Критерий хи-квадрат

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Определение)
Текущая версия (14:28, 19 октября 2013) (править) (отменить)
(Проблемы)
 
(25 промежуточных версий не показаны.)
Строка 1: Строка 1:
{{TOCright}}
{{TOCright}}
-
{{UnderConstruction|[[Участник:Венжега Андрей|Венжега Андрей]] 00:08, 14 ноября 2008 (MSK)}}
+
Критерий <tex>\chi^2</tex> - статистический критерий для проверки гипотезы <tex> H_0</tex>, что наблюдаемая случайная величина подчиняется некому теоретическому закону распределения.
 +
 
== Определение ==
== Определение ==
-
 
-
Критерий <tex>\chi^2</tex> - наиболее часто используемый статистический критерий для проверки гипотезы <tex> H_0</tex>, что наблюдаемая случайная величина подчиняется некому теоретическому закону распределения.
 
-
 
Пусть дана случайная величина X .
Пусть дана случайная величина X .
'''Гипотеза <tex> H_0 </tex>''': с. в. X подчиняется закону распределения <tex>F(x)</tex>.
'''Гипотеза <tex> H_0 </tex>''': с. в. X подчиняется закону распределения <tex>F(x)</tex>.
-
 
Для проверки гипотезы рассмотрим выборку, состоящую из n независимых наблюдений над с.в. X:
Для проверки гипотезы рассмотрим выборку, состоящую из n независимых наблюдений над с.в. X:
-
<tex>X^n = \left( x_1, \cdots \x_n \right), \; x_i \in \left[ a, b \right], \; \forall i=1 \dots n </tex>.
+
<tex>X^n = \left( x_1, \cdots x_n \right), \; x_i \in \left[ a, b \right], \; \forall i=1 \dots n </tex>.
-
По выборке построим эмпирическое распределение <tex>F^*(x)</tex> с.в X. Сравнение эмпирического <tex>F^*(x)</tex> и теоретического распределения <tex>F(x)</tex> производится с помощью специально подобранной случайной величины — [[Критерий согласия|критерия согласия]]. Рассмотрим критерий согласия Пирсона (критерий <tex>\chi^2</tex>):
+
По выборке построим эмпирическое распределение <tex>F^*(x)</tex> с.в X. Сравнение эмпирического <tex>F^*(x)</tex> и теоретического распределения <tex>F(x)</tex> (предполагаемого в гипотезе) производится с помощью специально подобранной функции — [[Критерий согласия|критерия согласия]]. Рассмотрим критерий согласия Пирсона (критерий <tex>\chi^2</tex>):
-
 
+
'''Гипотеза <tex> H_0^* </tex>''': Х<sup>n</sup> порождается функцией <tex>F^*(x)</tex>.
'''Гипотеза <tex> H_0^* </tex>''': Х<sup>n</sup> порождается функцией <tex>F^*(x)</tex>.
Строка 19: Строка 15:
Разделим [a,b] на k непересекающихся интервалов <tex> (a_i, b_i], \; i=1 \dots k</tex>;
Разделим [a,b] на k непересекающихся интервалов <tex> (a_i, b_i], \; i=1 \dots k</tex>;
-
Пусть <tex>n_j</tex> - количество наблюдений в j-м интервале: <tex> n_j = \sum_{i=1}^n \left[ a_i <x \leq b_i \right] </tex>;
+
Пусть <tex>n_j</tex> - количество наблюдений в j-м интервале: <tex> n_j = \sum_{i=1}^n \left[ a_j <x_i \leq b_j \right] </tex>;
<tex>p_j = F(b_j)-F(a_j)</tex> - вероятность попадания наблюдения в j-ый интервал при выполнении гипотезы <tex> H_0^* </tex>;
<tex>p_j = F(b_j)-F(a_j)</tex> - вероятность попадания наблюдения в j-ый интервал при выполнении гипотезы <tex> H_0^* </tex>;
-
<tex>E_j = np_j</tex> Ожидаемое число попаданий в j-ый интервал;
+
<tex>E_j = np_j</tex> - ожидаемое число попаданий в j-ый интервал;
-
'''Статистика:''' <tex>\chi^2 = \sum_{i=1}^k \frac{ \left( n_j-E_j \right)^2}{E_j} \sim \chi_{k-1}^2</tex> - [[Распределение хи-квадрат|Распределение хи-квадрат]] с k-1 степенью свободы.
+
'''Статистика:''' <tex>\chi^2 = \sum_{j=1}^k \frac{ \left( n_j-E_j \right)^2}{E_j} \sim \chi_{k-1}^2</tex> - [[Распределение хи-квадрат|Распределение хи-квадрат]] с k-1 степенью свободы.
-
== Проверка гипотезы ==
+
== Проверка гипотезы <tex>H_0</tex> ==
[[Изображение:Chi-square.png|280px|thumb|Распределение хи-квадрат]]
[[Изображение:Chi-square.png|280px|thumb|Распределение хи-квадрат]]
-
В зависимости от значения критерия <tex>\chi^2</tex>, может выполняться одна из гипотез:
+
В зависимости от значения критерия <tex>\chi^2</tex>, гипотеза <tex>H_0</tex> может приниматься, либо отвергаться:
-
* гипотеза неслучайности
+
* <tex>\chi^2_1 < \chi^2 < \chi^2_2</tex>, гипотеза <tex>H_0</tex> выполняется.
-
<tex>\chi^2_1 < \chi^2 < \chi^2_2</tex>, гипотеза <tex>H_0</tex> выполняется.
+
-
* гипотеза случайности
+
* <tex>\chi^2 \leq \chi^2_1</tex> (попадает в левый "хвост" распределения). Следовательно, теоретические и практические значения очень близки. Если, к примеру, происходит проверка генератора случайных чисел, который сгенерировал n чисел из отрезка [0,1] и гипотеза <tex>H_0</tex>: выборка <tex>X^n</tex> распределена равномерно на [0,1], тогда генератор нельзя называть случайным (гипотеза случайности не выполняется), т.к. выборка распределена слишком равномерно, но гипотеза <tex>H_0</tex> выполняется.
-
<tex>\chi^2 \leq \chi^2_1</tex> (попадает в левый "хвост" распределения) гипотеза <tex>H_0</tex> отвергается.
+
-
* гипотеза согласия
+
* <tex>\chi^2 \geq \chi^2_2</tex> (попадает в правый "хвост" распределения) гипотеза <tex>H_0</tex> отвергается.
-
<tex>\chi^2 \geq \chi^2_1</tex> (попадает в левый "хвост" распределения) гипотеза <tex>H_0</tex> отвергается.
+
 
 +
== Пример 1 ==
 +
 
 +
Проверим гипотезу <tex>H_0</tex>: если взять случайную выборку 100 человек из всего [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%81%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%9A%D0%B8%D0%BF%D1%80%D0%B0 населения острова Кипр] (генеральной совокупности), где количество мужчин и женщин примерно одинаково (встречаются с одинаковой частотой), то в наблюдаемой выборке отношение количества мужчин и женщин будет соотноситься с частотой как и во всей генеральной выборке(50/50). Пусть в наблюдаемой выборке 46 мужчин и 54 женщины, тогда число степеней свобод <tex>k-1=2-1=1</tex> и
 +
 
 +
<tex>\chi^2 = \sum_{j=1}^k \frac{ \left( n_j-E_j \right)^2}{E_j}= \frac{\left(46-50 \right)^2}{50}+\frac{\left(54-50 \right)^2}{50}=0,64 </tex>
 +
 
 +
Т.о. при уровне значимости <tex>\alpha=0.05</tex> о выполнении гипотезы <tex>H_0</tex> ничего сказать нельзя
 +
т.к. значение <tex>\chi^2</tex>> <tex>\chi_{0.05,1}^2</tex> (см. [http://ru.wikipedia.org/wiki/Квантили_распределения_хи-квадрат Таблицу распределения <tex>\chi^2_1</tex>]).
== Сложная гипотеза ==
== Сложная гипотеза ==
-
== Теорема Фишера ==
+
Гипотеза <tex>H_0^*</tex>: Х<sup>n</sup> порождается функцией <tex>F(x,\theta),\; \theta \in R^d,\; \theta</tex> - неизвестный параметр. Найдем приближенное значение параметра <tex>\hat{\theta}</tex> с помощью [[Метод максимального правдоподобия|метода максимального правдоподобия]], основанного на частотах (фиксируем интервалы <tex>\left(a_j,b_j \right]</tex> для <tex>j=1 \dots k</tex>).
 +
 
 +
<tex> n_j = \sum_{i=1}^n \left[ a_j <x_i \leq b_j \right] </tex> - число попаданий значений элементов выборки в j-ый интервал.
 +
 
 +
<tex>p_j(\theta)=F(b_j,\theta)-F(a_j,\theta)</tex>,
 +
 
 +
<tex>\hat{\theta} = \arg \max_{\theta} \sum n_j \ln p_j(\theta) </tex>
 +
 
 +
 
 +
'''Теорема Фишера''' Для проверки сложной гипотезы критерий <tex>\chi^2</tex> представляется в виде:
 +
 
 +
<tex>\chi^2 = \sum_{j=1}^k \frac{ \left( n_j-E_j \right)^2}{E_j} \sim \chi_{k-d-1}^2</tex>, где <tex>E_j=n p_j\left(\hat{\theta}\right)</tex>
 +
 
 +
== Пример 2 ==
 +
'''Задача о бомбардировках Лондона [Лагутин, Т2].'''
 +
Задача возникла в связи с бомбардировками Лондона во время Второй мировой войны. Для улучшения организации оборонительных мероприятий, необходимо было понять цель противника. Для этого территорию города условно разделили сеткой из 24-ёх горизонтальных и 24-ёх вертикальных линий на 576 равных участков. В течении некторого времени в центре организации обороны города собиралась информация о количестве попаданий снарядов в каждый из участков. В итоге были получены следующие данные:
 +
 
 +
{| border=1 cellpadding="6" cellspacing="0"
 +
|- align="center"
 +
! Число попаданий
 +
|0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7
 +
|- align="center"
 +
! Количество участков
 +
|229 || 211 || 93 || 35 || 7 || 0 || 0 || 1
 +
|}
 +
 
 +
Гипотеза <tex>H_0</tex>: стрельба случайна (нет "целевых" участков).
 +
 
 +
Закон редких событий ([[Распределение Пуассона|распределение Пуассона]])
 +
 
 +
<tex>P\{S=j\}=\frac{\lambda^j}{j!}e^{-\lambda}</tex>, где S - число попаданий, <tex>\hat{\lambda}=0.924</tex>.
 +
 
 +
<tex>\chi^2 = \sum_{j=1}^k \frac{ \left( n_j-E_j \right)^2}{E_j}= 32.6 \sim \chi_{8-1-1}^2</tex>
 +
 
 +
Тогда при уровне значимости <tex>\alpha=0.05</tex> гипотеза <tex>H_0</tex> не выполняется (см. [http://www.statsoft.ru/home/textbook/modules/sttable.html таблицу значений ф-ии <tex>\chi^2_6</tex>]).
 +
 
 +
Объединим события (4,5,6,7) с малой частотой попаданий в одно, тогда имеем:
 +
 
 +
{| border=1 cellpadding="6" cellspacing="0"
 +
|- align="center"
 +
! Число попаданий
 +
|0 || 1 || 2 || 3 || 4-7
 +
|- align="center"
 +
! Количество участков
 +
|229 || 211 || 93 || 35 || 8
 +
|}
 +
 
 +
<tex>\chi^2 = 1.05 \sim \chi_{5-1-1}^2</tex>, тогда при <tex>\alpha=0.05</tex> гипотеза <tex>H_0</tex> верна.
 +
 
 +
== Проблемы ==
 +
 
 +
Критерий <tex>\chi^2</tex> ошибается на выборках с низкочастотными (редкими) событиями. Решить эту проблему можно отбросив низкочастотные события, либо объединив их с другими событиями. Этот способ называется коррекцией Йетса (Yates' correction).
 +
 
 +
== Дополнения ==
 +
Эта статья не отражает всех нюансов применения критериев согласия типа <tex>\chi^2</tex>. Для корректного применения критерия целесообразно ознакомиться со следующими источниками:
 +
* [http://ami.nstu.ru/~headrd/seminar/xi_square/start1.htm Р 50.1.033–2001. Рекомендации по стандартизации. Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть I. Критерии типа хи-квадрат. – М.: Изд-во стандартов. 2002. – 87 с.]
 +
* [http://ami.nstu.ru/~headrd/seminar/publik_html/mr_x2_1998.pdf Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Методические рекомендации. Часть I. Критерии типа <tex>\chi^2</tex>. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1998. – 126 c.]
 +
* [http://ami.nstu.ru/~headrd/seminar/publik_html/Statistical_Data_Analysis.pdf Статистический анализ данных, моделирование и исследование вероятностных закономерностей. Компьютерный подход : монография. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2011. – 888 с. (главы 2 и 4)]
== Литература ==
== Литература ==
 +
''Лапач С. Н. , Чубенко А. В., Бабич П. Н.'' Статистика в науке и бизнесе. (стр. 204,316) — Киев: Морион, 2002.
 +
 +
''Лагутин М. Б.'' Наглядная математическая статистика. (Том 2, стр. 174) — М.: П-центр, 2003.
 +
 +
''Кулаичев А. П.'' Методы и средства комплексного анализа данных. (стр. 162) — М.: Форум–Инфра-М, 2006.
 +
== Ссылки ==
== Ссылки ==
-
[[http://en.wikipedia.org/wiki/Pearson%27s_chi-square_test Критерий хи-квадрат (en.wiki)]]
+
* [[http://en.wikipedia.org/wiki/Pearson%27s_chi-square_test Критерий хи-квадрат (en.wiki)]]
 +
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%B8%D0%BB%D0%B8_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D1%85%D0%B8-%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82 Квантили распределения хи-квадрат]
{{stub}}
{{stub}}
[[Категория:Прикладная статистика]]
[[Категория:Прикладная статистика]]
 +
[[Категория:Статистические тесты]]
[[Категория:Энциклопедия анализа данных]]
[[Категория:Энциклопедия анализа данных]]

Текущая версия

Содержание

Критерий \chi^2 - статистический критерий для проверки гипотезы  H_0, что наблюдаемая случайная величина подчиняется некому теоретическому закону распределения.

Определение

Пусть дана случайная величина X .

Гипотеза  H_0 : с. в. X подчиняется закону распределения F(x).

Для проверки гипотезы рассмотрим выборку, состоящую из n независимых наблюдений над с.в. X: X^n = \left( x_1, \cdots x_n \right), \; x_i \in \left[ a, b \right], \; \forall i=1 \dots n . По выборке построим эмпирическое распределение F^*(x) с.в X. Сравнение эмпирического F^*(x) и теоретического распределения F(x) (предполагаемого в гипотезе) производится с помощью специально подобранной функции — критерия согласия. Рассмотрим критерий согласия Пирсона (критерий \chi^2):

Гипотеза  H_0^* : Хn порождается функцией F^*(x).

Разделим [a,b] на k непересекающихся интервалов  (a_i, b_i], \; i=1 \dots k;

Пусть n_j - количество наблюдений в j-м интервале:  n_j = \sum_{i=1}^n \left[ a_j <x_i \leq b_j \right] ;

p_j = F(b_j)-F(a_j) - вероятность попадания наблюдения в j-ый интервал при выполнении гипотезы  H_0^* ;

E_j = np_j - ожидаемое число попаданий в j-ый интервал;

Статистика: \chi^2 = \sum_{j=1}^k \frac{ \left( n_j-E_j \right)^2}{E_j} \sim \chi_{k-1}^2 - Распределение хи-квадрат с k-1 степенью свободы.

Проверка гипотезы H_0

Распределение хи-квадрат
Распределение хи-квадрат

В зависимости от значения критерия \chi^2, гипотеза H_0 может приниматься, либо отвергаться:

  • \chi^2_1 < \chi^2 < \chi^2_2, гипотеза H_0 выполняется.
  • \chi^2 \leq \chi^2_1 (попадает в левый "хвост" распределения). Следовательно, теоретические и практические значения очень близки. Если, к примеру, происходит проверка генератора случайных чисел, который сгенерировал n чисел из отрезка [0,1] и гипотеза H_0: выборка X^n распределена равномерно на [0,1], тогда генератор нельзя называть случайным (гипотеза случайности не выполняется), т.к. выборка распределена слишком равномерно, но гипотеза H_0 выполняется.
  • \chi^2 \geq \chi^2_2 (попадает в правый "хвост" распределения) гипотеза H_0 отвергается.

Пример 1

Проверим гипотезу H_0: если взять случайную выборку 100 человек из всего населения острова Кипр (генеральной совокупности), где количество мужчин и женщин примерно одинаково (встречаются с одинаковой частотой), то в наблюдаемой выборке отношение количества мужчин и женщин будет соотноситься с частотой как и во всей генеральной выборке(50/50). Пусть в наблюдаемой выборке 46 мужчин и 54 женщины, тогда число степеней свобод k-1=2-1=1 и

\chi^2 = \sum_{j=1}^k \frac{ \left( n_j-E_j \right)^2}{E_j}= \frac{\left(46-50 \right)^2}{50}+\frac{\left(54-50 \right)^2}{50}=0,64

Т.о. при уровне значимости \alpha=0.05 о выполнении гипотезы H_0 ничего сказать нельзя т.к. значение \chi^2> \chi_{0.05,1}^2 (см. Таблицу распределения \chi^2_1).

Сложная гипотеза

Гипотеза H_0^*: Хn порождается функцией F(x,\theta),\; \theta \in R^d,\;  \theta - неизвестный параметр. Найдем приближенное значение параметра \hat{\theta} с помощью метода максимального правдоподобия, основанного на частотах (фиксируем интервалы \left(a_j,b_j \right] для j=1 \dots k).

 n_j = \sum_{i=1}^n \left[ a_j <x_i \leq b_j \right] - число попаданий значений элементов выборки в j-ый интервал.

p_j(\theta)=F(b_j,\theta)-F(a_j,\theta),

\hat{\theta} = \arg \max_{\theta} \sum n_j \ln p_j(\theta)


Теорема Фишера Для проверки сложной гипотезы критерий \chi^2 представляется в виде:

\chi^2 = \sum_{j=1}^k \frac{ \left( n_j-E_j \right)^2}{E_j} \sim \chi_{k-d-1}^2, где E_j=n p_j\left(\hat{\theta}\right)

Пример 2

Задача о бомбардировках Лондона [Лагутин, Т2]. Задача возникла в связи с бомбардировками Лондона во время Второй мировой войны. Для улучшения организации оборонительных мероприятий, необходимо было понять цель противника. Для этого территорию города условно разделили сеткой из 24-ёх горизонтальных и 24-ёх вертикальных линий на 576 равных участков. В течении некторого времени в центре организации обороны города собиралась информация о количестве попаданий снарядов в каждый из участков. В итоге были получены следующие данные:

Число попаданий 0 1 2 3 4 5 6 7
Количество участков 229 211 93 35 7 0 0 1

Гипотеза H_0: стрельба случайна (нет "целевых" участков).

Закон редких событий (распределение Пуассона)

P\{S=j\}=\frac{\lambda^j}{j!}e^{-\lambda}, где S - число попаданий, \hat{\lambda}=0.924.

\chi^2 = \sum_{j=1}^k \frac{ \left( n_j-E_j \right)^2}{E_j}= 32.6 \sim \chi_{8-1-1}^2

Тогда при уровне значимости \alpha=0.05 гипотеза H_0 не выполняется (см. таблицу значений ф-ии \chi^2_6).

Объединим события (4,5,6,7) с малой частотой попаданий в одно, тогда имеем:

Число попаданий 0 1 2 3 4-7
Количество участков 229 211 93 35 8

\chi^2 = 1.05 \sim \chi_{5-1-1}^2, тогда при \alpha=0.05 гипотеза H_0 верна.

Проблемы

Критерий \chi^2 ошибается на выборках с низкочастотными (редкими) событиями. Решить эту проблему можно отбросив низкочастотные события, либо объединив их с другими событиями. Этот способ называется коррекцией Йетса (Yates' correction).

Дополнения

Эта статья не отражает всех нюансов применения критериев согласия типа \chi^2. Для корректного применения критерия целесообразно ознакомиться со следующими источниками:

Литература

Лапач С. Н. , Чубенко А. В., Бабич П. Н. Статистика в науке и бизнесе. (стр. 204,316) — Киев: Морион, 2002.

Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. (Том 2, стр. 174) — М.: П-центр, 2003.

Кулаичев А. П. Методы и средства комплексного анализа данных. (стр. 162) — М.: Форум–Инфра-М, 2006.

Ссылки

Личные инструменты