Критерий асимметрии и эксцесса
Материал из MachineLearning.
|
С помощью критерия асиметрии и эксцесса можно проверить гипотезу : случайная величина имеет распределение, отличное от нормального.
Если распределение нормально, то его коэффициент асимметрии
и коэффициент эксцесса
.
Так как значения
и
могут иметь место и для распределений, отличных от нормального, то этот критерий следует воспринимать как критерий установления отклонения от нормальности распределения, но не установления нормальности.
Описание критерия
Выборочные оценки коэффициентов асимметрии и эксцесса равны
.
Известно, что
Распределение достаточно быстро стремится к нормальному. Для
справедливы соотношения
Распределение стремится к нормальному медленно.
Рассмотрим применение критерия для установления отклонения эмпирического распределения от нормального. При
можно использовать грубый критерий:
то нормальность распределения отвергается.
На практике применяют нормальизующие преобразования для .
Рассмотрим некоторые из них.
Д'агостино и Пирсоном была предложена аппроксимация
, где
, которая при
распределена как стандартная нормальная величина (коэффициенты
заданы таблично).
Была предложена следующая нормализующая аппроксимация:
если
то величина уже при
может быть аппроксимирована стандартным нормальным распределением.
Рассмотрим теперь преобразование для коэффициента эксцесса . Распределение
может быть аппроксимировано распределением
с
степенями свободы при
где
Анскомбе и Глинном было предложено весьма эффективное нормализующее преобразование для коэффициента эксцесса.
Алгоритм его построения заключается в следующем.
Если то случайная величина
аппроксимируется стандартным нормальным распределением уже при
.
Нормализующие таблицы позволяют использовать таблицы (или аппроксимации) стандартного нормального распределения для проверки отклонения от нормальности.
Мощность критерия проверки отклонения от нормальности может быть повышена применением так называемого комбинированного -критерия
,
где и
—- стандартные нормальные эквиваленты распределений
и
.
Статистика имеет
-распределение с
степенями свободы.
Другая форма комбинированного критерия исследовалась Боуманом и Фолксом.
Если
и
(
и
—- выборочные оценки параметров
и
соответственно), то статистика
имеет
-распределение с
.
См. также
Ссылки
Литература
- Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 238 с.
- D'Agostino R. B., Pearson E. S. A further development of test departure from normality. — Biometrika, 1973, 60, №3 — p. 613-622.