Сезонность
Материал из MachineLearning.
Строка 1: | Строка 1: | ||
- | |||
- | |||
В экономике многие явления характеризуются периодически повторяющимися сезонными эффектами. Соответственно временные ряды, их отражающие, содержат периодические сезонные колебания. Эти ряды и их колебания можно представить как генерируемые моделями двух основных типов: моделями с мультипликативными и с аддитивными '''коэффициентами сезонности'''. | В экономике многие явления характеризуются периодически повторяющимися сезонными эффектами. Соответственно временные ряды, их отражающие, содержат периодические сезонные колебания. Эти ряды и их колебания можно представить как генерируемые моделями двух основных типов: моделями с мультипликативными и с аддитивными '''коэффициентами сезонности'''. | ||
Строка 7: | Строка 5: | ||
<tex>x_t~=~\xi_t+\epsilon_t</tex> | <tex>x_t~=~\xi_t+\epsilon_t</tex> | ||
- | <tex>\xi_t = | + | <tex>\xi_t = a_tf_t</tex>, |
- | где динамика величины <tex> | + | где динамика величины <tex>a_t</tex> характеризует тенденцию развития процесса; |
<tex>f_t</tex>, <tex>f_{t-1}</tex>,..., <tex>f_{t-l+1}</tex> — коэффициенты сезонности; | <tex>f_t</tex>, <tex>f_{t-1}</tex>,..., <tex>f_{t-l+1}</tex> — коэффициенты сезонности; | ||
Строка 21: | Строка 19: | ||
<tex>x_t~=~\xi_t+\epsilon_t</tex> | <tex>x_t~=~\xi_t+\epsilon_t</tex> | ||
- | <tex>\xi_t = | + | <tex>\xi_t = a_t+g_t</tex>, |
- | где величина <tex> | + | где величина <tex>a_t</tex> описывает тенденцию развития процесса; |
<tex>g_t</tex>, <tex>g_{t-1}</tex>,..., <tex>g_{t-l+1}</tex> — аддитивные коэффициенты сезонности; | <tex>g_t</tex>, <tex>g_{t-1}</tex>,..., <tex>g_{t-l+1}</tex> — аддитивные коэффициенты сезонности; | ||
<tex>l</tex> — количество фаз в полном сезонном цикле; | <tex>l</tex> — количество фаз в полном сезонном цикле; | ||
+ | |||
+ | <tex>\epsilon_t</tex> — неавтокоррелированный шум с нулевым математическим ожиданием. | ||
+ | |||
+ | Адаптивная модель с мультипликативной сезонностью была предложена П. Р. Уинтерсом. Аддитивная модель рассмотрена Г. Тейлом и С. Вейджем. Уинтерс поставил задачу разработать модель для прогнозирования объемов сезонных продаж с использованием ЭВМ. Модель должна быть такой, чтобы: а) прогнозы рассчитывались на основе одних и тех же программ для большого количества продуктов; б) вычисления производились быстро и дешево; в) использовался минимальный объем памяти для информации; г) учитывались изменяющиеся условия. | ||
+ | Поэтому целесообразно в прогностических моделях учитывать конкретный характер тенденции и сезонных колебаний. Это и сделал Уинтерс с помощью экспоненциальной схемы. Модель при этом становится сложнее, зато и точность прогнозов для большинства товаров существенно возрастает. | ||
+ | Ниже приведен более простой вариант модели, который содержит только сезонный эффект. | ||
+ | |||
+ | == Прогнозирование с коэффициентами сезонности == | ||
+ | |||
+ | Модель имеет вид: | ||
+ | |||
+ | <tex>a_t = \alpha_1~\frac{x_t}{f_{t-l}}+(1-\alpha_1)a_{t-1}</tex>, <tex>0<\alpha_1<1</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>f_t = \alpha_2~\frac{x_t}{a_t}+(1-\alpha_2)f_{t-l}</tex>, <tex>0<\alpha_2<1</tex> | ||
+ | |||
+ | Как видим, <tex>a_t</tex> является взвешенной суммой текущей оценки <tex>\frac{x_t}{f_{t-l}</tex>, полученной путем очищения от сезонных колебаний фактических данных <tex>x_t</tex> и предыдущей оценки <tex>a_{t-1}</tex>. | ||
+ | В качестве коэффициента сезонности <tex>f_t</tex> берется его наиболее поздняя оценка, сделанная для аналогичной фазы цикла. | ||
+ | Затем величина <tex>a_t</tex>, полученная по первому уравнению, используется для определения новой оценки коэффициента сезонности по второму уравнению. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Величины <tex>a_t</tex> и <tex>f_t</tex> могут быть записаны через прошлые данные и начальные условия: | ||
+ | |||
+ | <tex>a_t = \alpha_1~\sum_{n=0}^t (1-\alpha_1)^n\frac{x_{t-n}}{f_{t-l-n}}+(1-\alpha_1)^{t+1}a_0</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>f_t = \alpha_2~\sum_{n=0}^J (1-\alpha_2)^n\frac{x_{t-nl}}{f_{t-nl}}+(1-\alpha_2)^{J+1}f_{i,0}</tex>, | ||
+ | |||
+ | где <tex>a_0</tex> — начальное значение <tex>a</tex>; | ||
+ | |||
+ | <tex>f_{i,0}</tex> — начальное значение <tex>f</tex> в соответствующей <tex>i</tex> фазе (месяце) цикла (года); | ||
+ | |||
+ | <tex>J</tex> — наибольшая целая часть <tex>\frac{t}{l}</tex>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == Литература == | ||
+ | # ''Лукашин Ю.П.'' Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов - М. Финансы и статистика, 2003 - стр. 50 |
Версия 14:28, 10 января 2009
В экономике многие явления характеризуются периодически повторяющимися сезонными эффектами. Соответственно временные ряды, их отражающие, содержат периодические сезонные колебания. Эти ряды и их колебания можно представить как генерируемые моделями двух основных типов: моделями с мультипликативными и с аддитивными коэффициентами сезонности.
Модели первого типа имеют вид:
,
где динамика величины характеризует тенденцию развития процесса;
, ,..., — коэффициенты сезонности;
— количество фаз в полном сезонном цикле (если ряд представляет месячные наблюдения, то в экономике обычно = 12, при квартальных данных = 4 и т. п.);
— неавтокоррелированный шум с нулевым математическим ожиданием.
Модели второго типа записываются как:
,
где величина описывает тенденцию развития процесса;
, ,..., — аддитивные коэффициенты сезонности;
— количество фаз в полном сезонном цикле;
— неавтокоррелированный шум с нулевым математическим ожиданием.
Адаптивная модель с мультипликативной сезонностью была предложена П. Р. Уинтерсом. Аддитивная модель рассмотрена Г. Тейлом и С. Вейджем. Уинтерс поставил задачу разработать модель для прогнозирования объемов сезонных продаж с использованием ЭВМ. Модель должна быть такой, чтобы: а) прогнозы рассчитывались на основе одних и тех же программ для большого количества продуктов; б) вычисления производились быстро и дешево; в) использовался минимальный объем памяти для информации; г) учитывались изменяющиеся условия. Поэтому целесообразно в прогностических моделях учитывать конкретный характер тенденции и сезонных колебаний. Это и сделал Уинтерс с помощью экспоненциальной схемы. Модель при этом становится сложнее, зато и точность прогнозов для большинства товаров существенно возрастает. Ниже приведен более простой вариант модели, который содержит только сезонный эффект.
Прогнозирование с коэффициентами сезонности
Модель имеет вид:
,
,
Как видим, является взвешенной суммой текущей оценки , полученной путем очищения от сезонных колебаний фактических данных и предыдущей оценки . В качестве коэффициента сезонности берется его наиболее поздняя оценка, сделанная для аналогичной фазы цикла. Затем величина , полученная по первому уравнению, используется для определения новой оценки коэффициента сезонности по второму уравнению.
Величины и могут быть записаны через прошлые данные и начальные условия:
,
где — начальное значение ;
— начальное значение в соответствующей фазе (месяце) цикла (года);
— наибольшая целая часть .
Литература
- Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов - М. Финансы и статистика, 2003 - стр. 50