Анализ сложения большого множества чисел, близких по величине
Материал из MachineLearning.
| Строка 21: | Строка 21: | ||
Будем рассматривать сложение чисел,близких по величине.Пусть имеется два числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. В компьютере они представлены в виде чисел с плвавающей точкой <tex>\tilde a</tex> и <tex>\tilde b</tex> соответственно. Как известно при сложении абсолютные погрешости складываются так что <tex>\Delta(\tilde S)=|\tilde S-S|= \Delta(\tilde a)+\Delta(\tilde b)</tex> | Будем рассматривать сложение чисел,близких по величине.Пусть имеется два числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. В компьютере они представлены в виде чисел с плвавающей точкой <tex>\tilde a</tex> и <tex>\tilde b</tex> соответственно. Как известно при сложении абсолютные погрешости складываются так что <tex>\Delta(\tilde S)=|\tilde S-S|= \Delta(\tilde a)+\Delta(\tilde b)</tex> | ||
Также существует ошибка арифметический операций,ее мы учитывать не будем (эту ошибку легко учесть, прибавив ошибку округления соответствующей операции к вычисленной ошибке). Так как числа близки по величине, то потери значащих чисел будут минимальны. Это следуют из следующего факта: <br> | Также существует ошибка арифметический операций,ее мы учитывать не будем (эту ошибку легко учесть, прибавив ошибку округления соответствующей операции к вычисленной ошибке). Так как числа близки по величине, то потери значащих чисел будут минимальны. Это следуют из следующего факта: <br> | ||
| - | + | Если x и y - положительные нормализованные | |
| - | представлении, x>y и 2^-q <= 1-\frac{y}{x}<=2^-p | + | представлении, <tex>x>y</tex> и </tex>2^{-q} <= 1-\frac{y}{x}<=2^-p</tex> |
| - | Тогда при вычислении разности | + | Тогда при вычислении разности <tex>x-y</tex> |
теряется от p до q значащих цифр. | теряется от p до q значащих цифр. | ||
| - | |||
== Числовой пример == | == Числовой пример == | ||
Версия 19:47, 20 октября 2008
Содержание |
Введение
Постановка математической задачи
Пусть имеется множество чисел, близких по величине.Каждому числу вещественному числу в компьютере ставится в соответствие его приближение
. Различие
и
может быть обусловленно несколькими причинами:
Искажение значений при вводе.
Автоматическое преобразование из внешнего, десятичного представления, во внутренний, двоичный формат, производится при вводе дробных значений. Только целое значение может быть преобразовано в двоичное представление точно. Дробное число в общем случае может быть преобразовано во внутренний формат лишь приближенно.
Погрешности задания данных.
Данные могут быть предоставлены неточно по многим внешним причинам.
Виды погрешностей
Различают два вида погрешностей: абсолютные и относительные погрешности.
Абсолютная погрешность определяется формулой
где – приближение точного значения
.
Относительная погрешность определяется формулой
Арифметические операции
Будем рассматривать сложение чисел,близких по величине.Пусть имеется два числа и
. В компьютере они представлены в виде чисел с плвавающей точкой
и
соответственно. Как известно при сложении абсолютные погрешости складываются так что
Также существует ошибка арифметический операций,ее мы учитывать не будем (эту ошибку легко учесть, прибавив ошибку округления соответствующей операции к вычисленной ошибке). Так как числа близки по величине, то потери значащих чисел будут минимальны. Это следуют из следующего факта:
Если x и y - положительные нормализованные
представлении, и </tex>2^{-q} <= 1-\frac{y}{x}<=2^-p</tex>
Тогда при вычислении разности
теряется от p до q значащих цифр.
