Теория надёжности обучения по прецедентам (курс лекций, К. В. Воронцов)

Материал из MachineLearning.

Версия 10:38, 4 февраля 2012

Спецкурс знакомит студентов с теорией вычислительного обучения (computational learning theory, COLT), исследующей проблему надёжности восстановления зависимостей по эмпирическим данным. Родоначальниками этой теории были советские математики В. Н. Вапник и А. Я. Червоненкис. В 80-е годы эта теория получила широкую мировую известность, и в настоящее время продолжает развиваться.

Один из основных вопросов теории COLT — как количественно оценить способность алгоритмов классификации и прогнозирования к обобщению эмпирических фактов. В каких случаях можно утверждать, что общие закономерности, выявленные по частным прецедентам, не окажутся ложными, предрассудками? Как избежать переобучения — ситуации, когда ответы алгоритма удаётся хорошо подогнать под обучающие данные, но на новых контрольных данных они оказываются существенно менее точными? Как управлять обобщающей способностью алгоритма на стадии его построения? Эти и другие смежные вопросы рассматриваются в данном спецкурсе.

Цели спецкурса — научить студентов оценивать надёжность алгоритмов обучения; использовать оценки обобщающей способности для разработки более надёжных алгоритмов; применять их для решения прикладных задач классификации, регрессии, прогнозирования.

В основу курса легли современные результаты, полученные в COLT за последнее десятилетие, а также собственные исследования автора по комбинаторной теории переобучения и слабой вероятностной аксиоматике.

Спецкурс читается студентам 3 курса кафедры «Математические методы прогнозирования» ВМиК МГУ с 2007 года, в дополнение к обязательному кафедральному курсу Математические методы распознавания образов (ММРО).

Учебное пособие по курсу ТНОП: Voron-2011-tnop.pdf, 3 МБ (черновая версия).

Комбинаторная теория переобучения

Проблема переобучения и перестановочная вероятность

• Задача обучения по прецедентам. Матрица ошибок. Понятия наблюдаемой и скрытой выборки. Проблема переобучения. Примеры приложений.
• Слабая вероятностная аксиоматика. Вероятности переобучения. Перенос оценок из слабой аксиоматики в сильную (колмогоровскую).
• Точность и надёжность предсказаний. Обращение оценок.
• Эмпирические оценки. Скользящий контроль.
• Финитарные и инфинитарные вероятности. Сравнение с колмогоровской аксиоматикой, достоинства, недостатки и границы применимости.

Предсказание частоты события и гипергеометрическое распределение

• Задача предсказания частоты события. Выборочный контроль качества.
• Лемма. Частота события в наблюдаемой выборке подчиняется гипергеометрическому распределению.
• Теорема. Точная оценка вероятности большого уклонения частот события на наблюдаемой и скрытой выборках.
• Геометрическая интерпретация.
• Свойства гипергеометрического распределения. Методы вычисления гипергеометрического распределения.
• Экспоненциальные верхние и асимптотические оценки. Закон больших чисел в слабой аксиоматике.
• Переход от ненаблюдаемой оцеки к наблюдаемой. Точная интервальная оценка. Вероятность нуль-события.

Теория Вапника-Червоненкиса

• Принцип равномерной сходимости.
• Коэффициент разнообразия (shatter coefficient), функция роста.
• Теорема. Оценка Вапника-Червоненкиса.
• Обращение оценки. Метод структурной минимизации риска.
• Проблема завышенности оценок. Анализ причин завышенности, эффекты расслоения и связности.
• Эксперимент 1. Вычисление достаточной длины обучающей выборки.
• Разновидности методов обучения. Пессимистичная, оптимистичная, рандомизированная минимизация эмпирического риска. Максимизация переобученности.
• Программа для вычисления эмпирических оценок вероятности переобучения. Метод Монте-Карло. Скользящий контроль.
• Эксперимент 2. Вычисление вероятности переобучения для модельных семейств алгоритмов с расслоением и связностью.
• Теорема. Вероятность переобучения семейства без расслоения.

Размерность Вапника-Червоненкиса (ёмкость)

• Понятие ёмкости.
• Функция , её связь с треугольником Паскаля.
• Лемма о функции .
• Теорема. Выражение функции роста через ёмкость.
• Ёмкость конечных множеств. Принцип минимума длины описания.
• Теорема. Ёмкость семейства линейных разделяющих правил.
• Пример однопараметрического семейства бесконечной ёмкости.
• Теорема. Ёмкость семейства конъюнкций элементарных пороговых условий.
• Ёмкость некоторых разновидностей нейронных сетей (без доказательства).

Принцип порождающих и запрещающих множеств

• Простая гипотеза о множествах порождающих и запрещающих объектов.
• Лемма о вероятности получить заданный алгоритм в результате обучения.
• Теорема. Точная оценка вероятности переобучения.
• Общая гипотеза о множествах порождающих и запрещающих объектов.
• Теорема. Общая гипотеза верна практически всегда.
• Аналогично: Лемма и Теорема для общей гипотезы.
• Теорема. Точная оценка вероятности переобучения для случая, когда существует корректный алгоритм.
• Теорема. Точная оценка функционала полного скользящего контроля.

Модельные семейства алгоритмов (семейства простой структуры)

• Монотонная цепь алгоритмов. Примеры.
• Теорема. Вероятность переобучения монотонной цепи.
• Унимодальная цепь алгоритмов. Примеры.
• Теорема. Вероятность переобучения унимодальной цепи.
• Единичная окрестность лучшего алгоритма.
• Теорема. Вероятность переобучения единичной окрестности.
• Пучок h монотонных цепочек алгоритмов.
• Полный слой алгоритмов.

Оценки расслоения-связности

• Граф расслоения-связности. Верхняя и нижняя связность и неоптимальность алгоритмов.
• Профиль расслоения-связности. Гипотеза о сепарабельности профиля расслоения-связности.
• h-мерная монотонная сеть алгоритмов.

Конъюнктивные логические закономерности

• Логические алгоритмы классификации. Критерии информативности.
• Структура классов эквивалентности семейства конъюнкций пороговых предикатов.
• Стандартные представители классов эквивалентности и граничные пожмножества объектов.
• Послойный восходящий алгоритм вычисления оценки расслоения-связности.
• Модификация критериев информативности. Результаты экспериментов.

Рекуррентное вычисление вероятности переобучения

• Идея рекуррентного обновления информации о каждом алгоритме семейства при добавлении нового алгоритма.
• Лемма. Вычисление информации о добавленном алгоритме. Доказательство леммы.
• Теорема. Правила обновления информации о предыдущих алгоритмах при добавлении нового.
• Теорема. Упрощённый рекуррентный алгоритм не уменьшает оценку вероятности переобучения.

Блочные и интервальные точные оценки вероятности переобучения

• Определение блока объектов.
• Теорема. Формула для вычисления вероятности переобучения по блокам.
• Теорема. Вероятность переобучения для пары алгоритмов.
• Вероятность переобучения интервала булева куба и его нижних слоёв.

Оценки равномерного отклонения эмпирических распределений

• Вероятность большого равномерного отклонения эмпирических функций распределения. Интерпретации: эмпирическое предсказание и проверка гипотезы однородности.
• Теоремы Колмогорова и Смирнова (без доказательства).
• Усечённый треугольник Паскаля. Случайное блуждание.
• Теорема. Точная оценка вероятности большого равномерного отклонения эмпирических распределений. Геометрические интерпретации.
• Обобщение на случай вариационного ряда со связками. Почему в этом случае задача предсказания намного сложнее.

Радемахеровская сложность

• Метод обучения, максимизирующий переобученность.
• Понятие Радемахеровской сложности.
• Оценка через принцип порождающих и запрещающих множеств.
• Оценка через цепные разложения.
• Точная оценка для монотонной цепи алгоритмов через случайное блуждание.

Оценки скользящего контроля для метода ближайших соседей

• Метрические алгоритмы классификации, метод ближайших соседей.
• Понятие профиля компактности.
• Теорема. Точное выражение функционала полного скользящего контроля для метода одного ближайшего соседа (1NN).
• Теорема. Точное выражение функционала полного скользящего контроля для метода k ближайших соседей (kNN).
• Свойства профилей компактности.
• Алгоритм выделения эталонных объектов. Функция вклада объекта и её эффективное вычисление. Метрические деревья.
• Разделение объектов на шумовые, эталонные и неинформативные.

Оценки скользящего контроля для монотонных классификаторов

• Монотонные алгоритмы классификации.
• Понятие клина объекта. Профиль монотонности выборки.
• Теорема. Верхняя оценка скользящего контроля. Доказательство теоремы.
• Монотонные корректирующие операции в алгоритмических композициях.
• Критерии настройки базовых алгоритмов на основе оценок обобщающей способности.

Непараметрические статистические критерии

• Задачи проверки статистических гипотез.
• Гипотеза однородности, гипотеза сдвига.
• Принципиальное различие задач эмпирического предсказания и проверки статистических гипотез.
• Критерий знаков.
• Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни.
• Критерий серий.
• Критерий Смирнова.
• Доверительное оценивание. Доверительный интервал для медианы.

Литература

• Воронцов, К. В. Комбинаторная теория надёжности обучения по прецедентам: Дис. док. физ.-мат. наук: 05-13-17. — Вычислительный центр РАН, 2010. — 271 с.  (подробнее).
• Воронцов К. В. Слабая вероятностная аксиоматика. 2009. PDF, 832 КБ.
• Воронцов К. В. Эффекты расслоения и сходства в семействах алгоритмов и их влияние на вероятность переобучения. 2009. PDF, 354 КБ.
• Воронцов К. В. Точные оценки вероятности переобучения. 2009. PDF, 542 КБ.

Ссылки

• Расслоение и сходство алгоритмов (виртуальный семинар)
• Открытые проблемы и задачи по спецкурсу «Теория надёжности обучения по прецедентам». 2010. PDF, 183 КБ.

См. также

• Теория надёжности обучения по прецедентам (курс лекций, К. В. Воронцов)/2010