Оценка эффективности природоохранных программ (пример)

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(→Постановка задачи)
Строка 4: Строка 4:
== Постановка задачи ==
== Постановка задачи ==
 +
Интегральный индикатор - линейная комбинация вида
 +
<tex>\mathbf{q} = A\mathbf{w},</tex> где <tex> A = \{a_{ij}\}_{i=1,j=1}^{n,m}</tex> - матрица объекты-признаки, <tex> \mathbf{w} </tex> - вектор весов признаков. Заданы в ранговых шкалах экспертные оценки: <tex> \mathbf{q_0}, \mathbf{w_0}</tex>, допускающие произвольные монотонные преобразования. Пусть на наборах экспертных оценок
 +
введено отношение порядка такое, что
 +
<tex>q_1\geq q_2 \geq ... \geq q_n \geq 0;\ w_1\geq w_2\geq ... \geq w_n \geq 0.</tex> Множество всех таких векторов задается системой линейных неравенств <tex>J\mathbf{q}\geq 0,</tex> где
 +
<tex>\underset{n\times n}J =
 +
\left(
 +
\begin{array}{rrrrrr}
 +
1 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
 +
0 & 1 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\
 +
\vdots & \vdots & \vdots &\ddots & \vdots & \vdots\\
 +
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -1 \\
 +
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
 +
\end{array}
 +
\right).
 +
</tex>
 +
Таким образом, заданным <tex> \mathbf{q}, \mathbf{w}</tex> можно поставить в соответствие матрицы <tex>J_q</tex> и <tex>J_w</tex> размеров соответственно <tex>n\times n</tex>
 +
и <tex>m\times m</tex>.
 +
Определим <tex>\mathcal{Q}</tex> — конус, задаваемый
 +
матрицей <tex>J_q</tex> в пространстве интегральных индикаторов; <tex>\mathcal{W}</tex> — конус, задаваемый матрицей <tex>J_w</tex> в пространстве весов признаков.
 +
 +
ЗАДАЧА 1. Требуется найти в конусах <tex>\mathcal{W}</tex> и <tex> \mathcal{Q} </tex> векторы <tex> \mathbf{p} </tex> и <tex>\mathbf{q}</tex>, такие, что:
 +
 +
<tex>
 +
\begin{equation}
 +
\min\limits_{\mathbf{p},\mathbf{q}}\|\mathbf{q}-A\mathbf{p}\|:\ \mathbf{q} \in \mathcal{Q}, \mathbf{p} \in \mathcal{W}, \|\mathbf{q}\| = 1, \|\mathbf{p}\| = 1,
 +
\end{equation}
 +
</tex>
 +
 +
где <tex>\|.\|</tex> --- евклидова метрика в пространстве <tex>\mathbb{R}^n</tex>.
 +
 +
ЗАДАЧА 2. Найти вектор весов, который максимизирует коэффициент
 +
корреляции между интегральными индикаторами:
 +
 +
<tex>\mathbf{w_1} = \arg \underset{\mathbf{w} \in \mathcal{W}}{max} C(\mathbf{q_0}, A\mathbf{w}),</tex>
 +
 +
по этому вектору весов построить уточненный интегральный индикатор
 +
 +
<tex>\mathbf{q_1} = A\mathbf{w_1}.</tex>

Версия 11:14, 7 декабря 2010

Аннотация

Описан способ построения интегральных индикаторов качества объектов с использованием экспертных оценок и измеряемых данных. Каждый объект описан набором признаков в линейных шкалах. Используются экспертные оценки качества объектов и важности признаков, которые корректируются в процессе вычисления. Предполагается, что оценки выставлены в ранговых шкалах. Рассматривается задача получения таких интегральных индикаторов, которые не противоречили бы экспертным оценкам. Предложено два алгоритма уточнения экспертных оценок.

Постановка задачи

Интегральный индикатор - линейная комбинация вида \mathbf{q} = A\mathbf{w}, где A = \{a_{ij}\}_{i=1,j=1}^{n,m} - матрица объекты-признаки, \mathbf{w} - вектор весов признаков. Заданы в ранговых шкалах экспертные оценки: \mathbf{q_0}, \mathbf{w_0}, допускающие произвольные монотонные преобразования. Пусть на наборах экспертных оценок введено отношение порядка такое, что q_1\geq q_2 \geq ... \geq q_n \geq 0;\ w_1\geq w_2\geq ... \geq w_n \geq 0. Множество всех таких векторов задается системой линейных неравенств J\mathbf{q}\geq 0, где \underset{n\times n}J = \left( \begin{array}{rrrrrr} 1 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots &\ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ \end{array} \right). Таким образом, заданным \mathbf{q}, \mathbf{w} можно поставить в соответствие матрицы J_q и J_w размеров соответственно n\times n и m\times m. Определим \mathcal{Q} — конус, задаваемый матрицей J_q в пространстве интегральных индикаторов; \mathcal{W} — конус, задаваемый матрицей J_w в пространстве весов признаков.

ЗАДАЧА 1. Требуется найти в конусах \mathcal{W} и \mathcal{Q} векторы \mathbf{p} и \mathbf{q}, такие, что:

\begin{equation} \min\limits_{\mathbf{p},\mathbf{q}}\|\mathbf{q}-A\mathbf{p}\|:\ \mathbf{q} \in \mathcal{Q}, \mathbf{p} \in \mathcal{W}, \|\mathbf{q}\| = 1, \|\mathbf{p}\| = 1, \end{equation}

где \|.\| --- евклидова метрика в пространстве \mathbb{R}^n.

ЗАДАЧА 2. Найти вектор весов, который максимизирует коэффициент корреляции между интегральными индикаторами:

\mathbf{w_1} = \arg \underset{\mathbf{w} \in \mathcal{W}}{max} C(\mathbf{q_0}, A\mathbf{w}),

по этому вектору весов построить уточненный интегральный индикатор

\mathbf{q_1} = A\mathbf{w_1}.

Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9E%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0_%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D0%BE%D1%85%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC_%28%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%80%29»
Личные инструменты