Анализ сложения большого множества чисел, близких по величине
Материал из MachineLearning.
Содержание |
Введение
Постановка математической задачи
Пусть имеется множество чисел, близких по величине.Каждому числу вещественному числу в компьютере ставится в соответствие его приближение . Различие и может быть обусловленно несколькими причинами:
Искажение значений при вводе.
Автоматическое преобразование из внешнего, десятичного представления, во внутренний, двоичный формат, производится при вводе дробных значений. Только целое значение может быть преобразовано в двоичное представление точно. Дробное число в общем случае может быть преобразовано во внутренний формат лишь приближенно.
Погрешности задания данных.
Данные могут быть предоставлены неточно по многим внешним причинам.
Виды погрешностей
Различают два вида погрешностей: абсолютные и относительные погрешности.
Абсолютная погрешность определяется формулой
где – приближение точного значения .
Относительная погрешность определяется формулой
Арифметические операции
Будем рассматривать сложение чисел,близких по величине.Пусть имеется два числа и . В компьютере они представлены в виде чисел с плвавающей точкой и соответственно. Как известно при сложении абсолютные погрешости складываются так что
Также существует ошибка арифметический операций,ее мы учитывать не будем (эту ошибку легко учесть, прибавив ошибку округления соответствующей операции к вычисленной ошибке).
Если x и y - положительные нормализованные числа с плавающей точкой в двоичном
представлении, и
Тогда при вычислении разности
теряется от до значащих цифр.
Так как для двоичного представления чисел выполнено , то это означает что относительная ошибка может существенно возрасти.
Следовательно рекомендуется избегать сложения чисел близких по величине, но различных по знаку.
Следствием погрешности представления вещественных чисел и округлений является утеря
некоторых свойств арифметических операций.
При переходе к машинной арифметике сохраняются коммутативность сложения .
Ассоциативность этой операции нарушается.