна <tex>0.0113</tex>. |
Теперь построим приближение, используя интервал с концами в полуцелых точках: | Теперь построим приближение, используя интервал с концами в полуцелых точках: | ||
- | + | ::<tex>P(7\le X\le 13)=P(6.5<X< 13.5)=P\left(-\frac{3.5}{\sqrt{5}}<\frac{X-np}{\sqrt{npq}}\le\frac{3.5}{\sqrt{5}}\right)\approx P\left(-\frac{3.5}{\sqrt{5}}<Z\le\frac{3.5}{\sqrt{5}}\right)=\Phi\left(\frac{3.5}{\sqrt{5}}\right) - \Phi\left(-\frac{3.5}{\sqrt{5}}\right)\approx 0.8824</tex>. | |
- | Ошибка приближения равна <tex>0.0022</tex> | + | Ошибка приближения равна <tex>0.0022</tex> — примерно в 5 раз меньше, чем в предыдущем подходе. |
==Литература== | ==Литература== |
Версия 13:13, 18 мая 2010
Функция вероятности | |
Функция распределения | |
Параметры | — число «испытаний» — вероятность «успеха» |
Носитель | |
Функция вероятности | |
Функция распределения | |
Математическое ожидание | |
Медиана | одно из |
Мода | |
Дисперсия | |
Коэффициент асимметрии | |
Коэффициент эксцесса | |
Информационная энтропия | |
Производящая функция моментов | |
Характеристическая функция |
Содержание |
Определение
Биномиальное распределение — дискретное распределение вероятностей случайной величины , принимающей целочисленные значения с вероятностями:
- .
Данное распределение характеризуется двумя параметрами: целым числом , называемым числом испытаний, и вещественным числом , , называемом вероятностью успеха в одном испытании. Биномиальное распределение — одно из основных распределений вероятностей, связанных с последовательностью независимых испытаний. Если проводится серия из независимых испытаний, в каждом из которых может произойти "успех" с вероятностью , то случайная величина, равная числу успехов во всей серии, имеет указанное распределение. Эта величина также может быть представлена в виде суммы независимых слагаемых, имеющих распределение Бернулли.
Основные свойства
- Математическое ожидание: .
- Дисперсия: .
- Асимметрия: ; при распределение симметрично относительно центра .
Асимптотические приближения при больших n
Если значения велики, то непосредственное вычисление вероятностей событий, связанных с данной случайной величиной, технически затруднительно. В этих случаях можно использовать приближения биномиального распределения распределением Пуассона и нормальным (приближение Муавра-Лапласа).
Приближение Пуассона
Приближение распределением Пуассона применяется в ситуациях, когда значения большие, а значения близки к нулю. При этом биномиальное распределение аппроксимируется распределением Пуассона с параметром .
Строгая формулировка: если и таким образом, что , то
- .
Более того, справедлива следующая оценка. Пусть - случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром . Тогда для произвольного множества справедливо неравенство:
- .
Доказательство и обзор более точных результатов, касающихся точности данного приближения, можно найти в [1, гл. III, §12].
Нормальное приближение
Приближение нормальным распределением используется в ситуациях, когда , а фиксировано. Это приближение можно рассматривать как частный случай центральной предельной теоремы, применение которой основано на представлении в виде суммы слагаемых. Приближение основано на том, что при указанных условиях распределение нормированной величины
- , где ,
близко к стандартному нормальному.
Локальная теорема Муавра-Лапласа
Данная теорема используется для приближенного вычисления вероятностей отдельных значений биномиального распределения. Она утверждает [1, гл. I, §6], что равномерно по всем значениям , таким что , имеет место
- ,
где — плотность стандартного нормального распределения.
Интегральная теорема Муавра-Лапласа
На практике необходимость оценки вероятностей отдельных значений, которую дает локальная теорема Муавра-Лапласа, возникает не часто. Гораздо более важно оценивать вероятности событий, включающих в себя множество значений. Для этого используется интегральная теорема, которую можно сформулировать в следующем виде [1, гл. I, §6]:
- при ,
где случайная величина имеет стандартное нормальное распределение , и аппроксимирующая вероятность определяется по формуле
- ,
где — функция распределения стандартного нормального закона: .
Есть ряд результатов, позволяющих оценить скорость сходимости. В [1, гл. I, §6] приводится следующий результат, являющийся частным случаем теоремы Берри-Эссеена:
- ,
где — функция распределения случайной величины . На практике решение о том, насколько следует доверять нормальному приближению, принимают исходя из величины . Чем она больше, тем меньше будет погрешность приближения.
Заметим, что асимптотический результат не изменится, если заменить строгие неравенства на нестрогие и наоборот. Предельная вероятность от такой замены также не поменяется, так как нормальное распределение абсолютно непрерывно и вероятность принять любое конкретное значение для него равна нулю. Однако исходная вероятность от такой замены может измениться, что вносит в формулу некоторую неоднозначность. Для больших значений изменение будет невелико, однако для небольших это может внести дополнительную погрешность.
Для устранения этой неоднозначности, а также повышения точности приближения рекомендуется задавать интересующие события в виде интервалов с полуцелыми границами. При этом приближение получается точнее. Это связано с тем интуитивно понятным соображением, что аппроксимация кусочно-постоянной функции (функции распределения биномиального закона) с помощью непрерывной функции дает более точные приближения между точками разрыва, чем в этих точках.
Пример
Пусть , . Оценим вероятность того, что число успехов будет отличаться от наиболее вероятного значения не более чем на . Заметим, что значение очень мало, поэтому применение нормального приближения здесь довольно ненадежно.
Точная вероятность рассматриваемого события равна
- .
Применим нормальное приближение с той расстановкой неравенств, которая дана выше (снизу строгое, сверху нестрогое):
- .
Ошибка приближения равна .
Теперь построим приближение, используя интервал с концами в полуцелых точках:
- .
Ошибка приближения равна — примерно в 5 раз меньше, чем в предыдущем подходе.
Литература
1. Ширяев А.Н. Вероятность. — М.: МЦНМО, 2004.
Ссылки
- Биномиальное распределение (Википедия)
- Binomial distribution (Wikipedia)