Оценка эффективности природоохранных программ (пример)

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Постановка задачи)
Строка 42: Строка 42:
<tex>\mathbf{q_1} = A\mathbf{w_1}.</tex>
<tex>\mathbf{q_1} = A\mathbf{w_1}.</tex>
 +
 +
Здесь <tex> C </tex> - коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Версия 11:15, 7 декабря 2010

Аннотация

Описан способ построения интегральных индикаторов качества объектов с использованием экспертных оценок и измеряемых данных. Каждый объект описан набором признаков в линейных шкалах. Используются экспертные оценки качества объектов и важности признаков, которые корректируются в процессе вычисления. Предполагается, что оценки выставлены в ранговых шкалах. Рассматривается задача получения таких интегральных индикаторов, которые не противоречили бы экспертным оценкам. Предложено два алгоритма уточнения экспертных оценок.

Постановка задачи

Интегральный индикатор - линейная комбинация вида \mathbf{q} = A\mathbf{w}, где  A = \{a_{ij}\}_{i=1,j=1}^{n,m} - матрица объекты-признаки,  \mathbf{w} - вектор весов признаков. Заданы в ранговых шкалах экспертные оценки:  \mathbf{q_0}, \mathbf{w_0}, допускающие произвольные монотонные преобразования. Пусть на наборах экспертных оценок введено отношение порядка такое, что q_1\geq q_2 \geq ... \geq q_n \geq 0;\ w_1\geq w_2\geq ... \geq w_n \geq 0. Множество всех таких векторов задается системой линейных неравенств J\mathbf{q}\geq 0, где \underset{n\times n}J =
\left(
\begin{array}{rrrrrr}
1 & -1 &  0 & \cdots &  0 &  0 \\
0 &  1 & -1 & \cdots & 0 &  0 \\
\vdots & \vdots  &  \vdots &\ddots & \vdots &  \vdots\\
0 &  0 &  0 & \cdots & 1 & -1 \\
0 &  0 &  0 & \cdots & 0 &  1 \\
\end{array}
\right).
Таким образом, заданным  \mathbf{q}, \mathbf{w} можно поставить в соответствие матрицы J_q и J_w размеров соответственно n\times n и m\times m. Определим \mathcal{Q} — конус, задаваемый матрицей J_q в пространстве интегральных индикаторов; \mathcal{W} — конус, задаваемый матрицей J_w в пространстве весов признаков.

ЗАДАЧА 1. Требуется найти в конусах \mathcal{W} и  \mathcal{Q} векторы  \mathbf{p} и \mathbf{q}, такие, что:


\begin{equation}
\min\limits_{\mathbf{p},\mathbf{q}}\|\mathbf{q}-A\mathbf{p}\|:\ \mathbf{q} \in \mathcal{Q}, \mathbf{p} \in \mathcal{W}, \|\mathbf{q}\| = 1, \|\mathbf{p}\| = 1,
\end{equation}

где \|.\| --- евклидова метрика в пространстве \mathbb{R}^n.

ЗАДАЧА 2. Найти вектор весов, который максимизирует коэффициент корреляции между интегральными индикаторами:

\mathbf{w_1} = \arg \underset{\mathbf{w} \in \mathcal{W}}{max} C(\mathbf{q_0}, A\mathbf{w}),

по этому вектору весов построить уточненный интегральный индикатор

\mathbf{q_1} = A\mathbf{w_1}.

Здесь  C - коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Личные инструменты