Гамма-функция
Материал из MachineLearning.
![]() | Данная статья является непроверенным учебным заданием.
До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}. См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе. |
Гамма-функция — математическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается .
Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.
Содержание |
Определение
Если вещественная часть комплексного числа положительна, то Гамма-функция определяется через интеграл
На всю комплексную плоскость функция распространяется через тождество
-
.
Альтернативное определение
Следующее бесконечное произведение служит альтернативным определением Гамма-функции. Оно верно для всех комплексных , за исключением 0 и отрицательных целых
Замечания
- Интеграл выше сходится абсолютно, если вещественная часть комплексного числа
положительна.
- Применяя интегрирование по частям можно показать, что тождество
-
- выполняется для подынтегрального выражения
- А поскольку
, для всех натуральных чисел
Связанные определения
- В интеграле выше, определяющем гамма-функцию, пределы интегрирования фиксированы. В неполной гамма-функции допускается, чтобы верхний либо нижний предел интегрирования был переменным. Неполную гамма-функцию часто обозначают как гамма-функцию от двух аргументов:
-
.
-
Свойства
- формула дополнения
-
.
-
- формула, полученная Гауссом:
-
.
-
- Основное свойство, которое может быть полученно из предельного определения:
-
.
-
- Гамма-функция дифференцируема бесконечное число раз, и
, где
часто называют «пси-функцией» или дигамма-функцией.
- Гамма-функция и бета-функция связаны следующим соотношением:
-
.
-
Вероятностные распределения, в которых используется гамма-функция
- Распределение Вейбулла (http://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_Вейбулла)
- Гамма-распределение (http://ru.wikipedia.org/wiki/Гамма-распределение)
- Распределение Стьюдента (http://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_Стьюдента)
- Распределение хи-квадрат (http://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_хи-квадрат)
- Бета-распределение сводится к представляению через гамма-функцию (http://ru.wikipedia.org/wiki/Бета-распределение)