Модель панельных данных с фиксированными эффектами

Материал из MachineLearning.

Модель панельных данных с фиксированными эффектами ( fixed effect model) опирается на структуру панельных данных, что позволяет учитывать неизмеримые индивидуальные различия объектов. Эти отличия называются эффектами. В данной модели эффекты интерпретируются как мешающий параметр, и оценивание направлено на то, чтобы их исключить.

Содержание

1 Обозначения
2 Описание модели панельных данных с фиксированными эффектами
3 Недостатки модели панельных данных с фиксированными эффектами
4 Литература
5 См. также
6 Ссылки

Обозначения

Введем обозначения:

$i = 1,...,n$ – номера объектов, $t = 1,...,T$ – моменты времени, $k$ – число признаков.
$x_{it}$ – набор независимых переменных (вектор размерности $k$ )
$y_{it}$ – зависимая переменная для экономической единицы $i$ в момент времени $t$
$\varepsilon_{it}$ – соответствующая ошибка.
Обозначим также:

$\begin{equation*} y_i= \left[y_{i1} \\ ...\\ y_{iT} \right] \text{,} \quad X_i= \left[ x'_{i1} \\ ...\\ x'_{iT} \right] \text{,} \quad \varepsilon_i= \left[ \varepsilon_{i1} \\ ...\\ \varepsilon_{iT} \right]. \end{equation*}$

Введем также «объединенные» наблюдения и ошибки:

$\begin{equation*} y= \left[ y_1 \\ ...\\ y_n \right] \text{,} \quad X= \left[ X_1 \\ ...\\ X_n \right] \text{,} \quad \varepsilon= \left[ \varepsilon_1 \\ ...\\ \varepsilon_n \right]. \end{equation*}$

Здесь $y, \varepsilon$ – $nT \times 1$ векторы, $X$ – $nT \times k$ матрица.

Описание модели панельных данных с фиксированными эффектами

В введенных обозначениях (см. также Объединённая модель панельных данных) модель панельных данных с фиксированными эффектами описывается уравнением

(1)

$y_{it} = \alpha_i + x'_{it} \cdot \beta + \varepsilon_{it}$ .

Величина $\alpha_i$ выражает индивидуальный эффект объекта $i$ , не зависящий от времени $t$ , при этом регрессоры $x_{it}$ не содержат константу .

Параметры модели: $\beta \in \mathbb{R}^k, \alpha_i \in \mathbb{R} (i=1,...,n)$ .

Основные предположения

Предположим, что выполнены следующие условия:

ошибки $\varepsilon_{it}$ некоррелированы между собой по $i$ и $t$ , $\mathbb{E}(\varepsilon_{it}) = 0$ , $\mathbb{V}(\varepsilon_{it}) = \sigma_{\varepsilon }^2$ ;
ошибки $\varepsilon_{it}$ некоррелированы с регрессорами $x_{js}$ при всех $i, j, t, s$ .

Понижение размерности. Исключение эффектов.

Для панельных данных типична ситуация, когда число объектов $n$ достаточно велико. Поэтому, применяя непосредственно метод наименьших квадратов к уравнению (1), при оценивании параметров можно столкнуться с вычислительными проблемами. Их можно преодолеть, исключая из рассмотрения индивидуальные эффекты $\alpha_i$ . При этом мы понижаем размерность задачи с $(n+k)$ до $k$ .

Наиболее простой способ – переход в уравнении (1) к средним по времени величинам:

(2)

$\overline{y_i}= \alpha_i + \overline{x'_i} \cdot \beta + \overline{\varepsilon_i}$ ,

где $\overline{y_i} = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T y_{it},\; \overline{x_i} = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T x_{it},\; \overline{\varepsilon _i} = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \varepsilon _{it}$ .

Вычитая почленно (2) из (1), получаем:

(3)

$y_{it} - \overline{y_i}= (x_{it} - \overline{x_i})' \cdot \beta + \varepsilon_{it} - \overline{\varepsilon_i}$ .

Данная модель уже не зависит от эффектов $\alpha_i$ . По существу, это уравнение (1), записанное в отклонениях от индивидуальных средних по времени.

Оценка параметров модели

Применяя обычный метод наименьших квадратов к уравнению (3), мы получим оценки

(4)

$\widehat{\beta} = \left(\sum_{i=1}^n \sum_{t=1}^T (x_{it} - \overline{x_i}) \cdot (x_{it} - \overline{x_i})'\right)^{-1} \cdot \sum_{i=1}^n \sum_{t=1}^T (x_{it} - \overline{x_i}) \cdot (y_{it} - \overline{y_i})$ .

Эти оценки называются внутригрупповыми оценками ( within estimator) или оценками с фиксированным эффектом ( fixed effect estimator).

Условия 1)-2), наложенные на модель, гарантируют несмещённость и состоятельность оценок с фиксированным эффектом.

В качестве оценок индивидуальных эффектов можно взять

$\widehat{\alpha_i} = \overline{y_i} - \overline{x'_i} \cdot \widehat{\beta},\; i = 1,...,n$ .

Эти оценки являются несмещёнными и состоятельными для фиксированного $n$ при $t \rightarrow \infty$ .

Из формулы (4) вытекает выражение для матрицы ковариации оценки $\widehat{\beta}$ :

$V(\widehat{\beta}) = \sigma_{\varepsilon }^2 \left(\sum_{i=1}^n \sum_{t=1}^T (x_{it} - \overline{x_i}) \cdot (x_{it} - \overline{x_i})'\right)^{-1}$ .

Как и в обычной линейной модели, в качестве оценки дисперсии $\sigma_{\varepsilon }^2$ можно взять сумму квадратов остатков регрессии, деленную на число степеней свободы:

$\widehat{\sigma_{\varepsilon }}^2 = \frac {\sum_{i=1}^n \sum_{t=1}^T (y_{it} - \overline{y_i} - (x_{it} - \overline{x_i})' \widehat{\beta})^2}{nT-n-k}$ .

При достаточно слабых условиях регулярности оценки с фиксированным эффектом являются асимптотически нормальными (при $n \rightarrow \infty$ или при $T \rightarrow \infty$ ), поэтому можно пользоваться стандартными процедурами ( $t$ -тесты, $F$ -тесты) для проверки гипотез относительно параметров $\beta$ .

Недостатки модели панельных данных с фиксированными эффектами

В панельных данных среди независимых переменных $x_{it}$ могут быть такие, которые не меняются во времени для каждого объекта. Например, при анализе зарабатной платы в число факторов часто включают пол или расовую принадлежность. Модель с фиксированным эффектом не позволяет идентифицировать соответствующие таким переменным коэффициенты. Формально это объясняется тем, что в уравнении (3) один или несколько регрессоров равны нулю, и, следовательно, метод наименьших квадратов применять нельзя.

Литература

Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2004. — 576 с.
Коленков С.О. Прикладной эконометрический анализ в статистическом пакете Stata. — 2003.

См. также

Ссылки

Источник — «http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C_%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%81_%D1%84%D0%B8%D0%BA%D1%81%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8_%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%B0%D0%BC%D0%B8»

Категория: Прикладная статистика