Анализ формальных понятий
Материал из MachineLearning.
(→Основные определения) |
|||
Строка 33: | Строка 33: | ||
(''более частным''), чем понятие <tex>Y = (C, D)</tex>, <tex>(A, B) \leq (C, D)</tex>, | (''более частным''), чем понятие <tex>Y = (C, D)</tex>, <tex>(A, B) \leq (C, D)</tex>, | ||
если <tex>A\subseteq C</tex>, что эквивалентно <tex>D\subseteq B</tex> (<tex>Y</tex> – ''обобщение'' <tex>X</tex>). | если <tex>A\subseteq C</tex>, что эквивалентно <tex>D\subseteq B</tex> (<tex>Y</tex> – ''обобщение'' <tex>X</tex>). | ||
+ | |||
+ | В работе Г. Биркгоф, 1989 было показано, что подмножества | ||
+ | произвольного множества, замкнутые относительно заданной на нем | ||
+ | операции замыкания, образуют полную решётку, а в работах | ||
+ | Wille, 1982, Ganter & Wille, 1999 было показано, что множество | ||
+ | всех понятий формального контекста <tex>\mathbb{K}</tex> образует полную решётку. | ||
+ | |||
+ | '''Определение 3.''' | ||
+ | Множество понятий контекста <tex>\mathfrak{B}(G,M,I)</tex> образует решётку <tex>\underline{{\mathfrak B}}(G,M,I) | ||
+ | \stackrel{\mathrm{def}}{=} (\mathfrak{B}(G,M,I),\wedge,\vee)</tex>, где <tex>(A_1, B_1)\wedge (A_2, B_2) = (A_1\cap A_2, (A_1\cap A_2)^{\prime})</tex>. и <tex>(A_1, B_1)\vee (A_2, B_2) = ((B_1\cap B_2)^{\prime}, B_1\cap B_2)</tex>. Такие решётки | ||
+ | называют ''решётками понятий'' или ''решётками Галуа'' (см. Ganter & Wille, 1999). | ||
==Прикладные задачи== | ==Прикладные задачи== |
Версия 18:52, 30 октября 2010
Анализ формальных понятий (АФП) – прикладная ветвь алгебраической теории решеток.
Содержание |
Основные определения
Определение 1.
Формальный контекст есть тройка
, где
– множество, называемое множеством объектов,
– множество, называемое множеством признаков,
– отношение инцидентности.
Отношение интерпретируется следующим образом: для
,
имеет место
, если объект
обладает признаком
.
Для формального контекста и произвольных
и
определена пара отображений:
которые задают соответствие Галуа между частично упорядоченными
множествами и
, а оператор
является оператором замыкания на
– дизъюнктном объединении
и
, т.е. для произвольного
или
имеют место следующие соотношения:
(экстенсивность),
(идемпотентность),
- если
, то
(изотонность).
Множество называется замкнутым если
.
Определение 2.
Формальное понятие формального контекста есть
пара
, где
,
,
и
. Множество
называется объёмом, а
– содержанием понятия
.
Очевидно, что объем и содержание произвольного формального понятия являются замкнутыми множествами.
Множество формальных понятий контекста , которое мы будем
обозначать посредством
, частично упорядочено по вложению
объёмов: формальное понятие
является менее общим
(более частным), чем понятие
,
,
если
, что эквивалентно
(
– обобщение
).
В работе Г. Биркгоф, 1989 было показано, что подмножества
произвольного множества, замкнутые относительно заданной на нем
операции замыкания, образуют полную решётку, а в работах
Wille, 1982, Ganter & Wille, 1999 было показано, что множество
всех понятий формального контекста образует полную решётку.
Определение 3.
Множество понятий контекста образует решётку
, где
. и
. Такие решётки
называют решётками понятий или решётками Галуа (см. Ganter & Wille, 1999).
Прикладные задачи
Программное обеспечение
Библиография и ссылки
- Биркгоф Г. Теория решеток. — М.: Наука, 1989.
- B. Ganter, R. Wille Formal Concept Analysis: Mathematical Foundations. — Springer, 1999.