Конкордация Кенделла

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Текущая версия

Содержание

1 Пример задачи
2 Определение
3 Статистическая проверка наличия корреляции
- 3.1 Статистика
- 3.2 Критерий
4 Литература
5 См. также
6 Ссылки

Конкордация Кенделла - это непараметрический статистикий тест. Он обычно используется для измерения статистической связи между несколькими выборками. И если для корреляции Пирсона используется дополнительное предположение о нормальности выборок и сравниваются одновременно только две выборки, то в конкордации Кенделла нет предположения о виде распределении и используется любое количество выборок.

Пример задачи

(инвестиционные проекты)

Пусть имеется $n$ объектов (инвестиционных проектов). В экспертный совет по принятию этих проектов входят $k$ человек. Каждый эксперт выставляет оценки каждому проекту в ранговых шкалах. Требуется выяснить, насколько согласны между собой эксперты.

Определение

Пусть заданы $k\ (k \ge 2)$ выборок $x_1=(x_1^1,\ \cdots,x_n^1),\cdots,\ x_k=(x_1^k,\cdots,x_n^k)$ . Они все одинаковой длина $n$ .

Для нахождения статистической связи между несколькими выборками Кенделлом был предложен ранговый коэффициент конкордации

$W=\frac{12}{k^2 (n^3-n)}\sum_{i=1}^{n}(\sum_{j=1}^{k}R_{ij}-\frac{k(n+1)}{2})^2$ ,

где $R_{ij}\in\{1,\cdots,n\}$ - ранг $i$ -го элемента в $X_j$ выборке.

Коэффициент конкордации принимает значения от 0 до 1. Причём он равен 1 при максимальной согласованности и равен 0 при максимальной несогласованности.

Опишем некоторые свойства:

1) $W\in[0,1]$ Причём $W=1$ тогда и только тогда, когда $R_{ij}=R_{il} \ \forall i,j,l$

То, что $W$ не принимает отрицательных значений, объясняется тем, что в отличие от случая парных связей для $k\geq 3$ выборок противоположность согласованности утрачивается: упорядочения могут полностью совпадать, но не могут полностью не совпадать.

2)Коэффициент конкордации (согласованности) Кенделла может быть представлен

$W=\frac{k-1}{k} \frac{2}{k(k-1)}\sum_{i<j}\rho_{x_i x_j}+\frac{1}{k}$

где $\rho_{x_i x_j}$ - коэффициент корреляции Спирмена

$\frac{2}{k(k-1)}\sum_{i<j}\rho_{x_i x_j}$ - среднее арифметическое Спирмена

При $k=2$ получаем, что $W=\frac{\rho+1}{2}$ т.е. коэффициент конкордации $W$ линейно зависит от коэффициента корреляции Спирмена $\rho$

Статистическая проверка наличия корреляции

Проверяется гипотеза $H_0$ : выборки $X_1,\cdots,\ X_k$ независимы.

Статистика

$n(k-1)W$

имеет распрелеление хи-квадрат с $(n-1)$ степенью свободы при больших $n$

Критерий

При $n(k-1)W>\chi_{n-1,\alpha}^2$ нулевая гипотеза об отсутствии статистической связи между выборками должна быть отвергнута с уровнем значимости критерия, равным $\alpha$ . $\chi_{n-1,\alpha}^2$ - $\alpha$ - квантиль хи-квадрат распределения с $(n-1)$ степенью свободы.

Литература

Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика:Учебное пособие.-М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007.-472с.

См. также

Ссылки

Kendall's W (Wikipedia)

Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%9A%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%B0»

Категории: Прикладная статистика | Корреляционный анализ

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 {{TOCright}}
-'''Статья находится в разработке.'''
+'''Конкордация Кенделла''' - это непараметрический статистикий тест. Он обычно используется для измерения статистической связи между несколькими выборками. И если для [[Корреляция Пирсона|корреляции Пирсона]] используется дополнительное предположение о нормальности выборок и сравниваются одновременно только две выборки, то в конкордации Кенделла нет предположения о виде распределении и используется любое количество выборок.
-'''Конкардация Кенделла''' - это непараметрический статистикий тест. Он обычно используется для измерения статистической связи между несколькими выборками. И если для корреляции Пирсона используется дополнительное предположение о нормальности выборок и сравниваются одновременно только две выборки, то в конкардации Кенделла нет предположения о виде распределении и используется любое количество выборок.
+==Пример задачи==
-==Примеры задач==
+(инвестиционные проекты)
-'''Пример 1. (инвестиционные проекты)'''
 Пусть имеется <tex>n</tex> объектов (инвестиционных проектов). В экспертный совет по принятию этих проектов входят <tex>k</tex> человек. Каждый эксперт выставляет оценки каждому проекту в ранговых шкалах. Требуется выяснить, насколько согласны между собой эксперты.
@@ Строка 13: / Строка 11: @@
 ==Определение==
-Заданы <tex>k\ (k \ge 2)</tex> выборок <tex>x_1=(x_1^1,\ \cdots,x_n^1),\cdots,\ x_k=(x_1^k,\cdots,x_n^k)</tex>.
+Пусть заданы <tex>k\ (k \ge 2)</tex> выборок <tex>x_1=(x_1^1,\ \cdots,x_n^1),\cdots,\ x_k=(x_1^k,\cdots,x_n^k)</tex>. Они все одинаковой длина <tex>n</tex>.
-'''Коэффициент конкордации (согласованности) Кенделла''' равен
+Для нахождения статистической связи между несколькими выборками Кенделлом был предложен '''ранговый коэффициент конкордации'''
-<tex>W=\frac{k-1}{k}\underbrace{ \frac{2}{k(k-1)}\sum_{i<j}\rho_{x_i x_j} }_{среднее арифметическое
+<tex>W=\frac{12}{k^2 (n^3-n)}\sum_{i=1}^{n}(\sum_{j=1}^{k}R_{ij}-\frac{k(n+1)}{2})^2</tex>,
-Спирмена}+\frac{1}{k}</tex>
+где <tex>R_{ij}\in\{1,\cdots,n\}</tex> - ранг <tex>i</tex>-го элемента в  <tex>X_j</tex> выборке.
-где <tex>\rho_{x_i x_j}</tex> - [[Коэффициент корреляции Спирмена|коэффициент корреляции Спирмена]]
+Коэффициент конкордации принимает значения от 0 до 1. Причём он равен 1 при максимальной согласованности и равен 0 при максимальной несогласованности.
-'''Ранговый коэффициент конкордации'''
-<tex>W=\frac{12}{k^2 (n^3-n)}\sum_{i=1}^{n}(\sum_{j=1}^{k}R_{ij}-\frac{k(n+1)}{2})^2</tex>,
+Опишем некоторые '''свойства:'''
-где <tex>R_{ij}\in\{1,\cdots,n\}</tex> - ранг <tex>i</tex>-го элемента в  <tex>X_j</tex> выборке.
+) <tex>W\in[0,1]</tex>
+Причём <tex>W=1</tex> тогда и только тогда, когда <tex>R_{ij}=R_{il} \ \forall i,j,l</tex>
-'''Свойства:'''
+То, что <tex>W</tex> не принимает отрицательных значений, объясняется тем, что в отличие от случая парных связей для <tex>k\geq 3</tex> выборок противоположность согласованности утрачивается: упорядочения могут полностью совпадать, но не могут полностью не совпадать.
-) <tex>W\in[0,1]</tex>
+)'''Коэффициент конкордации (согласованности) Кенделла''' может быть представлен
+<tex>W=\frac{k-1}{k} \frac{2}{k(k-1)}\sum_{i<j}\rho_{x_i x_j}+\frac{1}{k}</tex>
-'''Замечание'''
+где <tex>\rho_{x_i x_j}</tex> - [[Коэффициент корреляции Спирмена|коэффициент корреляции Спирмена]]
-при <tex>k=2</tex> получаем, что
-<tex>W=\frac{\rho+1}{2}</tex>
+<tex>\frac{2}{k(k-1)}\sum_{i<j}\rho_{x_i x_j}</tex> - среднее арифметическое Спирмена
+При <tex>k=2</tex> получаем, что <tex>W=\frac{\rho+1}{2}</tex>
 т.е. коэффициент конкордации <tex>W</tex> линейно зависит от [[Коэффициент корреляции Спирмена|коэффициента корреляции Спирмена]] <tex>\rho</tex>
 ==Статистическая проверка наличия корреляции==
-'''Гипотеза''' <tex>H_0:\ X_1,\cdots,\ X_k</tex> независимы.
+Проверяется [[Нулевая гипотеза|'''гипотеза''']] <tex>H_0</tex>: выборки <tex>X_1,\cdots,\ X_k</tex> независимы.
+===Статистика===
+<tex>n(k-1)W</tex>
+имеет распрелеление хи-квадрат с <tex>(n-1)</tex> степенью свободы при больших <tex>n</tex>
+===Критерий===
+При <tex>n(k-1)W>\chi_{n-1,\alpha}^2</tex> нулевая гипотеза об отсутствии статистической связи между выборками должна быть отвергнута с [[Уровень значимости|уровнем значимости]] критерия, равным <tex>\alpha</tex>.
+<tex>\chi_{n-1,\alpha}^2</tex> - <tex>\alpha</tex> - [[Квантиль|квантиль]] хи-квадрат распределения с <tex>(n-1)</tex> степенью свободы.
-'''Статистика''': <tex>n(k-1)W</tex>
-имеет распрелеление хи-квадрат с <tex>(n-1)</tex> степенями свободы
 ==Литература==
@@ Строка 55: / Строка 63: @@
 == Ссылки ==
-* [http://en.wikipedia.org/wiki/Kendall's_W] (Wikipedia)
+* [http://en.wikipedia.org/wiki/Kendall's_W Kendall's W] (Wikipedia)
 [[Категория: Прикладная статистика]]
-[[Категория:Корреляционный анализ|К]]
+[[Категория:Корреляционный анализ]]