Алгоритм LOWESS

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Перейти к: навигация, поиск

Версия 01:27, 5 января 2010

Статья плохо доработана.

Имеются указания по её улучшению:

Алгоритм LOWESS (locally weighted scatter plot smoothing) - локально взвешенное сглаживание.

Содержание

1 Введение
2 Примеры
- 2.1 Непараметрическая регрессия
  - 2.1.1 Оптимизация ширины окна
3 Проблема выбросов
- 3.1 Алгоритм LOWESS
- 3.2 Выбор ядра
4 Примеры применения
5 Литература
6 См. также

Введение

Рис. 1. Пример применения lowess-сглаживания

Данная методика была предложена Кливлендом(Cleveland) в 1979 году для моделирования и сглаживания двумерных данных $X^m={(x_i, y_i)}_{i=1}^m$ . Эта техника предоставляет общий и гибкий подход для приближения двумерных данных.

Локально линейная модель loess(lowess) можеть быть записана в виде:

$y_t=\alpha_t+\beta_t x_t + \varepsilon_t.$

Эта модель может быть расширена на случай локально-квадратичной зависимости и на модель с больши’м числом независимых переменных.

Параметры $\alpha_t$ и $\beta_t$ локально линейной модели оцениваются, с помощью локально взвешенной регрессии, которая присваивает объекту тем больший вес, чем более близок он близким к объекту $t$ . Характер

взвешивания определяется с помощью параметра сглаживания $f$ , который выбирает пользователь.

Параметр $f$ какая указывает доля данных используется в процедуре. Если $f = 0.5$ , то только половина данных используется для оценки и влияет на результат, и тогда мы получим умеренное сглаживание. С другой стороны, если $f = 0.8$ , то используются восемьдесят процентов данных, и сглаживание намного сильнее. Во всех случаях веса данных

тем больше чем они ближе к объекту $t$ .

Процедура оценки использует не метод наименьших квадратов, а более устойчивый(робастный) метод, который принимает меры против выбросов.

График приближенных значений

$y_t=\hat{\alpha_t}+\hat{\beta_t}x_t$

против $x_t$ полезен для подведения итогов о связи между $y_t$ и $x_t$ . Для проверки качества приближения полученного с помощью процедуры устойчивого loess полезно посмотреть на график остатков обычной регресссии, то есть в осях (i) остатки против числа наблюдения (ii) остатки против приближенных значений, (iii) остатки против значений независимой переменной. Как показал Кливленд, может быть предпочтительно использовать график в осях модули остатков против полученных приближенных значений вместо графика (ii) для устойчивого loess сглаживания, чтобы проверить наличие тренда или других систематических особенностей.

Когда $m > 100$ вычисления могут быть слишком долгими, в этом случае можно сократить количество вычислений оценивая $\hat{\alpha_t}$ и $\hat{\beta_t}$ только в точках отстоящих друг от друга как минимум на $\delta$ единиц, где параметр $\delta$ может задаваться либо приниматься по умолчанию. Рекомендуемые значения

$\delta=0,$ Если $m <= 100$

$\delta=0.03*IQR,$ Если $m > 100$ , где $IQR$ — межквартильных размах(Interquartile range).

С такими параметрами вычисления будут выполнены для примерно 100 точек.

Примеры

Рис. 2. Задание параметра сглаживания $f$

Решается задача восстановления регрессии. Задано пространство объектов $X$ и множество возможных ответов $Y=R$ . Существует неизвестная целевая зависимость $y^*: X \rightarrow Y$ , значения которой известны только на объектах обучающей выборки . Требуется построить алгоритм $a: X \rightarrow Y$ , аппроксимирующий целевую зависимость $y^*$ .

Непараметрическая регрессия

Непараметрическое восстановление регрессии основано на идее, что значение $a(x)$ вычисляется

для каждого объекта $x$ по нескольким ближайшим к нему объектам обучающей выборки.

В формуле Надарая–Ватсона для учета близости объектов $x_i$ обучающей выборки к объекту $a(x)$ предлагалось использовать невозрастающую, гладкую, ограниченную функцию $K: [0,\infty) \rightarrow [0,\infty)$ , называемую ядром:

$w_i(x) = K\left( \frac{\rho(x, x_i)}{h}\right)$

Параметр $h$ называется шириной ядра или шириной окна сглаживания. Чем меньше $h$ , тем быстрее будут убывать веса $w_i(x)$ по мере удаления $x_i$ от $x$ . В общем случае $h$ зависит от объекта $x$ , т.е. $h=h(x)$ . Тогда веса вычисляются по формуле $\textstyle w_i(x) = K\left( \frac{\rho(x, x_i)}{h(x)}\right)$

Оптимизация ширины окна

Чтобы оценить при данном $h$ и $K$ точность локальной аппроксимации в точке $x_i$ , саму эту точку необходимо исключить из обучающей выборки. Если этого не делать, минимум ошибки будет достигаться при $h\rightarrow 0$ . Такой способ оценивания оптимальной ширины окна называется скользящим контролем с исключением объектов по одному (leave-one-out, LOO):

$LOO(h,X^m) = \sum_{i=1}^m{\left(a_h(x_i;X^m\setminus\{x_i\}) - y_i \right)^2} \rightarrow min\limits_h$

Проблема выбросов

Оценка Надарайя–Ватсона $\textstyle a_h(x,X^m) = \frac{\sum_{i=1}^m{y_iw_i}}{\sum_{i=1}^m{w_i}}$

крайне чувствительна к большим одиночным выбросам. На практике легко идентифицируются только грубые ошибки, возникающие, например, в результате сбоя оборудования или невнимательности персонала при подготовке данных. В общем случае можно лишь утверждать, что чем больше величина ошибки

$\varepsilon_i = \left | a_h \left (x_i;X^m\setminus\{x_i\} \right) -y_i \right |$

тем в большей степени прецедент $(x_i,y_i)$ является выбросом , и тем меньше должен быть его вес. Эти соображения приводят к идее домножить веса $w_i(x)$ на коэффициенты $\gamma_i = \bar{K}(\varepsilon_i)$ , где $\bar{K}$ — ещё одно ядро, вообще говоря, отличное от $K$ .

Алгоритм LOWESS

Вход

$X^m$ - обучающая выборка;

$w_i \, i=1,\ldots,m$ весовые функции;

Выход

Коэффициенты $\gamma_i, i=1,\ldots,m$

Алгоритм

1: инициализация

$\gamma_i:=1, i=1,\ldots,m$

2: повторять

3: вычислить оценки скользящего контроля на каждом объекте:

$a_i:=a_h$ x_i;X^m\setminus\{x_i\} $=\frac{\sum_{j=1,j\ne i}^m y_j\gamma_j w_j}{\sum_{j=1,j\ne i}^m \gamma_j w_j },\;i=1,\ldots,m$

4: вычислить новые значения коэффициентов $\gamma_i$ :

$\varepsilon_i = \left | a_i -y_i \right |$

$\gamma_i:=\bar{K}( \varepsilon_i ) ,\;i=1,\ldots,m$ ;

5: пока коэффициенты $\gamma_i$ не стабилизируются

Коэффициенты $\gamma_i$ , как и ошибки $\varepsilon_i$ , зависят от функции $a_h$ , которая, в свою очередь, зависит от $\gamma_i$ . На каждой итерации строится функция $a_h$ , затем уточняются весовые множители $\gamma_i$ . Как правило, этот процесс сходится довольно быстро. Он называется локально взвешенным сглаживанием (locally weighted scatter plot smoothing, LOWESS).

Выбор ядра $\bar{K}$

В качестве ядра $\bar{K}$ большинство практических источников рекомендуют использовать следующее:

Пусть $s$ - есть медиана коэффициентов $\gamma_1,\ldots,\gamma_m$ , тогда $\gamma_i = K(\frac{\varepsilon_i}{6s})$ , где

$K(z)=(1-|z|^2)^2, \, \, |z|<=1 \\ K(z)=0, \,\, |z|>1$

Более простой вариант, состоит в отбросе $t$ коэффициентов, соответствующих объектам с максимальными $\varepsilon_i$ . Это соотвествует ядру

$K(z)=[z<\varepsilon^{(m-t)}], \, \, \\ K(z)=0, \,\, |z|>=\varepsilon^{(m-t)},$

где $\varepsilon^{(m-t)}$ –- $(m-t)$ - тый член вариационного ряда $\varepsilon^{(1)}<=,\ldots,<=\varepsilon^{(m)}$

Примеры применения

Литература

Воронцов К.В. Лекции по алгоритмам восстановления регрессии. — 2007.

A.I. McLeod Statistics 259b Robust Loess: S lowess. — 2004.

John A Berger, Sampsa Hautaniemi, Anna-Kaarina Järvinen, Henrik Edgren, Sanjit K Mitra and Jaakko Astola Optimized LOWESS normalization parameter selection for DNA microarray data. — BMC Bioinformatics, 2004.

См. также

Непараметрическая регрессия
Регрессионный анализ
Local regression
Расин, Джеффри (2008) «Непараметрическая эконометрика: вводный курс», Квантиль, №4, стр. 7–56.

Данная статья является непроверенным учебным заданием.

Студент: Участник:Валентин Голодов

Преподаватель: Участник:Vokov

Срок: 31 декабря 2009

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

→

Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_LOWESS»

Категории: Регрессионный анализ | Непроверенные учебные задания

@@ Строка 8: / Строка 8: @@
 === Введение ===
-[[Изображение:Loess_smooth.jpg|200px|frame|right|200px|Рис. 1. Пример применения lowess-сглаживания]]
+[[Изображение:Loess_smooth.jpg|200px|thumb|right|200px|Рис. 1. Пример применения lowess-сглаживания]]
 : Данная методика была предложена Кливлендом(Cleveland) в 1979 году для моделирования и сглаживания двумерных данных <tex> X^m={(x_i, y_i)}_{i=1}^m</tex>. Эта техника предоставляет общий и гибкий подход для приближения двумерных данных.

Алгоритм LOWESS

Материал из MachineLearning.

Версия 01:27, 5 января 2010

Содержание

Введение

Примеры

Непараметрическая регрессия

Оптимизация ширины окна

Проблема выбросов

Алгоритм LOWESS

Вход

Выход

Алгоритм

Выбор ядра $\bar{K}$

Примеры применения

Литература

См. также

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты