Сезонность

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

В экономике многие явления характеризуются периодически повторяющимися сезонными эффектами. Соответственно временные ряды, их отражающие, содержат периодические сезонные колебания. Эти ряды и их колебания можно представить как генерируемые моделями двух основных типов: моделями с мультипликативными и с аддитивными коэффициентами сезонности.

Модели первого типа имеют вид:

x_t~=~\xi_t+\epsilon_t

\xi_t = a_tf_t,

где динамика величины a_t характеризует тенденцию развития процесса;

f_t, f_{t-1},..., f_{t-l+1} — коэффициенты сезонности;

l — количество фаз в полном сезонном цикле (если ряд представляет месячные наблюдения, то в экономике обычно l = 12, при квартальных данных l = 4 и т. п.);

\epsilon_t — неавтокоррелированный шум с нулевым математическим ожиданием.

Модели второго типа записываются как:

x_t~=~\xi_t+\epsilon_t

\xi_t = a_t+g_t,

где величина a_t описывает тенденцию развития процесса;

g_t, g_{t-1},..., g_{t-l+1} — аддитивные коэффициенты сезонности;

l — количество фаз в полном сезонном цикле;

\epsilon_t — неавтокоррелированный шум с нулевым математическим ожиданием.

Адаптивная модель с мультипликативной сезонностью была предложена П. Р. Уинтерсом. Аддитивная модель рассмотрена Г. Тейлом и С. Вейджем. Уинтерс поставил задачу разработать модель для прогнозирования объемов сезонных продаж с использованием ЭВМ. Модель должна быть такой, чтобы: а) прогнозы рассчитывались на основе одних и тех же программ для большого количества продуктов; б) вычисления производились быстро и дешево; в) использовался минимальный объем памяти для информации; г) учитывались изменяющиеся условия. Поэтому целесообразно в прогностических моделях учитывать конкретный характер тенденции и сезонных колебаний. Это и сделал Уинтерс с помощью экспоненциальной схемы. Модель при этом становится сложнее, зато и точность прогнозов для большинства товаров существенно возрастает. Ниже приведен более простой вариант модели, который содержит только сезонный эффект.

Прогнозирование с коэффициентами сезонности

Модель имеет вид:

a_t = \alpha_1~\frac{x_t}{f_{t-l}}+(1-\alpha_1)a_{t-1}, 0<\alpha_1<1

f_t = \alpha_2~\frac{x_t}{a_t}+(1-\alpha_2)f_{t-l}, 0<\alpha_2<1

Как видим, a_t является взвешенной суммой текущей оценки \frac{x_t}{f_{t-l}, полученной путем очищения от сезонных колебаний фактических данных x_t и предыдущей оценки a_{t-1}. В качестве коэффициента сезонности f_t берется его наиболее поздняя оценка, сделанная для аналогичной фазы цикла. Затем величина a_t, полученная по первому уравнению, используется для определения новой оценки коэффициента сезонности по второму уравнению.


Величины a_t и f_t могут быть записаны через прошлые данные и начальные условия:

a_t = \alpha_1~\sum_{n=0}^t (1-\alpha_1)^n\frac{x_{t-n}}{f_{t-l-n}}+(1-\alpha_1)^{t+1}a_0

f_t = \alpha_2~\sum_{n=0}^J (1-\alpha_2)^n\frac{x_{t-nl}}{f_{t-nl}}+(1-\alpha_2)^{J+1}f_{i,0},

где a_0 — начальное значение a;

f_{i,0} — начальное значение f в соответствующей i фазе (месяце) цикла (года);

J — наибольшая целая часть \frac{t}{l}.


Литература

  1. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов - М. Финансы и статистика, 2003 - стр. 50
Личные инструменты