Медиальное множество

Материал из MachineLearning.

Содержание

1 Определение
2 Медиальное множество (срединная ось) на плоскости
3 Внутреннее и внешнее медиальное множество, множество симметрии
4 Связь между медиальным и центральным множествами
5 См. также
6 Литература

Определение

Для каждой точки $x\in\Omega$ обозначим $D(x)$ множество ближайших граничных точек: $D(x)=\{y\in\Omega^c: d(x,y)=d(x,\Omega^c)\}$ ( $\Omega^c = \mathbb{R}^n\setminus\Omega$ --- дополнение к $\Omega$ ).

Медиальным множеством (medial locus) $\Omega$ называется множество $M_{\Omega}$ точек $\Omega$ , имеющих, по меньшей мере, две ближайшие граничные точки: $M_{\Omega}=\{x\in\Omega|Card(D(x))\geq 2\}$ .

Медиальное множество (срединная ось) на плоскости

Зачастую медиальное множество называется срединной осью (medial axis), хотя лучше такое название применять только к плоским множествам ( $\Omega\subset \mathbb{R}^2$ ), особенно в русскоязычной терминологии.

В случае, когда n=2, обычно рассматривают не произвольные открытые ограниченные связные множества $\Omega$ , а накладывают определенные ограничения на границу $\Omega^c$ . Множество $\overline{\Omega}$ при этом называется плоской фигурой.

Медиальное множество плоской фигуры называют также срединной осью (medial axis) плоской фигуры.

Медиальное множество (срединная ось) плоской фигуры

Внутреннее и внешнее медиальное множество, множество симметрии

Строго говоря, определенное выше медиальное множество является внутренним медиальным множеством множества $\Omega$ (internal medial locus). Иногда рассматривают также внешние медиальные множества.

Для каждой точки $x\in\Omega^c$ обозначим $D_e(x)$ множество ближайших граничных точек: $D_e(x)=\{y\in\Omega^c: d(x,y)=d(x,\Omega)\}$ .

Внешним медиальным множеством $\Omega$ (external medial locus) называется множество $M^e_{\Omega}$ точек $\Omega^c$ , имеющих, по меньшей мере, две ближайшие граничные точки: $M^e_{\Omega}=\{x\in\Omega^c|Card(D_e(x))\geq 2\}$ .

Внутреннее медиальное множество обозначается $M^i_\Omega$ . Иногда под термином медиальное множество понимают объединение внутреннего и внешнего медиальным множеств: $M_{\Omega}=M^i_{\Omega}\cup M^e_{\Omega}$ , но чаще всего медиальное множество --- это именно внутреннее медиальное множество: $M_{\Omega}=M^i_{\Omega}$ .

Для каждой точки $x\in\mathbb{R}^n$ обозначим $D_{sym}(x)$ множество ближайших точек границы $: <tex>D_{sym}(x)=\{y\in\partial\Omega^c: d(x,y)=d(x,\partial\Omega^c)\}$ .

Множеством симметрии $\Omega$ (symmetry set) называется множество $Sym_{\Omega}$ точек $\mathbb{R}^n$ , имеющих, по меньшей мере, две ближайшие точки на границе $: <tex>Sym_{\Omega}=\{x\in\mathbb{R}^n|Card(D_{sym}(x))\geq 2\}$ .

Связь между медиальным и центральным множествами

Для любого связного открытого ограниченного множества $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ верно, что его медиальное множество является подмножеством его центрального множества: $M_{\Omega}\subseteq S_{\Omega}$ .

При $n=2, <tex> M_{\Omega}=S_{\Omega}$ , если $\Omega$ --- многоугольная фигура.

См. также

Литература

Chazal F., Soufflet R. Stability and ﬁniteness properties of Medial Axis and Skeleton // Journal of Dynamic and Control Systems, Vol. 10, No.2, 2004. pp. 149 -- 170. [1]
Siddiqi K., Pizer K. Medial Representations: Mathematics, Algorithms, Applications, Springer, 2008.

Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE»

Категория: Медиальное представление формы

Медиальное множество

Материал из MachineLearning.

Содержание

Определение

Медиальное множество (срединная ось) на плоскости

Внутреннее и внешнее медиальное множество, множество симметрии

Связь между медиальным и центральным множествами

См. также

Литература

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты