Построение интегральных индикаторов по ранговым признакам (пример)

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Полный текст работы)
 
(14 промежуточных версий не показаны.)
Строка 1: Строка 1:
== Аннотация ==
== Аннотация ==
-
В данной работе описывается подход к построению интегрального индикатора для множества объектов, характеризуемых признаками, выраженными в ранговых шкалах. В качестве интегрального индикатора предлагается рассматривать бинарное отношение на множестве объектов, позволяющее сравнивать объекты между собой. Бинарное отношение строится на основании признакового описания объектов и информации о важности каждого признака, задаваемой экспертами. Подход продемонстрирован на на работе алгоритма уточнения экспертной информации.
+
В данной работе описывается подход к построению интегрального индикатора для множества объектов, характеризуемых признаками, выраженными в ранговых шкалах. В качестве интегрального индикатора предлагается рассматривать бинарное отношение на множестве объектов, позволяющее сравнивать объекты между собой. Бинарное отношение строится на основании признакового описания объектов и информации о важности каждого признака, задаваемой экспертами. Подход продемонстрирован на работе алгоритма уточнения экспертной информации.
-
''Ключевые слова'': интегральный индикатор, экспертное оценивание, ранговые шкалы, бинарные отношения.
+
 
 +
''Ключевые слова'': интегральный индикатор, экспертное оценивание, ранговые шкалы, бинарные отношения.
== Постановка задачи ==
== Постановка задачи ==
-
Задано пространство объектов <tex>X</tex> - пространство объектов, <tex>{\{x_i\}}_{i=1}^{m}\subset X</tex> -выборка объектов. Каждый объект
+
Пусть <tex>X</tex> - пространство объектов, <tex>{\{x_i\}}_{i=1}^{m}\subset X</tex> - выборка объектов. Каждый объект
<tex>x\in X</tex> характеризуется набором ранговых признаков <tex>{\{f_j\}}_{j=1}^{n}</tex>.
<tex>x\in X</tex> характеризуется набором ранговых признаков <tex>{\{f_j\}}_{j=1}^{n}</tex>.
-
Задано признаковое описание объектов в виде матрицы <tex>A</tex> размера <tex>m \times n</tex>, где <tex>a^{ik}</tex> - место i-го объекта в списке, отсортированном по убыванию k-го признака.
+
Пусть признаковое описание объектов задается в виде матрицы <tex>A</tex> размера <tex>m \times n</tex>, где <tex>a^{ik}</tex> - место i-го объекта в списке, отсортированном по убыванию k-го признака.
-
Два объекта <tex>x_i</tex> и <tex>x_j</tex> при векторе весов признаков <tex>\mathbf w</tex> сравниваются следующим образом.
+
Два объекта <tex>x_i</tex> и <tex>x_j</tex> при векторе весов признаков <tex>\mathbf w</tex> сравниваются следующим образом.
-
<tex>x_i</tex> не хуже <tex>x_j</tex>, если <tex>{\mathbf u}^{ij})^{T}{\mathbf w} \geq 0,</tex> где
+
 
 +
<tex>x_i</tex> не хуже <tex>x_j</tex>, если <tex>({\mathbf u}^{ij})^{T}{\mathbf w} \geq 0,</tex> где
<tex>{u}^{ij}_k = 1</tex>, если i-й объект не хуже j-го по k-му признаку, и <tex>{u}^{ij}_k = -1</tex> в противном случае.
<tex>{u}^{ij}_k = 1</tex>, если i-й объект не хуже j-го по k-му признаку, и <tex>{u}^{ij}_k = -1</tex> в противном случае.
-
Задано начальное приближение вектора весов признаков
+
 
-
<tex>\mathbf w^0</tex> и правильный порядок объектов, определяемый матрицей
+
Вектор <tex>\mathbf w</tex> нормирован <tex>\sum_{k=1}^{n} w_k=1</tex>.
-
* [https://mlalgorithms.svn.sourceforge.net/svnroot/mlalgorithms/Integral_Indicators_Based_on_Rank_Features/doc Ссылка на текст отчёта]
+
 
-
* [https://mlalgorithms.svn.sourceforge.net/svnroot/mlalgorithms/Integral_Indicators_Based_on_Rank_Features/code Ссылка на код]
+
Введенное бинарное отношение - интегральный индикатор, соответствующий вектору весов признаков <tex>\mathbf w</tex>.
-
{{Задание|Александр Фирстенко|В.В.Стрижов|24 декабря 2010|First|Strijov}}
+
 
 +
Вектору <tex>\mathbf w</tex> соответствует матрица попарных сравнений <tex>Q(A,{\mathbf w})</tex> размера <tex>m \times m</tex>, где <tex>q^{ij}=1</tex>, когда i-й объект не хуже j-го при указанном сравнении и <tex>q^{ij}=-1</tex> в противном случае.
 +
 
 +
<tex>q^{ii}=1</tex> - всегда.
 +
 
 +
Пусть правильный порядок объектов задается с помощью матрицы <tex>Q_0</tex> попарных сравнений по желаемому интегральному индикатору.
 +
 
 +
Пусть функционал потерь
 +
 
 +
<tex>L(Q^0,A,{\mathbf w}) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n \frac{|q^{0}_{ij} - q_{ij}(A,{\mathbf w})|}2</tex>
 +
 
 +
Такой функционал потерь равен числу нарушений порядка в списке, отсортированном по текущему интегральному индикатору, по сравнению с правильным порядком.
 +
 
 +
Тогда задача формулируется следующим образом.
 +
 
 +
Дано: <tex>{\{x_i\}}_{i=1}^{m},A,Q^0</tex> начальное приближение <tex>\mathbf w^0</tex>.
 +
 
 +
Найти: такой вектор <tex>\mathbf w^{\mbox {opt}}~\in~\mathcal{W}~=~\{{\mathbf w}~\in~\mathbb{R}^{n}|\sum_{k=1}^n w_{k}~=~1\}</tex>, что
 +
 
 +
<tex>{\mathbf w}^{\mbox {opt}} = \arg \min_{{\mathbf w}\in \mathcal{W}} L </tex>.
 +
 
 +
== Полный текст работы ==
 +
* [https://mlalgorithms.svn.sourceforge.net/svnroot/mlalgorithms/Group774/Firstenko2010RankIndicators/doc Ссылка на текст отчёта]
 +
* [https://mlalgorithms.svn.sourceforge.net/svnroot/mlalgorithms/Group774/Firstenko2010RankIndicators/code Ссылка на код]
 +
* [https://mlalgorithms.svn.sourceforge.net/svnroot/mlalgorithms/Group774/Firstenko2010RankIndicators/review.docx Рецензия]
 +
{{ЗаданиеВыполнено|Александр Фирстенко|В.В.Стрижов|24 декабря 2010|First|Strijov}}
[[Категория:Практика и вычислительные эксперименты]]
[[Категория:Практика и вычислительные эксперименты]]

Текущая версия

Аннотация

В данной работе описывается подход к построению интегрального индикатора для множества объектов, характеризуемых признаками, выраженными в ранговых шкалах. В качестве интегрального индикатора предлагается рассматривать бинарное отношение на множестве объектов, позволяющее сравнивать объекты между собой. Бинарное отношение строится на основании признакового описания объектов и информации о важности каждого признака, задаваемой экспертами. Подход продемонстрирован на работе алгоритма уточнения экспертной информации.

Ключевые слова: интегральный индикатор, экспертное оценивание, ранговые шкалы, бинарные отношения.

Постановка задачи

Пусть X - пространство объектов, {\{x_i\}}_{i=1}^{m}\subset X - выборка объектов. Каждый объект x\in X характеризуется набором ранговых признаков {\{f_j\}}_{j=1}^{n}.

Пусть признаковое описание объектов задается в виде матрицы A размера m \times n, где a^{ik} - место i-го объекта в списке, отсортированном по убыванию k-го признака.

Два объекта x_i и x_j при векторе весов признаков \mathbf w сравниваются следующим образом.

x_i не хуже x_j, если ({\mathbf u}^{ij})^{T}{\mathbf w} \geq 0, где {u}^{ij}_k = 1, если i-й объект не хуже j-го по k-му признаку, и {u}^{ij}_k = -1 в противном случае.

Вектор \mathbf w нормирован \sum_{k=1}^{n} w_k=1.

Введенное бинарное отношение - интегральный индикатор, соответствующий вектору весов признаков \mathbf w.

Вектору \mathbf w соответствует матрица попарных сравнений Q(A,{\mathbf w}) размера m \times m, где q^{ij}=1, когда i-й объект не хуже j-го при указанном сравнении и q^{ij}=-1 в противном случае.

q^{ii}=1 - всегда.

Пусть правильный порядок объектов задается с помощью матрицы Q_0 попарных сравнений по желаемому интегральному индикатору.

Пусть функционал потерь

L(Q^0,A,{\mathbf w}) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n \frac{|q^{0}_{ij} - q_{ij}(A,{\mathbf w})|}2

Такой функционал потерь равен числу нарушений порядка в списке, отсортированном по текущему интегральному индикатору, по сравнению с правильным порядком.

Тогда задача формулируется следующим образом.

Дано: {\{x_i\}}_{i=1}^{m},A,Q^0 начальное приближение \mathbf w^0.

Найти: такой вектор \mathbf w^{\mbox {opt}}~\in~\mathcal{W}~=~\{{\mathbf w}~\in~\mathbb{R}^{n}|\sum_{k=1}^n w_{k}~=~1\}, что

{\mathbf w}^{\mbox {opt}} = \arg \min_{{\mathbf w}\in \mathcal{W}} L .

Полный текст работы

Данная статья была создана в рамках учебного задания.
Студент: Александр Фирстенко
Преподаватель: В.В.Стрижов
Срок: 24 декабря 2010


В настоящее время задание завершено и проверено. Данная страница может свободно правиться другими участниками проекта MachineLearning.ru.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.