Анализ сложения большого множества чисел, близких по величине
Материал из MachineLearning.
| (13 промежуточных версий не показаны.) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
== Введение == | == Введение == | ||
=== Постановка математической задачи === | === Постановка математической задачи === | ||
| - | Пусть имеется множество чисел, близких по величине.Каждому числу вещественному числу <tex>x</tex> в компьютере ставится в соответствие его приближение <tex>\tilde x</tex>. Различие <tex>\tilde x</tex> и <tex>x</tex> может быть обусловленно несколькими причинами | + | Пусть имеется множество чисел, близких по величине.Каждому числу вещественному числу <tex>x</tex> в компьютере ставится в соответствие его приближение <tex>\tilde x</tex>. Различие <tex>\tilde x</tex> и <tex>x</tex> может быть обусловленно несколькими причинами:<br> |
| - | < | + | <H5>Искажение значений при вводе.</H5> |
Автоматическое преобразование из внешнего, десятичного представления, во внутренний, | Автоматическое преобразование из внешнего, десятичного представления, во внутренний, | ||
двоичный формат, производится при вводе дробных значений. Только целое значение может | двоичный формат, производится при вводе дробных значений. Только целое значение может | ||
быть преобразовано в двоичное представление точно. Дробное число в общем случае может | быть преобразовано в двоичное представление точно. Дробное число в общем случае может | ||
быть преобразовано во внутренний формат лишь приближенно. | быть преобразовано во внутренний формат лишь приближенно. | ||
| - | < | + | <H5>Погрешности задания данных.</H5> |
| + | Данные могут быть предоставлены неточно по многим внешним причинам. | ||
| + | <H3>Виды погрешностей</H3> | ||
| + | Различают два вида погрешностей: '''абсолютные''' и '''относительные погрешности'''.<br> | ||
| + | ''Абсолютная погрешность'' определяется формулой | ||
| + | |||
| + | ::<tex>\Delta(\tilde x)=|\tilde x-x|,</tex> | ||
| + | где <tex>\tilde x</tex> – приближение точного значения <tex>x</tex>. <br> | ||
| + | ''Относительная погрешность'' определяется формулой | ||
| + | |||
| + | ::<tex>\delta(\tilde x)=\frac{|\tilde x-x|}{x}.</tex> | ||
| + | == Арифметические операции == | ||
| + | Будем рассматривать сложение чисел,близких по величине.Пусть имеется два числа <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. В компьютере они представлены в виде чисел с плвавающей точкой <tex>\tilde a</tex> и <tex>\tilde b</tex> соответственно. Как известно при сложении абсолютные погрешости складываются так что <tex>\Delta(\tilde S)=|\tilde S-S|= \Delta(\tilde a)+\Delta(\tilde b)</tex> | ||
| + | Также существует ошибка арифметический операций,ее мы учитывать не будем (эту ошибку легко учесть, прибавив ошибку округления соответствующей операции к вычисленной ошибке). <br> | ||
| + | Если x и y - положительные нормализованные числа с плавающей точкой в двоичном | ||
| + | представлении, <tex>x>y</tex> и <tex>2^{-q} \le 1-\frac{y}{x}\le2^{-p}</tex> | ||
| + | Тогда при вычислении разности <tex>x-y</tex> | ||
| + | теряется от <tex>p</tex> до <tex>q</tex> значащих цифр.<br> | ||
| + | Так как для двоичного представления чисел выполнено <tex>\delta(\tilde x)\le2^{-n}</tex>, то это означает что относительная ошибка может существенно возрасти.<br> | ||
| + | Следовательно рекомендуется избегать сложения чисел близких по величине, но различных по знаку.<br> | ||
| + | Следствием погрешности представления вещественных чисел и округлений является утеря | ||
| + | некоторых свойств арифметических операций. | ||
| + | При переходе к машинной арифметике сохраняются коммутативность сложения . | ||
| + | Ассоциативность этой операции нарушается. | ||
== Числовой пример == | == Числовой пример == | ||
Текущая версия
Содержание |
Введение
Постановка математической задачи
Пусть имеется множество чисел, близких по величине.Каждому числу вещественному числу в компьютере ставится в соответствие его приближение
. Различие
и
может быть обусловленно несколькими причинами:
Искажение значений при вводе.
Автоматическое преобразование из внешнего, десятичного представления, во внутренний, двоичный формат, производится при вводе дробных значений. Только целое значение может быть преобразовано в двоичное представление точно. Дробное число в общем случае может быть преобразовано во внутренний формат лишь приближенно.
Погрешности задания данных.
Данные могут быть предоставлены неточно по многим внешним причинам.
Виды погрешностей
Различают два вида погрешностей: абсолютные и относительные погрешности.
Абсолютная погрешность определяется формулой
где – приближение точного значения
.
Относительная погрешность определяется формулой
Арифметические операции
Будем рассматривать сложение чисел,близких по величине.Пусть имеется два числа и
. В компьютере они представлены в виде чисел с плвавающей точкой
и
соответственно. Как известно при сложении абсолютные погрешости складываются так что
Также существует ошибка арифметический операций,ее мы учитывать не будем (эту ошибку легко учесть, прибавив ошибку округления соответствующей операции к вычисленной ошибке).
Если x и y - положительные нормализованные числа с плавающей точкой в двоичном
представлении, и
Тогда при вычислении разности
теряется от
до
значащих цифр.
Так как для двоичного представления чисел выполнено , то это означает что относительная ошибка может существенно возрасти.
Следовательно рекомендуется избегать сложения чисел близких по величине, но различных по знаку.
Следствием погрешности представления вещественных чисел и округлений является утеря
некоторых свойств арифметических операций.
При переходе к машинной арифметике сохраняются коммутативность сложения .
Ассоциативность этой операции нарушается.
